Математическое моделирование в экономике

     По  способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические.  В статических моделях  все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени.  Динамические модели характеризуют  изменения экономических процессов во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного  (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более лет) прогнозирования и планирования.  Само  время  в  экономико-математических моделях  может  изменяться  либо непрерывно, либо дискретно.

     Модели  экономических  процессов   чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей.  Особенно важно выделить класс линейных моделей,  наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого  большое  распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения,  но и в теоретико-экономическом отношении,  поскольку  многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п.  Теория "линейной экономики" существенно отличается от  теории  "нелинейной экономики". От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми,  существенно зависят выводы о возможности сочетания централизованного  планирования  и  хозяйственной самостоятельности экономических подсистем.

     По  соотношению экзогенных и эндогенных переменных,  включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя  бы  одну эндогенную переменную.  Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды",  т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических  моделей  занимает промежуточное положение  и  различаются  по степени открытости (закрытости).

     Для  моделей народнохозяйственного  уровня важно деление на агрегированные и детализированные. В зависимости  от того,  включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и  условия  или  не  включают, различают модели пространственные и точечные.

     Таким  образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема  классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков  их классификации  осуществляется  процесс  интеграции  моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

 

Этапы экономико-математического моделирования

 

     Основные  этапы процесса моделирования  уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний,  в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты.  Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

     1. Постановка  экономической  проблемы  и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность  проблемы, принимаемые  допущения и те вопросы,  на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого  объекта  и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта  и  основных  зависимостей, связывающих его  элементы;  формулирование  гипотез  (хотя  бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

     2. Построение математической модели.  Это - этап формализации экономической проблемы,  выражения ее в виде  конкретных математических зависимостей  и отношений (функций,  уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

     Неправильно  полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать  о  таких характеристиках сложности модели,  как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость  модели  затрудняют  процесс исследования. Нужно  учитывать  не только реальные возможности информационного и математического обеспечения,  но и сопоставлять затраты  на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить  при-

рост эффекта).

     Одна  из важных особенностей математических  моделей -  потенциальная возможность  их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей,  не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения  этой  задачи уже известные модели.

     В  процессе построения модели осуществляется  взаимосопоставление двух  систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому,  чтобы  получить  модель, принадлежащую  хорошо  изученному  классу математических задач. Часто это удается сделать  путем  некоторого  упрощения исходных предпосылок  модели,  не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.  Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в.  способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для  создания новых разделов математики.

     3. Математический анализ модели.  Целью этого этапа является выяснение  общих свойств модели.  Здесь применяются чисто математические приемы исследования.  Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения,  то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту  модели  отпадает; следует скорректировать  либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы,  как,  например, единственно ли решение,  какие переменные (неизвестные)  могут входить в решение,  каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы  тенденции их изменения и т.д.  Аналитической исследование модели по сравнению  с  эмпирическим  (численным) имеет то  преимущество,  что  получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних  и  внутренних параметров модели.

     Знание  общих свойств модели имеет  столь важное  значение, часто ради  доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели.  И все  же модели сложных  экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию.  В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам,  переходят к численным методам исследования.

     4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие  требования  к системе информации.  В то же время реальные возможности получения информации  ограничивают  выбор моделей, предназначаемых для практического использования.  При этом принимается во внимание не только принципиальная  возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку  соответствующих  информационных  массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

     В  процессе  подготовки информации широко используются методы теории вероятностей,  теоретической и математической статистики. При  системном экономико-математическом моделировании исходная информация,  используемая в одних  моделях,  является результатом функционирования других моделей.

     5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи,  составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение  расчетов.  Трудности  этого этапа обусловлены  прежде всего большой размерностью экономических задач,  необходимостью обработки значительных  массивов информации.

     Обычно  расчеты по экономико-математической  модели  носят многовариантный характер.  Благодаря  высокому  быстродействию современных ЭВМ удается проводить  многочисленные  "модельные" эксперименты, изучая  "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий.  Исследование,  проводимое  численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач,  которые можно решать численными методами,  значительно шире,  чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

     6. Анализ численных результатов и их применение.  На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования,  о степени практической применимости последних.

     Математические  методы проверки могут выявлять  некорректные построения  модели  и  тем самым сужать класс потенциально правильных моделей.  Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и  фактами  действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

     Взаимосвязи  этапов. Обратим внимание на возвратные связи этапов,  возникающие вследствие того,  что  в  процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.

     Уже  на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит  к  слишком  сложной математической модели.  В  соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап  3) может показать,  что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

     Наиболее  часто необходимость  возврата  к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4).  Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или  же  затраты  на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее  формализации, изменяя их так,  чтобы приспособиться к имеющейся информации.

     Поскольку  экономико-математические   задачи   могут  быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде.  Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы,  исходную постановку задачи и модель упрощают:  снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов,  нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.

     Недостатки, которые не удается исправить  на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого  цикла  имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с  построения  простой  модели,  можно быстро получить полезные результаты,  а затем перейти к созданию более совершенной модели,  дополняемой  новыми  условиями, включающей уточненные математические зависимости.

     По  мере развития и усложнения  экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями,  происходит дефференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

     Теория  математического  анализа  моделей экономики развилась в особую ветвь современной  математики  -  математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями.  При построении таких моделей главным принципом  является  не  столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего  числа  аналитических  результатов посредством  математических доказательств.  Ценность этих моделей для экономической теории  и  практики  состоит  в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

     Довольно  самостоятельными  областями  исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического  обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации,  программ автоматизированного построения  моделей  и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую  роль  должны играть специалисты в соответствующей области экономического  анализа,   планирования,   управления. Главным участком  работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и  синтез  процесса экономико-математического моделирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

  Таким образом,  можно выделить  по крайней мере четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

     1. Совершенствование системы экономической информации. Математические методы позволяют упорядочить  систему  экономической информации,  выявлять недостатки в имеющейся информации и вырабатывать требования для подготовки новой информации  или ее корректировки.  Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования  экономической информации, ориентированной  на  решение  определенной системы задач планирования и  управления.  Прогресс  в  информационном обеспечении планирования  и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.