Микропроцессорная техника

Вычтем из (5.1) установившееся значение

                                     

(это равенство  вытекает из того, что значение  = 0 соответствует постоянному значению х в установившемся состоянии).

В результате получим

            

Подставим сюда (5.2) и заменим. Отбросив мнимую часть полученного выражения (так как x(t) — вещественно), будем иметь

             

Подынтегральное выражение представляет собой четную функцию. Поэтому интегрирование в пределах     можно заменить на   и удвоить результат. Кроме того, заметим, что

           

В результате получаем

            

Поскольку даны нулевые начальные  условия, причем нулевые значения функции  распространяются на  то можно, подставив в формулу (5.3) вместо t величину –t написать

            

Складывая и вычитая выражения (5.3) и (5.4), приходим к формулам соответственно

            

Последняя формула будет  использована ниже для частотных оценок качества переходного процесса. Отметим, что существуют приближенные способы построения кривой переходного процесса в замкнутой системе по этой формуле.

Приведем здесь также  частотный способ определения весовой функции замкнутой системы. Как известно если переходный процесс x(t) определен при задающем воздействии g(t)=1(t), то имеет место соотношение

Поэтому, дифференцируя  выражение (5.5), находим

 

Существует приближенный способ вычислений по этой формуле.

Аналогично можно найти  и весовую функцию замкнутой системы для возмущающего воздействия.

Знание весовых функций  замкнутой системы  и   позволяет согласно формуле (3.8) определять вынужденную часть процесса регулирования при любых внешних воздействиях g(t) и f(t).

 

Ниже рассматриваются  различные формы оценок качества переходного процесса в замкнутой системе. Какие из них применять на практике — зависит от того, какой материал уже имеется в распоряжении относительно данной системы, а также от того, какими методами предполагается вести дальнейший процесс проектирования системы.

Простейшей из частотных  оценок качества переходного процесса является запас устойчивости. Он определяет только степень близости замкнутой системы к границе устойчивости по виду частотных характеристик ее разомкнутой цепи.

На рис. 5.3, а показано, как находить запас по амплитуде и запас по фазе по логарифмическим частотным характеристикам. Если перенести их на амплитудно-фазовую частотную характеристику, то это будет соответственно (рис. 5.3, б).

 

 

Длительность переходного  процесса и перерегулирование можно приближенно оценить по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы Получение ее рассмотрено выше.

На основании зависимости (5.5) выведены следующие оценки.

В переходном процессе получится перерегулирование если имеет «горб» (рис. 5.4, а). При отсутствии «горба» (рис. 5.4, б) будет Процесс окажется наверняка монотонным если и

монотонно убывает по абсолютному значению (рис. 5.4, в).

 

Длительность переходного  процесса оценивается приблизительно по величине интервала существенных частот (рис. 5.4), причем

Важно отметить, что время обратно пропорционально величине т. е. чем более растянута частотная характеристика, тем короче переходный процесс. Физически это связано с тем, что, чем более высокие частоты «пропускает» система, тем она менее инерционна в своих реакциях на внешние воздействия.

Это же свойство позволяет  связать время с частотой среза (рис. 5.3) характеристики разомкнутой цепи. Длительность переходного процесса   тем меньше, чем больше частота среза .Зависимость между величинами представлена графиком на рис. 5.5.

Кроме того, свойство частотных  характеристик таково, что начальная их часть влияет в основном на очертание конца переходного процесса причем (рис. 5.4). Основное же влияние на качество переходного процесса оказывает форма средней части частотной характеристики.

В связи с этим логарифмическую частотную характеристику разомкнутой цепи системы делят на три области (рис. 5.6), причем область низких частот в основном определяет точность в установившемся режиме (в частности, астатизм и установившуюся ошибку на рабочей частоте следящей системы). Область средних частот в основном определяет качество переходного процесса. В частности, частота среза , как уже говорилось,

 

определяет полосу пропускания  сигналов и длительность переходного  процесса. Наклон вблизи частоты среза характеризует колебательность переходного процесса. Так, наклон —20 дБ/дек при (рис. 5.6), соответствующий свойствам апериодического звена, обеспечивает наименьшую колебательность переходного процесса в замкнутой системе.

 

Следующей частотной  оценкой качества является показатель колебательности — максимальное значение М_тах амплитудной частотной характеристики замкнутой системы (рис. 5.7)

Эта величина М_тax может быть определена по виду частотной характеристики разомкнутой цепи данной системы. В самом деле

Отсюда                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

 

      Следовательно, линии равных значений величины M, нанесенные на плоскости будут окружностями со смещающимся центром C и меняющимся радиусом R, как показано на рис.5.8.

 

Имея такую диаграмму  линий M=const, можно по заданной амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой цепи легко определить показатель колебательности замкнутой системы и построить всю амплитудную частотную характеристику замкнутой системы (рис.5.7.).

Изображенные на рис.5.8. характеристики (1и 2) соответствуют характеристиками 1 и 2 замкнутой системы (рис.5.7.).

Если например, желательно иметь  то характеристику 1 (рис.5.8.) нужно скорректировать так, чтобы она не заходила внутрь круга (рис.5.9.).

Такую запретную область  можно перенести на плоскость логарифмической частотной характеристики следующим образом.На кривой  (рис.5.9.) в каждой

 

точке имеем определенное значение амплитуды А и фазы Следовательно, зная (рис. 5.10), можем для каждого значения Lm = 20 lg А отметить там соответствующую точку Таким образом, образуется кривая М = 1,5 на поле логарифмических характеристик, очерчивающая запретную зону, в которую не должна заходить фазовая частотная характеристика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2  Корневые оценки качества

 

Корневыми оценками называются такие, которые основываются на расположении корней характеристического уравнения замкнутой системы, т. е. полюсов передаточной функции замкнутой системы, а также и нулей этой передаточной функции.

Простейшей корневой оценкой качества является степень устойчивости — расстояние от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы (рис. 5.11). Если ближайшим является вещественный корень (рис. 5.11, а),

то ему соответствует апериодическая составляющая решения для переходного процесса

(апериодическая степень  устойчивости ). Время ее затухания

характеризует общую  длительность переходного процесса, так как все члены решения, соответствующие остальным корням, затухают быстрее.

Если же ближайшей  к мнимой оси окажется пара комплексных  корней (рис. 5.11, б), то доминирующая составляющая решения для переходного процесса

будет колебательной (колебательная  степень устойчивости ), причем оценка длительности переходного процесса остается прежней (5.9) .

Определяется величина степени устойчивости следующим образом. Вводится новая комплексная переменная Тогда на плоскости z мнимая ось пройдет через ближайшие корни, т. е. составленное относительно z характеристическое уравнение должно удовлетворять условию нахождения на границе устойчивости.

Таким образом, если задано характеристическое уравнение

то подставив  а именно

получим новое уравнение, которое называется смещенным, в виде

где коэффициенты являются функциями Их можно вычислить следующим образом:

что вытекает из представления  выражения (5.11) как результата разложения функции  (5.10) при в ряд Т Тейлора.

 

 

Затем к уравнению (5.11)’  применяется условие границ устойчивости, например, по Гурвицу

откуда и определяется величина

Ниже будет дана диаграмма  степени устойчивости для системы  третьего порядка.

Колебательность переходного процесса определяется величиной

где — вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения. Именно эта величина характеризует быстроту затухания колебаний за каждый период. В самом деле, паре комплексных корней соответствует составляющая решения переходного процесса

Период колебаний равен .

Через один период амплитуда      уменьшается до величины

 

Следовательно, чем больше величина  названная колебательностью, тем слабее будет затухание колебаний в переходном процессе. Линия образует центральный угол (рис. 5.13, а) на комплексной плоскости.

Суммарное требование определенных значений степени устойчивости и колебательности приводит к области, изображенной па рис. 5.13, б, внутри которой должны

лежать все корни  характеристического уравнения  замкнутой системы.

Далее необходимо иметь  в виду, что для определения  качества переходного процесса при единичном скачке внешнего воздействия существенны не только корпи характеристического уравнения, т. е. полюса, но также и пули передаточной функции замкнутой системы Ф(s). В самом деле, как мы знаем,

Воспользуемся формулой (3.10), разложив многочлен N(Si) на множители

        

                                                                                                                        

 

 

где полюса т. е. корни характеристического уравнения через обозначены нули (корни) многочлена N(s).

Отсюда видно, что амплитуды  отклонений в переходном процессе, стоящие под знаком суммы, будут тем меньше, чем ближе расположены нули N_} к полюсам т. е. корни многочлена N(s) к корням характеристического уравнения. Именно в этом случае величины будут малы. Это соответствует, например, схеме рис. 5.14, где нули обозначены кружочками. Заметим, что нули для замкнутой системы совпадают с нулями разомкнутой цепи W (s), так как