Контрольная работа по дисциплине "Эконометрика"

 

Таблица 17: Расчетные параметры линейной парной регрессии множественной модели регресии.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-18,4394	11,63064	-1,58541	0,121618	-42,0274	5,148646	-42,0274	5,148646
X1	3,647704	8,457354	0,431306	0,668818	-13,5046	20,80001	-13,5046	20,80001
X2	4,324924	6,013679	0,719181	0,476672	-7,87138	16,52123	-7,87138	16,52123
X3	1,466904	0,223806	6,554349	1,27E-07	1,013004	1,920804	1,013004	1,920804

 

Таким образом, трехфакторная модель зависимости цены квартиры Y от общей площади Х3, города областиХ1 и числа комнат в квартиреХ2построена, ее уравнение имеет вид:

 

Выберем лучшую из построенных моделей.

Для сравнения моделей с различным количеством учтенных в них факторов используем нормированные коэффициенты детерминации, которые содержатся в строке «нормированный R-квадрат» итогов инструмента «Регрессия» (таблицы 9, 12, 15). Чем больше величина нормированного коэффициента детерминации, тем лучше модель.

 

где - коэффициент детерминации,

n – число наблюдений,

k – число независимых переменных.

 

Вывод: лучшей является модель зависимости цены квартиры Y от общей площади Х3 и числа комнат в квартиреХ2:

 

Коэффициент регрессии, следовательно, при изменении числа комнат в квартире (Х2) и одной и той же общей площади, цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 4,3 тыс. долл.

Коэффициент регрессии, следовательно, при изменении общей площади квартиры на 1 кв. м. (Х3) и одном и том же количестве комнат(Х2), цена квартиры (Y) увеличится в среднем на 1,5 тыс. долл.

Свободный коэффициент не имеет экономического смысла, но говорит о том, что сначала меняется результат Y, а потом факторы X2, X3.

Задача 1.7Оценка качества построенной модели.

Оцените качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, b- и D-коэффициентов.

Для оценки качества выбранной множественной модели

 

аналогично п.1.4 данной задачи, используем коэффициент детерминации R-квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Коэффициент детерминацииR-квадрат возьмем из таблицы 12:

,

следовательно, вариация (изменение) цены квартиры Y на 80% объясняется по данному уравнению вариацией числа комнат в квартире Х2 и общей площадью квартирыХ3.

Используем исходные данные Yi и найденные инструментом «Регрессия» остатки для данной модели. Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение .

Таблица 18: Расчет относительной погрешности.

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Относительная  погрешность
	49,06112192	-11,06112192	29,10821559
	93,06756161	-30,86756161	49,62630484
	94,48915139	30,51084861	24,40867889
	77,11653536	-16,01653536	26,21364216
	34,57349257	32,42650743	48,39777228
	75,79947814	17,20052186	18,49518479
	153,0250276	-35,02502756	29,68222674
	114,976708	17,02329195	12,8964333
	128,0009405	-35,5009405	38,37939513
	110,5447102	-5,544710208	5,280676388
	40,42708019	1,572919811	3,745047169
	103,1231931	21,87680688	17,5014455
	132,4956638	37,50433623	22,06137425
	30,18330186	7,816698141	20,57025827
	158,836808	-28,33680805	21,71402916
	79,89698948	5,103010525	6,003541794
	117,8616947	-19,86169473	20,26703544
	152,9832204	-24,98322043	19,51814096
	120,8302957	-35,83029567	42,15328902
	98,8793421	61,1206579	38,20041119
	75,54860589	-15,54860589	25,91434315
	38,96368328	2,036316715	4,966626135
	103,2277257	-13,22772569	14,69747299
	102,4960272	-19,49602723	23,48918944
	35,7442101	9,255789905	20,56842201
	34,57349257	4,426507428	11,35001905
	138,3910585	-51,49105852	59,25323189
	35,7442101	4,255789905	10,63947476
	96,43337449	-16,43337449	20,54171812
	215,9092873	11,09071269	4,885776514
	220,299478	14,70052197	6,255541266
	37,50028638	2,49971362	6,249284049
	56,52444614	10,47555386	15,63515502
	119,3250916	3,674908367	2,987730379
	79,85518235	20,14481765	20,14481765
	113,5133111	-8,513311144	8,107915376
	77,11653536	-6,816535357	9,696351859
	115,1230477	-33,12304774	40,39396066
	227,6164625	52,38353745	18,70840623
	159,4221668	40,57783319	20,2889166
Среднее значение	101,2375		20,9749364

 

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение с помощью функции СРЗНАЧ:

.

 

Сравнение показывает, что

,

следовательно, точность модели неудовлетворительная.

С помощью F – критерия Фишера проверим значимость модели в целом. Для этого выпишем из итогов применения инструмента «Регрессия» (таблица 13) F=74,2.

С помощью функции FРАСПОБР найдем значение

 

,

следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными Х2 и Х3.

Дополнительно с помощью t–критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели.

t–статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в таблице 14. Получены следующие значения для выбранной модели:

,

Критическое значение tкр найдено для уровня значимости α=5% и числа степеней свободы

.

с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР:

 

Для свободного коэффициента α=–16,6определена статистика:

.

 

следовательно, свободный коэффициент не является значимым, его можно исключить из модели.

Для коэффициента регрессии β1= 4,3 определена статистика

.

 

 

следовательно, коэффициент регрессии β1не является значимым, его и фактор количество комнат в квартире можно удалить из модели.

Для коэффициента регрессии β2= 1,5определена статистика:

 

 

следовательно, коэффициент регрессии β2 является значимым, его и фактор общей площади квартирыможно сохранить в модели.

Выводы о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости α=5%. Рассматривая столбец «P-значение», отметим, что свободный коэффициент α можно считать значимым на уровне 0,129 = 12,9%; коэффициент регрессии β1 – на уровне 0,469 = 46,9%; коэффициент регрессии β2 –на уровне 9,25092Е-0,8 = 0,0000009%.

При добавлении в уравнение новых факторных переменных автоматически увеличивается коэффициент детерминации R2 и уменьшается средняя ошибка аппроксимации, хотя при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения качества модели однофакторной и выбранной множественной модели используем нормированные коэффициенты детерминации.

Таблица 19: Нормированные коэффициенты детерминации для моделей.

Модель	Нормированный R-квадрат
	0,792108
	0,789531

 

Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии фактора «число комнат в квартире» Х2качество модели ухудшилось, что говорит в пользу удаления фактораХ2 из модели.

Проведем дальнейшие расчеты.

Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются формулой:

 

С помощью функции СРЗНАЧ найдем средние значения:

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

Вывод: увеличение общей площади Х3при том же количествеве комнат на 1% приводит к увеличению цены квартиры в среднем на 1,1%.

При изменении числа комнат в квартиреХ2на 1% и неизменной жилой площади цена уменьшается в среднем на 0,1%.

Бета-коэффициенты определяются по формуле:

 

где среднее квадратическое отклонение:

 

 

 

С помощью функции СТАНДОТКЛОН найдем:

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

Вывод: при увеличении только фактора Х2 на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,1 своего стандартного отклонения SY, при увеличении только фактора Х3 на одно его стандартное отклонение – увеличивается на 0,8SY.

Дельта-коэффициенты определяются формулой:

 

Найдем коэффициенты парной корреляции с использованием инструмента «Корреляция» пакета «Анализ данных» в Excel:

Таблица 20: Корреляция.

	Y	X2	X3
Y	1
X2	0,751061	1
X3	0,892994	0,805405	1

 

 

Коэффициент детерминации был определен ранее и равен 0,800324 (см. таблицу 12).

Вычислим дельта-коэффициенты:

 

 

Вывод: по уравнению полученной линейной трехфакторной модели изменение результирующего фактора Y (цены квартиры) на 91,5% объясняется воздействием фактора Х3 (общей площадью квартиры), и на 8,5% воздействием фактора Х2 (число комнат).

 

Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

Задача 2.1 Проверка наличия аномальных наблюдений.

Проверить наличие аномальных наблюдений.

Используем метод Ирвина, основанный на определении λt-статистик по формуле:

 

где:

 

 

Внесем все данные в таблицу в Excel, с помощью функции СТАНДОТКЛОН найдем:

 

Результат расчетов приведем в таблице.

Таблица 21: Определение λt-статистик.

t	yt	|yt-yt-1|	lt
1	8
2	13	5	0,458617
3	15	2	0,183447
4	19	4	0,366894
5	25	6	0,55034
6	27	2	0,183447
7	33	6	0,55034
8	35	2	0,183447
9	40	5	0,458617

 

При n=9 и уровне значимости α=5% можно использовать

 

Все λt-статистики меньше λкр, т.е. аномальных наблюдений нет. Этот вывод подтверждает графическое представление временного ряда.

Рисунок 4: Временной ряд.

Исходный ряд будем использовать для выполнения следующих пунктов задачи.

Задача 2.2Построение линейной модели.

Построить линейную модель,параметры которой оценить МНК (- расчетные смоделированные значения временного ряда).

С помощью инструмента «Регрессия»пакета «Анализ данных» Excelнайдем:

Таблица 22: Регрессионная статистика.

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,996406256
R-квадрат	0,992825427
Нормированный R-квадрат	0,991800487
Стандартная ошибка	0,987219922
Наблюдения	9