Математическое моделирование в экономике

Родоначальники математической школы  рассматривали математические  методы, математическое моделирование связей между элементами экономической  системы как методы исследования, а не как методы изложения, иллюстраций  экономических положений и законов, полученных других путем. Изложение же выводов, полученных математически, может быть дано и на обычном  языке, или в математической форме, но без доказательства. Так, Л. Вальрас писал: «Весьма немногие из нас в состоянии прочесть «Математические начала натуральной философии» Ньютона или «Небесную механику» Лапласа, и тем не менее мы все принимаем на веру сделанное сведущими людьми описание мира астрономических явлений согласно закону всеобщего тяготения. Почему точно таким же образом не принять описание мира экономических явлений, сделанного согласно закону свободной конкуренции».

Представители математической школы с помощью математических методов стремились разрешить не отдельные частные проблемы экономической  теории, а охватить весь экономический процесс в целом, дать общую картину взаимозависимости всех экономических явлений. Так, по мнению Парето, процесс научного прогресса проходит через три стадии:

1. мы ограничиваемся констатированием существованиям взаимодействия между отдельными элементами экономической системы, не входя в дальнейшее их изучение;
2. мы знаем отдельные связи, существующие между отдельными элементами;
3. мы имеем возможность вычислить величину всех этих элементов и дать совершенно точное выражение условий равновесия. Идеал всякой науки – достижение третьей стадии.

Математический метод  рассматривается как основной, важнейший  метод, который только один в состоянии  дать экономической теории научную  законченность.

Основным научным результатом  неоклассического направления является разработка моделей частного и общего равновесия и, условий использования ресурсов, их оптимального распределения по различным направлениям, условий равновесия обмена и потребления. Сюда относятся разработка моделей поведения потребителя, построение функций спроса, зависимостей спроса от цен и дохода, построение производственной функции, моделей поведения фирмы, моделей общего экономического равновесия, прежде всего модели Л. Вальраса и ее модификаций.

 

 

 

 

 

 

История развития экономико-математического

моделирования в США

Для характеристики математического  направления в экономике за последние 80 – 90 лет приведу лишь некоторые  результаты, сыгравшие заметную роль в его развитии.

Как в теоретическом, так и в  прикладном отношении представляют интерес работы по построению  и использованию производственных функций для анализа сельскохозяйственного производства в США. В 1909 году Митчерлих предложил нелинейную производственную функцию ( ПФ ): удобрения – урожайность. Независимо от него, Спиллман предложил показательное уравнение урожайности. На их основе был построен ряд других агротехнических ПФ.

Опыт использования ПФ в сельском хозяйстве показал, что максимизация натуральных показателей продуктивности не совпадает, как правило, с максимизацией  и минимизацией экономических показателей (прибыли, себестоимости), т. е. натурально-вещественный оптимум и экономический по своему существу разные понятия.

В 1928 г. Ч. Кобб и П. Дуглас на основе данных по обрабатывающей промышленности  США за период 1899 – 1922 гг.   представили функцию

P = bL^a K^1-a. Это была первая эмпирическая ПФ, построенная по данным временных рядов. Ее конкретный вид: P = 1.01L^0.75K^0.25, где Р – расчетный индекс производства,

                                                      К – индекс основного капитала,

                                                     L – индекс занятости.

В настоящее время  формула Кобба – Дугласа широко используется в учебной и научной  литературе.

В 1928 г. В. Рамсей предложил  упрощенную модель, в которой дается не только описание долгосрочного роста, но и ставится проблема определения его оптимального варианта. Модель интересна тем, что по существу она явилась предвестницей современного подхода к проблемам оптимального роста.

В 1932 г. Джон фон Нейман изложил основы многосекторной модели расширяющейся экономики, в которой ввел понятие динамического равновесия. С моделью Неймана связаны знаменитые теоремы о магистрали. Модель построена в предположении совершенной конкуренции, в рамках основных положений неоклассического направления.

В 30-х же годах значительное внимание экономистами – математиками было уделено проблеме существования  решения системы уравнений общего равновесия. Для доказательства существования  экономически содержательного решения  использовался упрощенный вариант  модели Вальраса. Исходными предпосылками такой модели были следующие: ресурсы заданы и используются при постоянных технологических коэффициентах, но когда ресурсы заданы в фиксированных количествах, естественно, что они, как правило, не будут соответствовать структуре производства необходимой продукции, и, следовательно, не будут использоваться полностью. Венгерский математик А. Вальд в 1935 - 1937 гг. выяснил ограничивающие условия, при которых модель дает экономически содержательное решение без отрицательных значений искомых переменных (выпуск продукции, цены, в том числе заработная плата), и показал, какие блага являются «редкими», какие «избыточными», «общедоступными». Такими условиями являются преобразования некоторых уравнений в неравенстве и предположение, что некоторые (избыточные) факторы производства будут недоиспользованы и должны получить нулевую оценку, некоторые способы производства не используются, так как издержки производства превышают цену производимого продукта. Нетрудно видеть, что уже здесь присутствуют предпосылки линейного программирования.

В 1931 г. было создано международное  эконометрическое общество, видным представителем и активным деятелем которого был  норвежский ученый Р. Фриш (1895 – 1973). Термин «эконометрика» Фриш ввел для обозначения направления, которое должно было представлять синтез экономической теории, математики и статистики. В дальнейшем круг проблем, разрабатываемых в рамках данного направления, сузился, и сегодня в понятие «эконометрика» включается главным образом построение математико-статистических моделей экономических процессов (так называемых эконометрических моделей), использование методов математической статистики для определения параметров этих моделей.

В 1936 г. опубликована работа Д. М. Кейнса «Общая теория занятости, процента и денег», которая явилась реакцией на кризис 1929 – 1933 гг. Острие своей критики Кейнс направил против основ классической и неоклассической теорий равновесия, на первое место он поставил проблему рынка и реализации общественного продукта. В модельном отношении важное значение имеет мультипликатор, введенный Кейнсом, который послужил основой ряда макроэкономических моделей.

В качестве кейнсианских (или неокейнсианских) моделей можно  назвать модели экономического роста  Е. Домара и Р. Харрода.

Стремление примирить  теорию Кейнса с неоклассической  теорией породило так называемый неоклассический синтез, сущность которого сводится к утверждению, что в  зависимости от состояния экономики  можно применять либо кейнсианскую теорию равновесия, либо неоклассическую.  Теория Кейнса действует в условиях неполной занятости, по достижении полной занятости возобновляется действие неоклассической теории.

Значительную роль в  разработке моделей роста сыграл Р. Солоу. В статье, опубликованной в 1956 году, он предложил простую модель, которая привела к появлению многочисленных исследований в области неоклассических моделей роста.  В качестве основного аналитического инструмента в них используется аппарат производственной функции, и детальная разработка макроэкономических производственных функций неразрывно связана с развитием неоклассических моделей.

Разработка неоклассических  моделей роста поставила проблему оптимальной нормы накопления, получившей название «золотого правила». В 60-х  гг. почти одновременно и независимо друг от друга это правило сформулировали Дж. Робинсон, Д. Мид, Э. Фелпс.

 

 

История развития экономико-математического

моделирования в СССР.

Важное место в развитии математического направления в  экономике занимают работы советских  ученых: Л. В. Канторовича, В. В. Новожилова, В. С. Немчинова, В. Леонтьева.

 В 1936 г. В. Леонтьев  опубликовал основы метода (модели) «затраты – выпуск». В. Леонтьеву  хорошо были известны работы  советских экономистов по балансу  народного хозяйства за 1923-1924 гг., в основу которого были положены идеи схем воспроизводства К. Маркса. В качестве исходного момента В. Леонтьев использовал модель общего экономического равновесия Л. Вальраса, прежде всего идею технических коэффициентов. Формирование цен в рамках модели трактуется с позиций неоклассической теории стоимости. . Система цен в модели при ограничении только на один первичный фактор – труд – обеспечивает нулевую прибыль, прибавочная стоимость отсутствует, весь национальный доход реализуется только на заработную плату. При наличии ограничений и на основной капитал в структуре цены появляется норма процента. Трактовка модели и ее категорий ведется с позиции неоклассической теории производительности факторов производства при отсутствии взаимозаменяемости между ними.

Работа Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства» (Ленинград, 1939г.) положила начало новому направлению в математической экономии – методам линейного программирования, метода математического программирования. Канторович в результате анализа некоторых задач планирования производства сформулировал новый важный для экономики класс математических задач, получивших название задач линейного программирования. В линейном программировании рассматривается вопрос о поиске среди всех допустимых решений, удовлетворяющих системе линейных равенств или неравенств, наилучшего (оптимального) решения, доставляющего максимум (минимум) некоторому линейному критерию. Его работа «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» вышла двумя изданиями в 1959 г. и 1960 г. и была переведена на французский, английский, испанский и другие языки.

Работы В. В. Новожилова, в частности «Проблемы измерения  затрат и результатов при оптимальном  планировании», обосновали решающую роль ценообразования, механизма распределения капиталовложений, согласования народнохозяйственных и хозрасчетных интересов для оптимизации всего общественного производства.

 Работа В. С. Немчинова  «Экономико-математический методы  и модели» (1962) имела важное  научное, учебное и методологическое  значение для развития экономико-математических  исследований в нашей стране.

Особенности применения метода математического моделирования в экономике

 

  Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика,  развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики  и  техники.  Но главные причины  лежат  все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

 Большинство  объектов, изучаемых экономической наукой, может быть  охарактеризовано  кибернетическим  понятием  сложная система.

     Наиболее  распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность,  единство.  Важным  качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких  свойств,  которые  не присущи ни  одному из элементов,  входящих в систему.  Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на  элементы  с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований – в том, что  почти  не существует экономических объектов, которые можно  было  бы  рассматривать  как  отдельные  (внесистемные) элементы.

     Сложность  системы определяется количеством  входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между  системой  и  средой.  Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы.  Она объединяет огромное число элементов,  отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная  среда,  экономика других стран  и  т.д.).  В  народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

     Сложность  экономики иногда рассматривалась как  обоснование невозможности ее моделирования,  изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности.  И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь  моделирование  может  дать  результаты,  которые нельзя получить другими способами исследования.

     Потенциальная  возможность  математического   моделирования любых экономических объектов и процессов не означает,  разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике.  И хотя нельзя указать абсолютные границы математической  формализуемости экономических   проблем, всегда будут  существовать  еще неформализованные проблемы,  а также ситуации,  где математическое моделирование недостаточно эффективно.

 

 

Особенности экономических наблюдений и измерений.

 

     Уже длительное  время главным тормозом практического применения математического моделирования в экономике является наполнение разработанных  моделей  конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной  информации,  реальные возможности ее  сбора  и  обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей.  С другой стороны,  исследования  по моделированию экономики  выдвигают  новые требования к системе информации.

     В зависимости  от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация  имеет  существенно различный характер  и происхождение.  Она может быть разделена на две категории:  о прошлом развитии и современном  состоянии объектов (экономические наблюдения и их обработка) и о будущем развитии объектов,  включающую данные об ожидаемых  изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы).  Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством моделирования.