Основы анализа спектра

Рисунок 5-5. Коэффициент  шума системы для синусоидальных сигналов

Полоса разрешения тоже влияет на отношение сигнал/шум, или на чувствительность. Шум, генерируемый в анализаторе, случаен, и обладает постоянной амплитудой в  широком диапазоне частот*. Поскольку  разрешающие фильтры, или фильтры  ПЧ, установлены после первой ступени  усиления, полная мощность шума, проходящая через фильтры, определяется шириной  этих фильтров. Далее этот шумовой  сигнал детектируется и отображается на дисплее. Случайная природа шумового сигнала заставляет отображаемый уровень  изменяться как 
 
10 log (BW₂/BW₁) 
 
где BW₁ – начальная полоса разрешения; 
BW₂ – конечная полоса разрешения. 
 
Так, если мы изменим полосу разрешения в десять раз, отображаемый уровень шума изменится на 10 дБ, как показано на Рис. 5-2. Для незатухающих волновых сигналов мы получим наилучшее соотношение сигнал/шум, или наилучшую чувствительность, используя минимальную полосу разрешения из доступных в нашем анализаторе².

Рисунок 5-2. Отображаемый уровень шума изменяется как 10 log (BW₁/BW₂)

шума системы асимптотически стремится  к NFsaSA - Gpre. Когда та же величина становится больше +15 дБ, коэффициент шума системы  асимптотически приближается к NFpre минус 2.5 дБ. 
 
Теперь давайте рассмотрим два численных примера. Ранее мы определили, что коэффициент шума нашего анализатора равен 24 дБ. Каков будет коэффициент шума системы, если мы подключим еще и Agilent 8447D, предусилитель с коэффициентом шума примерно 8 дБ и коэффициентом усиления 26 дБ? Сначала определим, что NFpre + Gpre - NFsaSA равно +10 дБ. Из графика на Рис. 5-5 находим, что коэффициент шума системы примерно NFpre – 1.8 дБ, или около 8 - 1.8 = 6.2 дБ. На графике уже учтен фактор 2.5 дБ. С другой стороны, если усиление предусилителя всего 10 дБ, то NFpre + Gpre - NFpre будет -6 дБ. В этом случае по графику определяем коэффициент шума системы NFsaSA - Gpre + 0.6 дБ, или 24 – 10 + 0.6 = 14.6 дБ ¹. (При определении коэффициента шума отдельного анализатора, проведенном ранее, фактор 2.5 дБ не вводился, поскольку измеренный шум мы снимали непосредственно с дисплея, а отображаемый шум уже учитывает эти 2.5 дБ.) 
 
Многие современные анализаторы спектра имеют опциональные встроенные предусилители. По сравнению с подключаемыми предусилителями, встроенные предусилители облегчают подготовку к измерениям и устраняют необходимость в дополнительных кабельных подключениях. Амплитудные измерения гораздо удобнее проводить с использованием встроенного предусилителя, поскольку комбинация предусилитель/анализатор калибруется одновременно как система, и отображаемые на экране амплитудные значения будут соответствующим образом откорректированы. В случае с внешним предусилителем будет необходимо скорректировать показания анализатора отстройкой опорного уровня на величину усиления предусилителя. Многие современные анализаторы спектра позволяют произвести ввод значения усиления предусилителя со своей передней панели. Затем анализатор применяет это введенное значение к отображаемому опорному уровню, так что можно непосредственно наблюдать вводимую поправку и скорректированные результаты измерения на экране. 
 
Шум² как сигнал 
Пока что мы рассматривали шум, генерируемый внутри измерительной системы (анализатор или предусилитель/анализатор). Мы описали, как средний отображаемый уровень шума системы ограничивает ее общую чувствительность. Однако, порой тем сигналом, который мы хотим измерить, является случайный шум. Из-за природы шума, супергетеродинный анализатор спектра показывает значение, меньшее, чем истинное значение шума. Давайте посмотрим, почему это так, и что можно сделать, чтобы внести коррекцию. 
 
Под случайным шумом мы понимаем сигнал, чья мгновенная амплитуда имеет гауссово распределение по времени, как показано на Рис. 5-6. Например, тепловой шум, или шум Джонсона, обладает таким распределением.³ 
 
Подобный сигнал не имеет дискретных спектральных компонент, поэтому мы не можем выбрать какую-то конкретную компоненту и измерить ее, чтобы получить представление о силе сигнала. На самом деле, мы должны определить, что мы считаем силой сигнала. Если мы замерим сигнал в произвольный момент времени, теоретически мы можем получить любую величину. Нам нужна некоторая мера, которая выразит шумовой уровень, усредненный по времени. Мощность и среднее квадратичное отклонение оба удовлетворяют этому требованию.⁴ 
Мы уже видели, что и видео-фильтрация и видео-усреднение уменьшают пиковые флуктуации сигнала и могут дать нам ровную величину. Мы должны приравнять эту величину или к мощности или к среднеквадратичному напряжению. Среднеквадратичная величина гауссовского распределения равна его стандартному отклонению σ⁵.

Рисунок 5-6. Амплитуда  случайного шума имеет гауссово распределение

Давайте начнем с анализатора с  линейным масштабом дисплея. Гауссовский  шум на входе ограничен по полосе после прохождения через цепь ПЧ, и его огибающая принимает  форму релеевского распределения⁶ (Рис. 5-7). 
 
Шум, который мы видим на дисплее, то есть выход с детектора огибающей, есть распределенная по Релею огибающая входного шумового сигнала. Чтобы получить стабильное среднее значение, мы используем видео-фильтрацию для усреднения. Среднее значение распределения Релея равно 1.253 σ. 
 
Но наш анализатор – это вольтметр пикового отклика, настроенный на отображение среднеквадратичного значения синусоидальной волны. Для перевода пиковых значений в среднеквадратичные, наш анализатор масштабирует свои показания в 0.707 раз (-3 дБ). Среднее значение распределенного по Релею шума масштабируется в той же пропорции, давая нам значение 0.886 σ (1.05 дБ ниже σ). Чтобы приравнять среднее значение, демонстрируемое на дисплее, к среднеквадратичному напряжению входного шумового сигнала, мы должны учесть ошибку в отображаемой величине. Заметим, что ошибка эта не является неопределенностью; это постоянная ошибка, которую можно скорректировать добавлением 1.05 дБ к отображаемой величине. 
 
В большинстве анализаторов спектра масштаб дисплея (логарифмический или линейный по напряжению) определяет масштаб, в котором будет проведено усреднение шумового распределения при помощи фильтра видео-полосы или усреднения трассы. Обычно анализатор спектра используется с логарифмическим масштабом дисплея, и этот режим вносит добавку в ошибку измерения шума. Усиление логарифмического усилителя является функцией амплитуды сигнала, так что высокие уровни шумового сигнала не усиливаются в одинаковой пропорции с низкими уровнями шумового сигнала. В результате на выходе детектора огибающей будет скошенное распределение Релея, и его среднее значение, полученное видео-фильтрацией или усреднением, будет еще на 1.45 дБ ниже. Получается, что в логарифмическом режиме средний уровень шума отображается на 2.5 дБ ниже. И снова эта ошибка не есть неопределенность, и ее всегда можно скорректировать⁷. 
Это и есть тот фактор 2.5 дБ, который мы встретили при недавнем обсуждении предусилителей, в случае, когда выходная мощность шума предусилителя равна или больше величины собственного шума анализатора.

Рисунок 5-7. Огибающая  ограниченного по полосе гауссовского шума имеет распределение Релея

Другим фактором, влияющим на измерения  шумовых сигналов, является полоса, в которой производятся измерения. Мы видели, как изменение полосы разрешения влияет на отображаемый уровень  внутреннего шума анализатора. Полоса влияет на внешний шумовой сигнал подобным же образом. Чтобы сравнить измерения, сделанные на различных  анализаторах, мы должны знать полосу, использованную в каждом случае. 
 
Не только полоса анализатора по уровню 3 дБ (или 6 дБ) влияет на измеряемый шумовой уровень, но и форма АЧХ разрешающего фильтра⁸также играет некоторую роль. Чтобы сделать сравнения возможными, мы определяем стандартную шумовую полосу⁹: ширину прямоугольного фильтра, который пропускает ту же шумовую мощность, что и фильтр нашего анализатора. Для окологауссовских фильтров анализаторов фирмы Agilent эквивалентная полоса в 1.05 – 1.13 раз шире полосы по уровню 3 дБ, в зависимости от полосовой избирательности. Например, разрешающий фильтр с полосой 10 кГц по уровню 3 дБ имеет эквивалентную шумовую полосу 10.5 – 11.3 кГц. 
 
Если мы используем формулу 10 log(BW₂/BW₁) для подгонки отображаемого шумового уровня к тому, который мы должны измерить в шумовой эквивалентной полосе, соответствующей полосе по уровню 3 дБ, мы находим, что подгоночная величина меняется от 
 
10 log(10000/10500)=-0.21 дБ 
до 
10 log(10000/11300)=-0.53 дБ. 
 
Другими словами, если мы вычитаем нечто между 0.21 и 0.53 дБ из отображаемого шумового уровня, мы получим шумовой уровень в эквивалентной шумовой полосе, который удобен для расчетов. Для нижеследующих примеров мы используем величину 0.5 дБ в качестве разумного компромисса для коррекции полосы¹⁰. 
 
Давайте рассчитаем суммарную коррекцию для различных видов усреднения: 
 
Линейное усреднение (напряжения): 
Распределение Релея (линейный режим): 1.05 дБ 
Отношение полосы по уровню 3 дБ к эквивалентной шумовой полосе: -0.5 дБ 
Суммарная коррекция: 0.55 дБ 
 
Логарифмическое усреднение: 
Логарифм распределения Релея: 2.5 дБ 
Отношение полосы по уровню 3 дБ к эквивалентной шумовой полосе: -0.5 дБ 
Суммарная коррекция: 2 дБ 
 
Усреднение мощности (среднеквадратичное): 
Распределение мощности: 0 дБ 
Отношение полосы по уровню 3 дБ к эквивалентной шумовой полосе: -0.5 дБ 
Суммарная коррекция: -0.5 дБ 
 
Многие современные анализаторы с микропроцессорным управлением позволяют использовать шумовой маркер. При этом микропроцессор переключает анализатор в режим усреднения мощности, рассчитывает среднее значение по некоторому количеству дисплейных точек маркера¹¹, нормализует и корректирует значение к 1 Гц эквивалентной шумовой полосы, и отображает нормализованное значение. 
 
Анализатор сам делает тяжелую часть работы. А перевести значение шумового маркера в другие полосы уже легко. Например, если мы хотим знать полный шум в канале связи 4 МГц, мы добавляем 10log(4000000/1) или 66 дБ к значению шумового маркера¹². 
 
Предусилитель для измерения шума 
Поскольку обычно шумовые сигналы имеют низкий уровень, мы часто нуждаемся в предусилителе, чтобы получить подходящую чувствительность для их измерения. Однако, сперва мы должны пересчитать чувствительность нашего анализатора. Выше мы определили чувствительность как уровень синусоидального сигнала, который равен отображаемому среднему шумовому уровню. Поскольку анализатор калибруется так, чтобы показать правильную амплитуду синусоиды, никаких поправок для сигнала не нужно. Но шум располагается на 2.5 дБ ниже, поэтому входной шумовой сигнал должен быть на 2.5 дБ выше шумовой границы анализатора, чтобы быть на том же уровне к моменту отображения на дисплее. 
 
Внутренний и внешний шумовые сигналы складываются, чтобы повысить отображаемый шум на 3 дБ, или в 2 раза больше по мощности. Поэтому мы можем определить коэффициент шума нашего анализатора для шумового сигнала как: 
 
NF_SA(N) = [нижняя граница шума]_дБм/RBW – 10 log(RBW/1) – kTB_B=1 + 2.5 дБ 
 
Если использовать ту же нижнюю границу шума, что и прежде, -110 дБ в полосе разрешения 10 кГц, то получим: 
 
NF_SA(N) = -110 дБм -10 log(10000/1) – (-174 дБм) + 2.5 дБ = 26.5 дБ 
 
Как и в случае с синусоидальным сигналом, NF_SA(N) не зависит от полосы разрешения, и показывает нам, насколько выше над kTB должен быть шумовой сигнал, чтобы сравняться с нижней границей шума нашего анализатора. 
 
Когда мы добавляем предусилитель к нашему анализатору, коэффициент шума системы улучшается. Однако мы уже учли фактор 2.5 дБ в нашем определении NF_SA(N), так что график коэффициента шума системы становится таким, как показано на Рис. 5-8. Коэффициент шума для шумового сигнала определяется точно так же, как и в предыдущем случае с синусоидальным сигналом.

Рисунок 5-8. Коэффициент  шума системы для шумовых сигналов

 
¹ Более подробно о коэффициенте шума см. в документе Agilent Application Note 57-1 "Fundamentals of RF and Microvave Noise Figure Measurements". 
² прим. ред. Всюду, где автор говорит о шумах (шум системы, шум сигнала, фазовый шум сигнала и т. д.), он молчаливо предполагает (возможно, не осознавая этого), что шум стационарный и эргодичный. 
³ прим. ред. Если для предположения о гауссовости распределения собственного шума анализатора спектра есть некоторые предпосылки, хотя и не достаточные, то предполагать входной шумовой сигнал гауссовым нет никаких оснований. Это просто привычное, шаблонное предположение для случайного процесса с нефинитным множеством значений, по принципу: «Если не знаешь распределения – бери гауссовское». Кроме того, даже зная истинное негауссово распределение шума, непросто (а иногда – очень сложно) найти распределение огибающей этого процесса. Возникающая неопределенность калибровки из-за неопределенности распределения процесса – следствие калибровки анализатора спектра по огибающей, в свою очередь обязанной использованию детектора огибающей. К счастью, при других встречающихся на практике распределениях шума ошибка калибровки по гауссовой модели будет небольшой. 
⁴ прим. ред. Вместо термина «мощность» в данном случае правильнее применить термин «средняя мощность» или «дисперсия», т. к. мощность случайного процесса сама есть случайный процесс. 
⁵ прим. ред. это просто синонимы. 
⁶ прим. ред. Это верно только при среднем, равном нулю, что в данном случае неявно предполагается. 
⁷ В приборах серии ESA и PSA усреднение может быть переключено в режим усреднения видео, напряжения или мощности (среднеквадратичное), независимо от выбранного режима дисплея. При использовании усреднения мощности поправка не требуется, поскольку среднеквадратичный уровень определяется квадратом амплитуды сигнала, а не логарифмом или огибающей напряжения. 
⁸ прим. ред. точнее – форма АЧХ фильтра. 
⁹ прим. ред. в отечественной литературе – эффективная шумовая полоса. 
¹⁰ Анализаторы серии ESA калибруют каждую полосу разрешения во время процедуры установки ПЧ, чтобы определить эквивалентную шумовую полосу. Анализаторы серии PSA имеют заявленную в спецификации точность эквивалентной шумовой полосы в рамках 1% (±0.044 дБ). 
¹¹ Например, приборы серии ESA и PSA рассчитывают среднее за половину деления, независимо от количества дисплейных точек. 
¹² Многие современные анализаторы делают эти вычисления еще проще при помощи функции «Мощность Канала». Пользователь вводит полосу интегрирования канала и центрует сигнал на дисплее. Функция «Мощность Канала» вычисляет полную мощность сигнала в канале.

Глава 6 
 
Динамический диапазон 
 
Определение 
Динамический диапазон обычно понимают, как возможность анализатора измерять гармонически связанные сигналы и взаимодействия двух или более сигналов; например, измерять вторые и третьи гармонические искажения или интермодуляции третьего порядка. Имея дело с подобными измерениями, нужно помнить, что входной смеситель анализатора спектра - устройство нелинейное, и поэтому всегда генерирует собственные искажения. Для нелинейности смесителя имеется причина. Он должен быть нелинейным, чтобы преобразовывать входной сигнал на желаемую ПЧ. Но нежелательные продукты искажения, генерируемые в смесителе, попадают на те же частоты, на которых находятся те продукты искажений, которые мы желаем измерить для изучения входного сигнала. 
Поэтому мы можем определить динамический диапазон следующим образом: это есть отношение, выраженное в дБ, наибольшего и наименьшего сигналов, одновременно присутствующих на входе анализатора спектра, которое допускает измерение наименьшего сигнала с заданной степенью погрешности. 
Заметим, что точность измерения есть часть определения. Ниже мы увидим, как внутренний шум и искажение влияют на точность. 
 
Динамический диапазон в зависимости от внутренних искажений 
Чтобы определить динамический диапазон в функции искажения, мы должны вначале точно определить поведение входного смесителя. Большинство анализаторов, в частности те, что применяют гармоническое смешение для расширения своего диапазона настройки¹, используют диодные смесители. Другие типы смесителей ведут себя подобным же образом. 
Ток через идеальный диод можно выразить так: 
 
i = I_S(e^qv/kT-1), 
 
где I_S - ток насыщения диода 
q - заряд электрона (1.6 х 10^-19 К), 
v - мгновенное напряжение, 
k - постоянная Больцмана (1.38 х 10^-29 Джоуля/°К), 
T - абсолютная температура в градусах Кельвина. 
 
Мы можем разложить это выражение в ряд: 
 
i = I_S(k₁v + k₂v² + k₃v³ + ...), 
 
где k₁=q/kT, 
k₂=k₁²/2!, 
k₃=k₁³/3!, и т. д. 
 
Приложим теперь к смесителю два сигнала. Один будет входной сигнал, который мы хотим анализировать, другой - сигнал гетеродина, необходимый для перевода сигнала на ПЧ: 
 
v = V_LOsin(ω_LOt) + V₁sin(ω₁t). 
 
Легко математически найти желаемый продукт смешения на промежуточной частоте: 
 
k₂V_LOV₁cos[(ω_LO - ω₁)t]. 
 
Кроме того, генерируется другой член: 
 
k₂V_LOV₁cos[(ω_LO + ω₁)t], 
 
но когда мы обсуждали уравнение настройки, мы обнаружили, что хотим иметь частоту гетеродина выше ПЧ, поэтому частота ω_LO + ω₁ также всегда выше ПЧ. 
 
При постоянном уровне гетеродина выход смесителя линейно соответствует уровню входного сигнала. На практике это верно до тех пор, пока входной сигнал более чем на 15 - 20 дБ ниже уровня гетеродина. Здесь есть также члены, включающие гармоники входного сигнала: 
 
(3k₃/4)V_LOV₁²sin(ω_LO - 2ω₁)t, 
 
(k₄/8)V_LOV₁³sin(ω_LO - 3ω₁)t, и т.д. 
 
Эти члены говорят нам, что динамический диапазон благодаря внутренним искажениям есть функция уровня сигнала на входе смесителя. Посмотрим, как это работает, используя для нашего определения динамического диапазона разность в дБ между фундаментальной частотой и внутренне генерируемым искажением. 
Аргумент синуса в первом члене включает 2ω₁, поэтому он представляет вторую гармонику входного сигнала. Уровень этой гармоники есть функция квадрата амплитуды фундаментальной частоты, V₁2. Этот факт говорит нам, что на каждый дБ сигнала на фундаментальной частоте приходится два дБ второй гармоники. См. Рис. 6-1. Второй член включает 3ω₁, третью гармонику, пропорциональную кубу амплитуды входного сигнала, V₁3. Поэтому на 1 дБ изменения на фундаментальной частоте на входе смесителя приходится 3 дБ изменения внутренне генерируемой третьей гармоники. 
Искажение часто описывается его порядком. Порядок можно определить обозначением коэффициента, связанного с частотой сигнала, или показателем экспоненты, связанной с амплитудой. Поэтому искажение типа второй гармоники есть искажение второго порядка, а третья гармоника - искажение третьего порядка. Порядок также показывает изменение внутренне генерируемого искажения относительно изменения на фундаментальной частоте, которая создает это искажение. 
 
Теперь добавим второй входной сигнал: 
 
v = V_LOsin(ω_LOt) + V₁sin(ω₁t) + V₂sin(ω₂t). 
 
На этот раз можем получить математически: 
 
(k₄/8)V_LOV₁²V₂cos[ω_LO - (2ω₁ - ω₂)]t, 
 
(k₄/8)V_LOV₁V₂²cos[ω_LO - (2ω₂ - ω₁)]t, и т. д.

Рисунок 6-1. Изменение  уровней фундаментальных тонов  в смесителе

Здесь представлено интермодуляционное искажение, получаемое при взаимодействии каждого из двух входных сигналов с другим. Низший продукт искажения, на частоте 2ω₁-ω₂, попадает ниже ω₁на разностную частоту сигналов ω₂-ω₁. Более высокий продукт искажения, 2ω₂-ω₁ попадает выше частоты ω₂ на ту же разность. См. Рис. 6-1. 
Снова напомним, что динамический диапазон есть функция уровня сигналов на входе смесителя. Внутренне генерируемые искажения изменяются как продукты V₁2 и V₂ в первом случае, как продукты V₁ и V₂² - во втором случае. Если V₁ и V₂ имеют одинаковые амплитуды, обычный случай при проведении теста на искажения, мы можем трактовать их продукты как кубические члены (V₁³или V₂³). Поэтому для каждого дБ одновременного изменения двух входных сигналов, будет 3 дБ изменения компонент искажения, как показано на Рис. 6-1. 
 
Это та же степень изменения, которую мы видели по третьей гармонике искажения. И это, на самом деле, тоже искажение третьего порядка. В этом случае мы можем определить степень искажения, суммируя коэффициенты при ω1 и при ω₂ (т. е. 2ω₁-1ω₂ дает 2+1=3) или показатели экспонент при V₁и при V₂. 
 
Все это говорит о том, что динамический диапазон зависит от уровня сигнала на смесителе. Откуда мы знаем, какой уровень необходим на смесителе для проведения конкретного измерения? В документацию на большинство анализаторов включаются графики, чтобы сказать нам как меняется динамический диапазон. Однако если никаких графиков нет, мы можем построить свои собственные². 
 
Нам нужна отправная точка, и ее мы можем получить из документации. Вначале посмотрим на искажения второго порядка. Предположим, что в документации указано, что искажения за счет второй гармоники на 75 дБ ниже для сигнала на смесителе, составляющего -40 дБм. Поскольку измерение искажения относится к относительным измерениям, и (по крайней мере, в данный момент) мы называем динамическим диапазоном разность в дБ между главной модой или модами и внутренне генерируемым искажением, мы получили нашу отправную точку. Внутренне генерируемое искажение второго порядка лежит на 75 дБ, поэтому мы можем измерить искажение на уровне 75 дБ. Наносим эту точку на график, где по осям нанесены искажения (дБн) - по вертикальной оси, в функции уровня на смесителе (уровень на входном разъеме минус установка входного аттенюатора). См. Рис. 6-2. Что случится, если уровень на смесителе упадет до -50 дБм? Как отмечено на Рис. 6-1, для каждого дБ изменения уровня входа смесителя на фундаментальной частоте будет 2 дБ изменения внутренне генерируемой второй гармоники. Но для измерительных целей мы интересуемся только относительным изменением, то есть тем, что случится с нашим измерительным диапазоном. В этом случае, для каждого дБ, на который сигнал фундаментальной частоты изменится на смесителе, измерительный диапазон изменится также на 1 дБ. Тогда в нашем примере со второй гармоникой, когда уровень на смесителе изменится от -40 дБм до -50 дБм, внутренние искажения, а значит, измерительный диапазон, изменятся от -75 дБн до -85 дБн. Действительно, эти точки попадают на линию с наклоном 1, которая описывает динамический диапазон для любого входного уровня на смесителе. 
 
Мы можем построить подобную линию и для искажения третьего порядка. Например, в документации указано, что искажения третьего порядка, скажем, -85 дБн для уровня -30 дБм на этом смесителе. Снова, это наша начальная точка, и мы отметим на графике точку, показанную на Рис. 6-2. Если мы теперь снизим уровень на смесителе до -40 дБм, что случится? Обращаясь снова к Рис. 6-1, мы видим, что и искажение, связанное с третьей гармоникой, и интермодуляционное искажение третьего порядка падают на 3 дБ за каждый дБ, на который падает сигнал на основной моде. И снова нам важна только разность. Если уровень на смесителе изменяется от -30 дБм до -40 дБм, разность между сигналом основной моды или мод и внутренне генерируемым искажением изменяется на 20 дБ. Так что величина внутреннего искажения будет -105 дБн. Эти две точки попадают на линию, имеющую наклон 2, давая нам производительность третьего порядка для любого уровня на смесителе.