Изучение особенностей тепло- и массообмена в ограждающих конструкциях жилых зданий и сооружений

Если температурное поле Т задается задано функцией, зависящей лишь от одной координаты  r, T = T(r), то поле называется цилиндрическим.

Поле Т называется сферическим, если значение функции Т (в сферической системе координат) зависит только от одной переменной r и не зависит от углов φ и Θ.

 

§ 1.2. Температурный градиент

 Для того чтобы ввести понятие температурного градиента, рассмотрим две бесконечно близкие изотермические поверхности с температурами Т и    Т + ΔТ (ΔТ>0) и какую либо точку М, лежащую на одной из этих поверхностей (рис. 1).

 Перемещаясь из этой точки вдоль  любых направлений, можно обнаружить, что интенсивность изменения  температуры по различным направлениям неодинакова. Если перемещаться вдоль какого-либо направления l, пересекающего изотермические поверхности, то можно наблюдать изменение температуры. Математически можно описать изменение температуры Т при переходе от точки М к близкой точке М^' по направлению l. Скорость изменения температуры Т в точке М в направлении l характеризуется производной функции Т:

 

 .                                    (5)

 

Наибольшая разность температуры  на единицу длины вектора перемещения  будет наблюдаться в направлении нормали n к изотермической поверхности (рис.1). В соответствии с (5) максимальная скорость изменения температуры при этом равна:

∂Т/∂n =    =         (6)

Таким образом, в любой точке М изотермической поверхности можно построить некоторый вектор, направленный по нормали к этой поверхности в сторону увеличения температуры. Причем модуль этого вектора будет равен изменению температуры на единицу длины перемещения в данном направлении – скорости возрастания температуры в этом направлении. Такой вектор и называется градиентом температуры в точке М и записывается в виде grad T. Так он выглядит в различных системах координат:

В декартовых координатах:

 

grad T  =                                   (7)

 

в цилиндрических координатах:

 

grad T  =                                  (8)

 

в сферических координатах:

 

grad T  =                         (9)

 

Для обозначения вектора (1.8) в теории поля применяется символ

Таким образом, можно записать

 

│gradT│=∂T/∂n.                                         (10)

 

Длина вектора grad T равна скорости возрастания Т в этом направлении.

Температурный градиент показывает, насколько интенсивно изменяется температура внутри тела. Это важная величина, которая определяет многие физические явления (например, появление трещин от неравномерного нагрева тела)

Связь между grad T и вектором нормали к поверхности n выражается соотношением:

 

n gradT=∂T/∂n.                                          (11)

 

Вектор нормали к поверхности  в точке М может иметь два противоположных направления, однако независимо от направления этого вектора, из (11) следует, что grad T всегда направлен в сторону возрастания температуры.

 

§ 1.3. Тепловой поток. Векторная и скалярная формы закона Фурье

В теле, обладающем неравномерным  распределением температуры, всегда происходит перенос теплоты. Следовательно, для  того чтобы теплота передавалась теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела. В таком смысле неравенство нулю градиента температуры является необходимым условием возникновения теплового потока внутри тела. Тепловой поток имеет направление – от точек тела с более высокой к точкам с более низкой температурой. Таким образом переходим к рассмотрению теплового потока как вектора, направленного в сторону уменьшения температур, тогда поле тепловых потоков является векторным. Для математического описания поля тепловых потоков вводится вектор q,  называемый вектором плотности теплового потока. Под данным вектором в точке М температурного поля понимается вектор, направление которого совпадает с направлением переноса теплоты, а его абсолютная величина выражает тепловой поток или интенсивность переноса теплоты, которая измеряется количеством теплоты, проходящей в единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению потока в рассматриваемой точке. Через dQ обозначим количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность площади dσ за время dt. Тогда, по определению, модуль вектора плотности теплового потока можно записать в виде

 

q = dQ/(dσdt).                  (12)

 

Данное выражение является характеристикой  плотности теплового потока единичного элемента изотермической поверхности.

 Из опытов ясно, что передача теплоты  теплопроводностью происходит по нормали  к изотермической поверхности от мест с большей температурой к  местам с меньшей температурой. Так  что вектор плотности теплового  потока направлен по нормали к изотермической поверхности в направлении падения температуры. Можно рассматривать плотность теплового потока и вдоль любого другого направления l, отличного от направления нормали. Только в таком случае плотность теплового потока будет проекцией вектора q на это направление, т.е.  q cos(n, l).

 Фурье предположил, что тепловой поток  через элемент изотермической поверхности  определяется значением температурного градиента в рассматриваемой  точке М. Тепловые потоки в среде всегда имеют определенное направление. Вдоль изотермических поверхностей потоки возникнуть не могут из-за отсутствия разности температур. Следовательно, векторы плотности теплового потока q и grad T направлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположные стороны (рис.2).

С возрастанием разности температур растет и grad T, увеличивается также и плотность теплового потока. На основании опытов и теоретических предположений, Фурье сформулировал свою гипотезу, которая впоследствии была подтверждена многочисленными опытами. Закон Фурье в векторном виде записывается следующим образом:

 

q = -λ grad T.                                                     (13)

 

Это выражение описывает  механизм теплопроводности и используется при выводе уравнения теплопроводности, лежащего в основе всех теоретических исследований процессов теплопроводности.

Коэффициент пропорциональности λ называется теплопроводностью  и является физической величиной, характеризующей теплопроводящие свойства данного материала. Из (13) следует, что λ имеет размерность Вт/(м•град).

Численное значение теплопроводности характеризует количество тепла, проходящее через единицу площади изотермической поверхности в единицу времени  при единичном градиенте температуры. Значение теплопроводности зависит  от рода вещества, его структуры, влажности, температуры и т.д.

Как отмечалось выше, нормаль к  изотермической поверхности может  иметь два направления. Будем  считать тепловой поток положительным, если он совпадает с направлением нормали, и отрицательным, если они  противоположны. Из равенств (10) и (13) следует, что справедлива запись:

 

q = -λ ∂T/∂n.                                                 (14)

 

Таким образом, в скалярном  виде закон Фурье будет иметь  вид:

 

dQ = -λ(∂T/∂n)dσdt.                                     (15)

 

Данное выражение определяет количество теплоты, проходящее через  малый участок  dσ изотермической поверхности за время dt по направлению нормали n к площадке dσ. Для общего случая температурный градиент у разных точек изотермической поверхности различен и изменяется с течением времени. Поэтому количество теплоты, прошедшей за время t через изотермическую поверхность с площадью σ

Q = - .                                         (16)

Тепловой поток может быть определен  вдоль любого направления через площадь, перпендикулярную этому направлению. Равенство (16) справедливо не только для изотермических поверхностей.

Общее количество теплоты, протекающее  за время t через конечную площадь произвольной поверхности F с нормалью l,

Q = - .                                       (17)

Таким образом, для того чтобы определить количество теплоты, проходящей через  какую либо площадь поверхности  твердого тела, нужно знать температурное  поле внутри данного тела.

 Если спроектировать вектор плотности теплового потока на координатные оси, то в соответствии с (13) получим:

 

q_x = -λ(∂T/∂x)

                                                       q_y = -λ(∂T/∂y)                                             (18)

     q_z = -λ(∂T/∂z)

 

Тепловые потоки, выраженные уравнениями (18), являются составляющими вектора плотности теплового потока.

 

 

 

 

 

§ 1.4. Закон Ньютона – Рихмана

Предшественники Фурье  – Ньютон и Рихман, изучая теплообмен твердых тел в воздушной среде, независимо друг от друга пришли к выводу, что количество тепла, отдаваемое или принимаемое телом, прямо пропорционально разности температур между поверхностью и окружающей средой. Этот опытный факт, справедливый, вообще говоря, только при малых разностях температур между поверхностью тела Т_П и окружающей средой Т_с, называют законом Ньютона – Рихмана и аналитически представляют в виде

 

q = α(T_П – T_С ) = α∆T ,                                        (19)

 

где α, [Вт/(м² град)] – коэффициент теплообмена, характеризующий его интенсивность  (проводимость среды) и численно равный тепловому потоку, отдаваемому или принимаемому телом при единичной разности температур между поверхностью тела и окружающей средой.

 

§ 1.5. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Любое дифференциальное уравнение может описывать класс явлений различной физической природы. В процессе решения дифференциальных уравнений отыскиваются функциональные зависимости между величинами, описывающими тот или иной процесс. При выводе дифференциального уравнения теплопроводности использован основной закон природы – закон сохранения энергии, а также линейный закон переноса Фурье .

Если рассматривать  некоторый выбранный объем и элементарный промежуток времени, то становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс. Это дает возможность вывести дифференциальное уравнение рассматриваемого процесса, которое представляет собой наиболее общую связь между существенными для исследуемых процессов величинами и характеризует свойства, присущие всем физическим явлениям, в основе которых лежат одни и те же закономерности.

Интегрируя далее дифференциальное уравнение, можно получить аналитическую  зависимость между величинами для  всего пространства и всего рассматриваемого промежутка времени.

Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты  теплопроводностью, устанавливается  в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теплопроводности, на основе которого строится математическая теория теплопроводности. Как уже говорилось, в основу вывода этого уравнения положен закон сохранения энергии, сочетаемый с законом Фурье. Закон Фурье был описан выше, а закон сохранения энергии в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом.

Выделим в теле некоторую часть объема V, ограниченную замкнутой поверхностью S, через которую происходит тепловое взаимодействие выделенной части с окружающей ее средой — остальной частью тела. Имеет место следующее утверждение: количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за время dt вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме:

Q = Q₁ + Q₂,                          (20)

 

где Q — изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в выделенном объеме V за время dt, [Дж]; Q₁ — количество теплоты, введенное в выделенный объем путем теплопроводности за время dt, [Дж];  Q₂ — количество теплоты,  которое выделилось в объеме  V за время dt вследствие внутренних источников теплоты, [Дж].

Это утверждение вместе с законом  Фурье (1.15) и лежит в основе вывода дифференциального уравнения теплопроводности — основного уравнения аналитической теории теплопроводности. Для облегчения вывода принимаются некоторые упрощения:

1.  Деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой по сравнению с самим объемом.

2.    Макроскопические  частицы тела неподвижны относительно  друг друга.

Пусть V — выделенный объем произвольной формы части тела, ограниченный замкнутой поверхностью S (не обязательно изотермической); п — единичный вектор внешней нормали к точкам поверхности S (см Рис. 3); Т(х, у, z, t) — температура тела в точке (х, у, z) в момент времени t. Рассчитаем общее количество теплоты Q, полученное выделенным объемом за малый промежуток времени dt, при условии, что Q = Q₁ + Q₂. Для вычисления Q₁ воспользуемся законом Фурье в скалярной форме (15). Количество теплоты, подведенное в выделенный объем через элементарную площадку dσ за время dt, равно (с учетом того, что направление потока теплоты противоположно направлению нормали)