Контрольная работа по дисциплине "Эконометрика"

Оценим значимость каждого коэффициента регрессии:

 

 

 

 

 

 

где и – расчетные значения t-статистик Стьюдента;

 – стандартная ошибка;

 – расчетное значение.

Расчетные значения t-статистик Стьюдента приведены в таблице 7:

;

.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (или с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР в Excel) при уровне значимости α=5% и числе степеней свободы k=n–2=40–2=38 критическое значение равно:

 

 

Таким образом,

 

следовательно, свободный член в уравнении регрессии не значим;

 

следовательно, фактор Х3в уравнении регрессии значим.

Вывод: фактор общей площади квартиры играет решающую роль в формировании цены на квартиру.

 

Задача 1.4 Оценка качества модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Оцените качество модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F– критерий Фишера.

 

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициентом детерминации характеризует долю вариации результативного признака Y, учтенную в модели, и обусловленную влиянием фактора X3. Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 50 %. Модели с коэффициентом детерминации выше 80 % можно признать достаточно хорошими. Значение коэффициента детерминации 1 означает функциональную зависимость между переменными.

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

 

где –сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией;

– общая сумма квадратов отклонений.

Коэффициенты детерминации R-квадрат определенинструментом «Регрессия» пакета «Анализ данных» в Excel (таблица 5):

.

Вывод: значениеY формируется значением X3 на 79,7% и случайными факторами на 20,3%. Т.к. значение коэффициента детерминации близко к 80%, модель можно признать хорошей.

 

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассмотрим остатки модели

 

содержащиеся в столбце «Остатки»таблицы 8. Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле:

 

Таблица 8: Вывод остатков.

Наблюдение	Предсказанное  Y	Остатки	Стандартные  остатки	Y	Относительная  погрешность
41	51,99355602	-13,993556	-0,542702696	38,0000	36,82514743
42	95,18161045	-32,98161	-1,279103673	62,2000	53,02509719
43	91,99430016	33,0056998	1,280037916	125,0000	26,40455987
44	77,81076937	-16,710769	-0,648082559	61,1000	27,34986804
45	36,21637009	30,7836299	1,193860869	67,0000	45,94571629
46	76,37647974	16,6235203	0,644698835	93,0000	17,87475297
47	155,740506	-37,740506	-1,463664725	118,0000	31,98347962
48	114,3054722	17,6945278	0,686235002	132,0000	13,40494531
49	128,489003	-35,989003	-1,39573736	92,5000	38,90703025
50	104,7435413	0,25645868	0,009946065	105,0000	0,244246363
51	42,59099067	-0,5909907	-0,022919995	42,0000	1,407120638
52	101,3968655	23,6031345	0,915384531	125,0000	18,88250759
53	128,6483685	41,3516315	1,603712585	170,0000	24,32448912
54	31,43540465	6,56459535	0,254590298	38,0000	17,27525091
55	157,3341611	-26,834161	-1,040691269	130,5000	20,56257556
56	80,83871415	4,16128585	0,161384358	85,0000	4,895630417
57	112,711817	-14,711817	-0,570558531	98,0000	15,01205821
58	150,9595405	-22,959541	-0,890424458	128,0000	17,93714103
59	120,6800928	-35,680093	-1,383757103	85,0000	41,97657973
60	96,77526559	63,2247344	2,452002462	160,0000	39,515459
61	80,83871415	-20,838714	-0,808173872	60,0000	34,73119024
62	40,99733552	0,00266448	0,000103335	41,0000	0,006498724
63	96,77526559	-6,7752656	-0,262760581	90,0000	7,528072883
64	95,97843802	-12,978438	-0,503334056	83,0000	15,63667232
65	37,4912942	7,5087058	0,2912051	45,0000	16,68601288
66	36,21637009	2,78362991	0,107955652	39,0000	7,137512594
67	139,8039545	-52,903955	-2,051738578	86,9000	60,87911911
68	37,4912942	2,5087058	0,097293454	40,0000	6,271764489
69	98,84701728	-18,847017	-0,730931228	80,0000	23,5587716
70	219,4867118	7,51328825	0,291382818	227,0000	3,309818612
71	224,2676772	10,7323228	0,416224476	235,0000	4,566945878
72	39,40368038	0,59631962	0,023126664	40,0000	1,490799054
73	60,12119726	6,87880274	0,266775992	67,0000	10,26686976
74	114,3054722	8,69452781	0,33719404	123,0000	7,068721798
75	76,05774871	23,9422513	0,928536271	100,0000	23,94225129
76	112,711817	-7,711817	-0,299082227	105,0000	7,34458766
77	77,81076937	-7,5107694	-0,29128513	70,3000	10,68388246
78	114,4648377	-32,464838	-1,259062023	82,0000	39,59126549
79	232,2359529	47,7640471	1,852400997	280,0000	17,05858825
80	157,9716232	42,0283768	1,629958346	200,0000	21,01418842
Среднее значение	101,2375			101,2375	20,31317973

 

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение с помощью функции СРЗНАЧ Excel:

 

 

Рисунок 2: График остатков.

Вывод:Т.к. средняя ошибка аппроксимации составляет чуть более 20%, то модель нужно признать грубой, но допустимой.

Проверим значимость полученных уравнений с помощью  
F – критерия Фишера:

 

где k – количество факторов, включенных в модель.

F– статистика определена инструментом «Регрессия» пакета «Анализ данных» в Excel (таблица 6):

F = 149,6

С помощью функции FРАСПОБР Excel или по таблице найдем значение Fкр для уровня значимости α=5%, и чисел степеней свободы k1=1, k2=38.

 

 

 

Вывод: уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменнойХ3.

 

Задача 1.5Осуществление прогнозирования среднего значения показателя Y.

По модели осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости  α = 0,1, если прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения. Представьте графически фактические и модельные значения,  точки прогноза.

Согласно условию задачи, прогнозное значение фактора Х3 составляет 80% от его максимального значения. Максимальное значение Х3 найдем с помощью функции МАКС в Excel:

 

 

Тогда прогнозное значение:

 

Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение Y:

 

Таким образом, если общая площадь квартиры равна 80% от ее максимального значения и составит 124 кв. м, то ожидаемая цена квартиры будет составлять около 182,9 тыс. долл.

Зададим доверительную вероятность:

.

 Построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y:

 

Предварительно подготовим:

• – стандартная ошибка (таблица 5);
• – среднее значение по столбцу данных Х3 (функция СРЗНАЧ);
• (функция КВАДРОТКЛ);
• tα – коэффициент Стьюдента для уровня значимости α=10% и числа степеней свободы k=38:

 

Тогда, предельная ошибка прогноза:

 

 

Следовательно, доверительный интервал имеет вид:

 

 

Вывод: с надежностью 90% можно утверждать, что если общая площадь квартиры составит 80% от ее максимального значения и составит 124 кв. м, то ожидаемая средняя цена квартиры будет от 136,9 тыс. долл. до 228,9 тыс. долл.

Выполненный прогноз стоимости квартиры оказался надежным  
(p=1–α=1–0.1=0.9), но не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала отличаются в 1,7 раза:

 

Для построения графика используем «Мастер диаграмм» – покажем фактические исходные данные (поле корреляции). Затем с помощью опции «Добавить линию тренда», построим линию модели и покажем на графике результаты прогнозирования. 

Рисунок 3: Поле корреляции. Линия тренда. Доверительный интервал.

Задача 1.6 Построение модели формирования цены на основе только значимых факторов.

Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), постройте модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов. Дайте экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.

Методом включения построим двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор – общую площадь квартиры (Х3).

В качестве «входного интервала Х» укажем значения факторов Х3 и Х1, с помощью инструмента «Регрессия» пакета «Анализ данных» Excel получим:

 

Таблица 9: Регрессионная статистика зависимости Y от значений факторов Х3 и Х1.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,893586
R-квадрат	0,798497
Нормированный R-квадрат	0,787604
Стандартная ошибка	26,40345
Наблюдения	40

 

Таблица 10: Дисперсионный анализ зависимости Y от значений факторов Х3 и Х1.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	102214,7	51107,37	73,30983	1,35E-13
Остаток	37	25794,26	697,1421
Итого	39	128009

 

Таблица 11: Расчетные параметры линейной парной регрессии зависимости Y от значений факторов Х3 и Х1.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-16,6541	11,28825	-1,47534	0,14858	-39,5262	6,218112	-39,5262	6,218112
X1	3,702718	8,401653	0,440713	0,661985	-13,3206	20,72608	-13,3206	20,72608
X3	1,596502	0,131858	12,1077	1,96E-14	1,329331	1,863672	1,329331	1,863672

 

Таким образом, модель зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры Х3и города областиХ1построена, ее уравнение имеет вид:

 

Используем в качестве «входного интервала Х» значения факторов Х3 и Х2, с помощью инструмента «Регрессия» пакета «Анализ данных» Excel получим:

Таблица 12: Регрессионная статистика зависимости Y от значений факторов Х3 и Х2.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,894608
R-квадрат	0,800324
Нормированный R-квадрат	0,789531
Стандартная ошибка	26,28344
Наблюдения	40

 

Таблица 13: Дисперсионный анализ зависимости Y от значений факторов Х3 и Х2.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	102448,6815	51224,34075	74,15013515	1,13769E-13
Остаток	37	25560,31225	690,81925
Итого	39	128008,9938

 

Таблица 14: Расчетные параметры линейной парной регрессии зависимости Y от значений факторов Х3 и Х2.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-16,6036	10,70411	-1,55114	0,12938	-38,2922	5,084986	-38,2922	5,084986
X2	4,348384	5,946919	0,731199	0,469263	-7,70122	16,39799	-7,70122	16,39799
X3	1,463397	0,221185	6,616179	9,25E-08	1,015234	1,911559	1,015234	1,911559

 

 

Таким образом, модель зависимости цены квартиры Y от общей площади квартирыХ3и от числа комнат в квартиреХ2построена, ее уравнение имеет вид:

 

Построим множественную модель регрессии, учитывая все факторы.С помощью инструмента «Регрессия» пакета «Анализ данных» Excel получим:

 

Таблица 15: Регрессионная статистика множественной модели регрессии.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,895182
R-квадрат	0,801351
Нормированный R-квадрат	0,784796
Стандартная ошибка	26,57741
Наблюдения	40

 

Таблица 16: Дисперсионный анализ множественной модели регресии.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	102580,1	34193,36	48,40793	1,02E-12
Остаток	36	25428,91	706,3587
Итого	39	128009