Изучение особенностей тепло- и массообмена в ограждающих конструкциях жилых зданий и сооружений

 

dQ₁ = λ dσ dt = λ n grad T dσ dt = -qn dσ dt,           (21)

 

где q = -λ grad T — вектор плотности теплового потока.

Количество теплоты, протекающее за время dt через площадь поверхности S, выразится интегралом

Q₁ = -dt qn dσ = -dt q_n dσ  ,                    (22)

где q_n — проекция вектора q на нормаль n.

Поверхностный интеграл (22) можно преобразовать в объемный по формуле Остроградского — Гаусса, связывающей двойной интеграл по поверхности S с тройным интегралом по объему V, ограниченному этой  поверхностью:

 

q_n dσ = div qdV.                                       (23)

 

Таким образом,

 

Q_{1 =}-dt div qdV .                                         (24)

 

Выделение или поглощение теплоты внутри объема V удобно характеризовать с помощью плотности (мощности) тепловых источников. Под плотностью тепловых источников понимают такую функцию F(x, у, z, t), когда в элементарном объеме dV за промежуток времени dt выделяется количество теплоты, равное

 

dQ₂ = F(x, у, z,   t) dV dt = F(M, t) dV dt.                      (25)

 

Тогда за промежуток времени dt в теле объемом V выделится количество теплоты

 

Q₂ =dt F(M, t)dV.                                       (26)

 

Здесь F(M, t)>0; если F(M, t)<0, то теплота не выделяется, а поглощается; функция F(M, t) считается непрерывной и ограниченной.

Общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом V,

 

Q = dt F(M ,t)dV - dt div qdV.                               (27)

С другой стороны, согласно формуле (21), это количество теплоты равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме. Указанное изменение на основании первого закона термодинамики может быть выражено формулой

 

Q = C dT,                                                   (28)

 

где С — теплоемкость выделенного объема; dТ — изменение его температуры.

Таким образом, Q может быть вычислено двумя способами, с одной стороны, по формуле (23), с другой — путем учета изменения температуры в точках объема V, ограниченного поверхностью S. В точке (x, y, z) за промежуток времени dt температура Т(х, у, z, t) изменится на

 

Т(х, у, z, t+dt) — T(x, у, z, t) = ( )dt.                                           (24)

 

Элементу объема dV массой ρdV для такого изменения температуры потребуется количество теплоты, равное cρ( )dVdt, а всему объему

CdT = dt сρ ( ) dV,                                      (25)

где с—удельная теплоемкость, [Дж/(кг-град)]; ρ—плотность вещества, [кг/м³].

Принимая во внимание (24) с учетом (23) и   (25),  находим

[cρ +divq – F(M, t)]dV = 0.                                     (26)

Равенство (26) должно выполняться для любой части тела объемом V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела

cρ +divq – F(M, t) = 0.                                       (27)

Это заключение справедливо, если левая часть в равенстве (27) — непрерывная функция. Предположим, что в точке М(х, у, z) равенство нарушается, т. е., например, [сρ + divq —F(M, t)] > 0. Тогда, интегрируя обе части неравенства по некоторой области V, содержащей точку М, получим противоречие с условием (26).

Так как q = - λgradT, то равенство (27) можно записать следующим образом:

 

cρ( ) = div(λ grad T) + F(M,  t).                             (28)

 

Получено уравнение, которому должна удовлетворять функция T(x, у, z, t), представляющая собой температуру некоторого тела. Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье.

Для изотропного гомогенного  тела параметры с, ρ, λ постоянные; далее, так как div(grad T) =∆T, где ∆ — оператор Лапласа, то окончательно можно записать (если разделить обе части (28) на сρ):

 

= a∆T(M, t)+ F(M, t),                                     (29)

 

где     a = λ/(cρ) — коэффициент     пропорциональности,     называемый температуропроводностью, [м²/ч].

 

 

 

 

§ 1.6. Краевые условия

Необходимо сформулировать начальное и граничное условия, которым должна удовлетворять функция Т(х, у, z, t) = T(M, t), описывающая распределение температуры в некотором теле.

Пусть G — конечная область трехмерного пространства, где происходит процесс теплопроводности (т.е. G – область изменения пространственных переменных х, у, z), и S — граница области, которую будем считать кусочно-гладкой поверхностью. Пусть далее Ω — цилиндрическая область в четырехмерном пространстве. Основанием цилиндра Ω с образующими, параллельными оси t (рис. 4), служит область G (при t = 0), высота цилиндра t₀, а граница состоит из боковой поверхности S_σ = S × [0, t₀] и двух оснований: нижнего          М G при t = 0, и верхнего М G при t = t₀. Таким образом, цилиндрическая область Ω является областью задания уравнения теплопроводности (28), область G, соответствующая геометрической форме и размеру тела, в котором изучается процесс теплопроводности, есть область задания начального условия, а S — область задания граничных условий (в точках области S происходит взаимодействие тела с окружающей средой, которое и описывается граничными условиями); — есть объединение множества G и его границы S. Например, если G=(a<.x<.b), то =( ).

Начальное условие для уравнения теплопроводности состоит в задании температуры во всех точках области G в момент t = 0, от которого и ведется отсчет времени

Т(М, t)| _t=0 = Ф₀(M), M G,                                     (29)

 

где данная функция  Ф₀ (М) непрерывна в точках (т. е. во всех точках тела). В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается:

 

Т(М, t)| _t=0 = T₀ = const,  M G.                               (30)

 

Условие (29) означает, что следует найти такое решение Т(М, t) тепловой задачи, которое по мере приближения времени к начальному значению стремилось бы во всех точках области G к заданной величине Ф₀(М):

 

.                                      (31)

 

Граничные условия — условия теплового взаимодействия тела с окружающей средой — могут быть заданы в различной форме в зависимости от характера процесса. В тех случаях, когда на границе тела не происходит никаких процессов с поглощением или выделением теплоты и отсутствует теплообмен излучением, граничные условия на поверхности соприкосновения двух сред в самом общем виде  заключаются   в  равенствах  температур   и  тепловых   потоков:

 

T_Т = T_С;    λ_T[

] =λ_c[ ],

 

где Т_T, Т_с — температуры тела и среды; λ_T, λ_с — теплопроводности тела и среды; п — нормаль к граничной поверхности тела — среда. Однако в практических задачах такая форма граничных условий чрезвычайно неудобна, так как для расчета температуры твердого тела необходимо решать сопряженную задачу, т. е. отыскивать температурное поле и в окружающей среде. Поэтому в ряде практически важных задач желательно перейти к более простым граничным условиям. В математической теории теплопроводности в большинстве случаев используются четыре основных условия, представляющих собой идеализацию действительных физических процессов.

• Граничное условие I рода состоит в задании поверхностного распределения температуры для любого момента времени

 

Т(М, t) = Ф(М, t), M S, t > 0,                                 (32)

 

где М — точка, находящаяся на поверхности S; Ф(М, t) — заданная непрерывная функция (по пространственным переменным и времени t) в точках области S.

В частном случае может  оказаться, что температура на поверхности одинакова на протяжении всего процесса теплообмена и с течением времени не меняется, т.е. . Это может быть осуществлено при искусственном поддержании постоянной температуры или при особых условиях теплообмена между тела и окружающей средой, например, в таких интенсивных процессах, как кипение, конденсация, вынужденное движение жидких металлов и др., когда температура поверхности тела близка к температуре окружающей среды.

• Граничное условие II рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции координат и  времени

 

-λ[ ] = Ф(M, t),    M S, t>0,              (33)

 

где Ф(М, t) — заданная непрерывная функция точки М и времени t в области S; п — нормаль к поверхности S в точке М.

Здесь следует различать процессы охлаждения и нагревания. Для процесса охлаждения < 0; тепловой поток при этом считается положительным, так что условие (33) относится к процессу охлаждения. Для процесса нагревания > 0, тепловой поток отрицательный и мы должны записать (если считать, что Ф(М, t) ≥ 0)

-λ[

] = -Ф(M, t),  или

λ[ ] = Ф(M, t),    M S,t>0.                (34)

В простейшем случае плотность  теплового потока через поверхность может быть постоянной по поверхности и во времени

-λ[

]| = q_n = const,    t > 0

Выражение (33), когда Ф(М, t) = 0, дает условие тепловой изоляции граничной поверхности тела. По определению, теплоизолированной поверхностью называется поверхность, через которую не проходит поток теплоты. В этом случае (33) имеет вид

 

[ ]| = 0,    t >0.                                       (35)

 

• Граничное условие III рода. При этом условии задаются температура окружающей среды Т_с и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена используется закон Ньютона - Рихмана (или просто Ньютона). Согласно этому закону, количество теплоты, отдаваемое единицей площади поверхности S с температурой Т_П в единицу времени в окружающую среду с температурой Т_с в процессе охлаждения (Т_П > Т_с), пропорционально разности температур поверхности тела Т_П и  окружающей среды Т_с:

 

q = α[T_П - T_c] = α[T(M, t)| - T_c],                                     (36)

 

где α —  коэффициент пропорциональности, называемой   коэффициентом  теплоотдачи.

• Граничное условие IV рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой (конвективный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся тел одинакова. При обтекании твердого тела потоком жидкости (или газа) передача тепла от жидкости (газа) к поверхности тела в непосредственной близости к поверхности тела (ламинарный пограничный слой или ламинарный подслой) происходит по закону теплопроводности (молекулярный перенос тепла), т. е. имеет место теплообмен, соответствующий граничному условию четвертого рода:

 

T_П(М, t)=[T_c(M, t)]_П .                                           (37)

 

Помимо равенства температур, имеет место также равенство потоков тепла:

-λ_с [ ]=-λ_П [ ].                                      (38)

Дифференциальное уравнение совместно с начальным и граничным условиями полностью определяет задачу, т. е. зная геометрическую форму тела, начальные и граничные условия, можно дифференциальное уравнение решить до конца и, следовательно, найти функцию распределения температуры в любой момент времени. Таким образом, в результате решения должна быть найдена функция

T(М, t) = Ф(M, t).                                              (39)

 

Функция Ф(M, t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению (при подстановке ее вместо Т в дифференциальное уравнение теплопроводности оно должно обращаться в тождество), а также начальному и граничному условиям.

По теореме единственности решения, если некоторая функция Т (M, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи.

 

 

Глава 2.

Некоторые задачи теории теплопроводности, используемые в строительной теплофизике

 

Теплофизической основой строительной теплофизики является феноменологическая теория теплопроводности. Жилое или  производственное помещение можно  рассматривать как некоторый  ограниченный объем с распределенными внутренними источниками. Такими источниками являются радиаторы отопления, газовые или электроплиты и другие бытовые приборы.

В этой главе будут рассмотрены  отдельные задачи теплопроводности, решения которых в некотором  приближении применимы к реальным процессам теплообмена и могут быть использованы при анализе и прогнозировании этих процессов.

 

§ 2.1. Стационарное температурное поле

Для стационарного состояния ( ) при отсутствии внутренних источников тепла (I_q = 0) дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

                                                          (40)

Таким образом, в стационарном состоянии  перенос тепла теплопроводностью определяется градиентом температуры и коэффициентом теплопроводности λ, который зависит от химического состава, физического строения и состояния вещества.

Теплопроводность в  газах и парах в значительной мере обусловлена молекулярным переносом кинетической энергии движения молекул, поэтому коэффициенты λ для газов и паров малы.