История прогнозирования

Для каждого значения λ рассчитывается переменная z:

zt=xt+λxt–1+λ2xt–2+λ3xt–3+…+λLxt–L,

с таким значением  лага L, при котором дальнейшие лаговые значения переменной x не оказывают существенного влияния на z.

На следующем этапе  с помощью традиционного метода наименьших квадратов оценивается  модель регрессии вида:

yt=β0+β1zt+εt (2)

и рассчитывается коэффициент  детерминации R2. Данный процесс осуществляется для всех значений λ  из интервала [-1;+1]. Оценками коэффициентов β0, β1 и λ будут те, которые обеспечивают наибольшее значение R2 для модели регрессии (2).

В основе метода или  преобразования Койка лежит предположение  о том, что если модель регрессия (1) справедлива для момента времени t, то она справедлива и для момента времени (t–1):

yt–1=β0+β1xt–1+β1λxt–2+β1λ2xt–3+β1λ3xt–4+…+εt,

Умножим обе части  данного уравнения на λ и вычтем их из модели регрессии (1). В результате получим выражение вида:

yt– λ yt–1= β0(1– λ)+β1xt+εt–λ εt–1,

или

yt= β0(1– λ)+β1xt+λyt–1+νt, (2)

где νt= εt–λ εt–1.

Полученная модель (2) является моделью авторегрессии, что позволяет проанализировать её краткосрочные и долгосрочные динамические свойства.

Значение переменной yt–1 в краткосрочном периоде (в текущем периоде) рассматривается как фиксированное, а воздействие переменной х на переменную у характеризует коэффициент β1.

Если xtв долгосрочном периоде (без учёта случайной компоненты модели) стремится к некоторому равновесному значению 

то yt и yt–1 также будут стремиться к своему равновесному значению, которое вычисляется по формуле:

из чего следует:

Долгосрочное влияние  переменной х на переменную у характеризуется коэффициентом

Несмотря на то, что  метод Койка очень удобен в  вычислительном отношении (оценки параметров β0, β1 и λ можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов), оценки, полученные с его помощью, будут смещёнными и несостоятельными, т. к. нарушается первое условие нормальной линейной модели регрессии.

  

Задание  2

Построить диаграммы показывающие зависимость каждого из показателей  от времени. Проанализировать полученные результаты, сопоставляя характер динамики каждого из показателей за различные  годы. Выдать диаграмму на печать вместе с анализом.

Рис.10. Зависимость объема продаж мороженого от времени года

Рис. 11. Зависимость объема продаж от затрат на рекламу

 

Рис. 12. Зависимость объема продаж от объема производства

Рис. 13. Зависимость объема продаж зимней женской обуви от сезона

Рис. 14. Зависимость стоимости  квартиры на рынке  первичного жилья  от срока сдачи дома 

 

Рис. 15. Жизненный цикл товара 

Рис. 16. Зависимость объема прибыли предприятия от объема издержек

Рис. 17. Зависимость стоимости  квартир от количества комнат

 

Рис. 18. Зависимость стоимости  квартир от общей площади

Рис. 19. Зависимость объема продаж от численности работников

 

Решение:

Зависимость от времени в  данном случае показана на следующих  рисунках:

Рис.10. Зависимость объема продаж мороженого от времени года

Рис. 13. Зависимость объема продаж зимней женской обуви от сезона

Рис. 14. Зависимость стоимости  квартиры на рынке  первичного жилья  от срока сдачи дома 

Рис. 15. Жизненный цикл товара.

Рассмотрим подробнее  каждый из рисунков.

Рис.10. Зависимость объема продаж мороженого от времени года

 

Рис. 13. Зависимость объема продаж зимней женской обуви от сезона

 

На рисунках 10 и 13 представлены временные ряды, содержащие только сезонную компоненту. Уровни этих временных  рядов формируются под воздействием кратковременных, периодических факторов, формирующих циклические (или сезонные) колебания рядов.

 

Рис. 14. Зависимость стоимости  квартиры на рынке  первичного жилья  от срока сдачи дома 

 

На рисунке 14 показан временной  ряд, содержащий только случайную компоненту. Каждый уровень временного ряда формируется  под воздействием случайных факторов, отражаемых случайными изменениями  уровней ряда. Закономерность на этой диаграмме не прослеживается.

Рис. 15. Жизненный цикл товара 

На рисунке 15 показан временной  ряд, характеризующий жизненный  цикл товара. Для описания жизненного цикла товара используется графическое  изображение зависимости объема продаж и прибыли от времени нахождения товара на рынке. Кривая жизненного цикла  товара описывает отчетливые периоды внедрения, роста, зрелости, насыщения  и  спада. На рисунке 15 представлен классический вид кривой жизненного цикла товара.

 

Задание 3

По приведенным в таблице 5.1 данным построена однофакторная  линейная модель y = 10 + 0,8x + e. Коэффициент корреляции равен r_xy  = 1 - . Табличное значение F-критерия Фишера (F_табл.) равно 19,5 при Р = 0,95.

y	x
10	0,5
12	1,2
11 + .	2,8
13 +	3,6

 

Оцените качество модели с  помощью:

1. Коэффициента детерминации;
2. Средней ошибки аппроксимации;
3. F-критерия Фишера.

 

Решение:

При = 102, коэффициент корреляции  r_xy  = 0,31. Тогда коэффициент детерминации:

(0,31)² = 0,0961 ≈ 0,1 < 0,5.

Полученное значение ниже 0,5. Условие, определяющее высокое качество модели не выполнилось.

Среднюю ошибку аппроксимации  можно вычислить по формуле:

Расчеты удобно проводить  в следующей таблице:

 

y	x		y -
10	0,5	10,4	-0,4	0,0494
12	1,2	10,96	1,04	0,0867
12,27	2,8	12,24	0,03	0,0024
14,02	3,6	12,88	1,14	0,0813

 

Считаем сумму в последней  колонке:

∑ = 0,2198.

= х 0,2198 х 100% = 5,49%

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 5,49%. Ошибка аппроксимации не большая, регрессионная модель хорошо описывает изучаемую закономерность. Второе условие выполнилось.

 

Найдем F_факт :

F_факт = (4-2) ≈ 0,21.

 

Сравниваем F_факт и F_табл.

0,21 < 19,5;

Следовательно, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется и признается их статистическая незначимость и ненадежность с вероятностью 1 – 0,05 = 0,95. Третье условие не выполнилось.

Вывод: рассмотренная модель плохо описывает изучаемую закономерность, так как не выполнено два из трех условий: условие по средней ошибке аппроксимации и условие по F-критерию Фишера. 

Задание 4

На основе матрицы парных коэффициентов корреляции выявить  и устранить   мультиколлинеарные факторы.  После их устранения построить уравнение регрессии по новым данным регрессионного анализа характеризующее зависимость результирующего показателя (y) от факторных (x_i) в линейной форме.

	х1	х2	х3	х4	х5	х6	у
х1	1
х2	0,98	1
х3	0,98	0,83	1
х4	0,16	0,08	0,88	1
х5	-0,19	-0,22	-0,13	-0,12	1
х6	0,1	0,09	-0,08	-0,07	0,18	1
У	0,93	0,88	0,86	0,17	-0,12	0,003	1

 

Решение:

Взаимосвязь может быть выражена следующим уравнением линейной регрессии у = а₀ +а₁х₁ + а₂х₂+а₃х₃ + а₄х₄ + а₅х₅ + а₆х₆ + е.

По диагонали в матрице  частной корреляции стоят единицы  по тому что рассматривается корреляция фактора самим с собой.

Проверим факторы на мультиколлинеарность. Мультиколлинеарная зависимость присутствует, если выполняется условие по коэффициенту парной корреляции

Это условие выполняется  для факторов:

- х₂ и х₃, так как r_x2x3 = 0,83

- x₁ и х₂, так как r_x1x2 = 0,98

- x₁ и х₃, так как r_x1x3 = 0,98

- x₃ и х₄, так как r_x3x4 = 0,88

 

Нашли мультиколлинеарные факторы.  Для устранения используется метод исключения переменных.  Будем поочередно исключать факторы, имеющие наименьшее значение r_xiy .

 

Исключаем х₃, т.к. r_x2y > r_x3y

0,88 > 0,86.

Исключаем х₂, т.к. r_x1y > r_x2y

0,93 > 0,88.

Таким образом, после удаления мультиколлениарных факторов исходное уравнение регрессии примет вид:

у = а₀ +а₁х₁ + а₄х₄ + а₅х₅ + а₆х₆ + е.

 

 

Задание 5

Имеются некоторые данные об объеме продаж (д.е.) за восемь лет.

Период (t)	Объем продаж (yt)
1	3,27
2	4,27
3	6,27
4	7,27
5	11,27
6	13,27
7	16,27
8	17,27

 

Измерить тесноту связи  между объемом продаж текущего и  предыдущего годов с помощью  коэффициента автокорреляции 1-го и 2-го порядка.

 

Решение:

Добавим в исходную таблицу  временной ряд y_t-1 .

Коэффициент автокорреляции уровней ряда 1-го порядка измеряющий зависимость между соседними  уровнями ряда t и t-1 рассчитывается по формуле.

Где

Для данных примера:

= = = 10,84

= = = 8,84

 

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка

t	yt	yt-1	yt -	yt-1 -	(yt - )*(yt-1 - )	(yt - )2	(yt-1 - )2
1	3,27	-	-	-	-	-	-
2	4,27	3,27	-6,57	-5,57	36,59	43,16	31,02
3	6,27	4,27	-4,57	-4,57	20,88	20,88	20,88
4	7,27	6,27	-3,57	-2,57	9,17	12,74	6,60
5	11,27	7,27	0,43	-1,57	-0,68	0,18	2,46
6	13,27	11,27	2,43	2,43	5,90	5,90	5,90
7	16,27	13,27	5,43	4,43	24,05	29,48	19,62
8	17,27	16,27	6,43	7,43	47,77	41,34	55,20
Итого	79,16	61,89	0	0	143,71	153,71	141,71