Автоматическое управление

 

По этим значениям  строим статическую характеристику датчика, приведена в Приложении 1.

Статическая характеристика регулятора описывается уравнение

 Y_р = 4.5*X_р

Эта характеристика также  относится к классу нелинейных. Для  ее построения достаточно взять две точки Х_р = 0, Y_р = 0, и для X_р =2 получим Y_Р = 9. Статическая характеристика регулятора приведена в Приложении 1.

Статическая характеристика исполнительного механизма описывается уравнением

Y_им= X_им

  Для построения  этой линейной статической характеристики достаточно дать Х_им два значения. При Х_им = 0 получим У_{и м} = 0, а для Х_им = 2 имеем У_им =2. Статическая характеристика исполнительного механизма приведена в Приложении 1.

 

3.2. Определение графическим методом общей статической характеристики цепи обратной связи — ДРИМ.

Для определения общей  статической характеристики цепи обратной связи (ДРИМ) изобразим статические  характеристики этих звеньев на общей  плоскости. В первом квадранте находится  статическая характеристика датчика, во втором — регулятора, в третьем — исполнительного механизма (Приложение 2). Для определения результирующей статической характеристики разбиваем ось Х_д на равные отрезки 0—1, 1 — 2, 2—3 и т.д. Из точек 1, 2, З и т.д. проводим перпендикуляры до пересечения с линейной статической характеристикой датчика. Получаем точки А₁ В₁ С₁, и т.д. Из этих точек проводим горизонтали до пересечения с линейной статической характеристикой регулятора в точках А₂, В₂, С₂ и т. д. Из этих точек опускаем перпендикуляры. Горизонтальное положение оси Х_р меняется на вертикальное. Из новых точек проводятся горизонтали до пресечения с соответствующими перпендикулярами в точках А₃, В₃, С₃ и т.д.

Соединяя эти точки, получим  результирующую статическую характеристику обратной связи — ДРИМ.

 

3.3. Построение статических характеристик объекта регулирования и системы управления.

Для определения взаимосвязи  между статическими характеристиками объекта и ДРИМ изобразим их в одной системе координат. В результате эти две статические характеристики пересекутся в точке А (Приложение 2). Эта точка называется рабочей.

Угол пересечения этих двух статических характеристик  равен 77°.

Вывод: Из теории автоматического регулирования известно: при пересечении двух статических характеристик под углом 60...90° система характеризуется хорошей устойчивостью, следовательно, моя система по статическим характеристикам устойчивая.

 

3.4.Рассчет динамического коэффициента регулирования  D = ΔУ/ΔХ и определение коэффициента К_о.с. для цепи обратной связи с целью выравнивания масштабов.  

Для расчета динамического коэффициента регулирования обратимся к Приложению 2. На этом рисунке по одной из характеристик определяется возможный диапазон изменений входного параметра. Фиксируются две точки этого диапазона. Далее эти две точки переносятся на вторую статическую характеристику, и с помощью этой характеристики определяется диапазон изменения выходного параметра. В результате по статической характеристике ДРИМ определим ΔХ_ВХ = 5,2, по статической характеристике объекта получим ΔY= 0,25. Подставим эти значения Δ Y и Δ Х_ВХ в выражение

при D = 1 система имеет оптимальную передачу сигнала в замкнутом контуре; при D > 1 в цепь обратной связи следует включить ослабитель сигнала; при D < 1 в цепь обратной связи следует включить усилительный элемент

 

Коэффициент Ко.с. для  цепи обратной связи определяется по формуле:

Ко.с.= 1/ D = 1/0,045 = 22.2

 

Вывод: Так как нам нужен динамический коэффициент, равный единице, в цепь обратной связи включен усилительный элемент с коэффициентом передачи К_ос= 22.2.

Включение усилительного  звена в цепь обратной связи:

3.5.Определение аналитического выражения регулирующей системы — ДРИМ.

Для определения аналитического выражения работы регулирующей системы осуществим преобразования статических характеристик датчика регулятора и исполнительного механизма.

Уравнение для объекта  регулирования: У_ор = 0,05* Х

Уравнение для датчика:  Y_д= 4.5 – X_д

Уравнение для регулятора: Y_р = 4.5*X_р

Уравнение для исполнительного  механизма: Y_им= X_им

 

Из структурной схемы  системы следует, что      У _д= Х_р, У_р = Х _и.м.

Подставим уравнение  датчика в уравнение для регулятора. Результирующее уравнение подставим в уравнение для исполнительного механизма:

                                                            ,

                                                            ,

В результате получено выражение:

                                                            ,

Это выражение является статической характеристикой цепи обратной связи, полученной аналитическим способом. Оно также описывает статическую характеристику цепи обратной связи, полученную ранее графическим способом.

Вывод: Аналитическое выражение ДРИМ соответствует общей статической характеристике цепи обратной связи, полученной графическим методом, следовательно, я сделал правильный выбор статических характеристик звеньев системы, выбрав те, которые обеспечили стабильную рабочую точку системы в статическом режиме.

3.6.Нахождение аналитическим способом рабочей точки — пересечение статических характеристик ДРИМ и объекта. 

Поскольку статические  характеристики представляются прямыми  линиями, то необходимо найти точку пересечения двух прямых линий. Эти линии задаются уравнениями

                                                               

                                                               

                                                                

4.55X=20.3,

X=4.46=4.5   Y=4.5/20=0.2

A (4.5; 0.2)

Вывод: Координаты рабочей точки, полученные аналитическим способом, совпадают с координатами на графике.

3.7. Выбор передаточных функций элементов системы.

Для определения передаточной функции всей системы необходимо по справочным данным выбрать передаточные функции датчика, регулятора и исполнительного механизма.

Передаточная функция  объекта регулирования дана в  задании и определяется выражением

                                         .

По справочным данным выбираем передаточные функции. Передаточная функция датчика

                                       

Передаточная функция  регулятора

                                   

Передаточная функция  исполнительного механизма

                                      

 

3.8.Определение передаточной функции системы. 

Для определения передаточной функции обратной связи (Wо.с) необходимо воспользоваться формулой

Подставив выражение  передаточной функции в эту формулу, получим

                

                                 

                                                             

Для определения передаточной функции системы воспользуемся  выражением

Подставим сюда все составляющие передаточные функции и преобразуем результирующее выражение:

Передаточная функция  системы описывается выражением

 

3.9. Нахождение временной функции переходного процесса. 

Для нахождения временной  функции переходного процесса необходимо упростить это выражение. Исключим в числителе вторую степень , а в знаменателе третью степень . Для дальнейшего исследования передаточная функция будет иметь вид

 

В общем случае передаточная функция системы определяется по формуле:

 

Для определения переходной функции представим общее выражение  в виде двух слагаемых. Эти слагаемые можно получить, если определить корни характеристического уравнения

где p₁ и р₂ — значения корней характеристического уравнения.

Для определения корней характеристического уравнения  приравняем к нулю знаменатель:

Найдем дискриминант уравнения

 

D<0

Коэффициенты А и  В определяются следующим образом:

А=

; В=

После преобразований получим:

В= 0,5В₁+ i

= С₀ + iС₁;

А= 0,5В₁- i

= С₀ - iС₁

С₀= 0,5*В₁ =0.5*1=0.5  

С₁= (В₀ - 0,5А₁В₁)/А_к  =(0.2-0.5*0.3*1)/0.3=0.05/0.3=0.2

Переходная функция  будет описываться двумя гармоническими функциями, их можно заменить одной, если определить модуль (М) и фазу (φ) результирующего колебания (Приложение 3).

Заменив две гармонические  функции одной при условии, что 

М=

и

(-1,3)*

=-74.1

получим временную функцию переходного процесса:

Y(t) = 2exp(-0,5А₁t)Msin(0,5А_kt+

)=2exp(-0.5*0.3t)0.5sin(0.5*0.3t+(-74.1))=

2exp(-0.15t)0.5sin(0.15t-74.1)

3.10.Определение основных параметров переходного процесса.

Определение основных параметров системы следует производить с учетом построенного графика h(t). (Приложение 3)

Определим число радиан в фазовом угле, составив пропорцию

и решив ее относительно R

Далее определяем момент времени  , когда гармоническая функция равна нулю , решается равенство

Второй момент времени  определяется выражением

Определим момент времени, когда гармоническая функция имеет максимальное отрицательное значение (-1) с помощью выражения:

t₁₂ = (t₁ + t₂)/2=(29,6+50,5)/2=80,1/2=40,5

Момент времени, когда гармоническая функция имеет максимальное положительное значение (+1),будет определяться по формуле:

Определим амплитуды гармонического колебания в разные моменты времени 

Вычислим значение функции при t = 0- Y(0)

Y(t) = 2exp(-0.15t)0.5sin(0.15t-74.1)=2exp(-0.15*0)0.5sin(0.15*0-74.1)=2*0.5sin(-74.1)=2*0.5*0.96=0.96

 

29.6c

Перерегулирование (σ- сигма)определяется выражением:

σ =

Т.к. D<0, то

∆У2= ехр(-0,5A_K t₁₂),

     ∆У₁=  значение функции при t = 0.

Перерегулирование определяется по формуле:

σ = ехр(-0,5A_K t₁₂)*100% / Y(0)=(exp(-0.5*0.3*40.5)*100%)/0.96=20.8%

Вывод :качество перерегулирования хорошее, так  как оно прнвышает 20%.

 

3.11.Определение коэффициента качества системы регулирования.

Для определения коэффициента качества системы необходимо воспользоваться аналитическим выражением

.

Чтобы упростить вычисления интеграла, площадь, ограниченную функцией h(t), заменим площадью четырех треугольников S₁, S₂,S₃ ,S₄(Приложение 3).

a=4; h=1.2

 

3.12.Построение амплитудно-частотных характеристик звеньев и системы в целом.

Приступим к определению  амплитудно-частотных характеристик  звеньев и системы в целом. Для определения частотной характеристики объекта регулирования произведем замену в передаточной функции объекта.

Имеем , сделав замену p=iw получим частотную характеристику объекта регулирования (Приложение 4).

Определим частотную  функцию датчика

Для выделения действительного  и мнимого значений умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя:

В результате получим  действительную и мнимую части. Далее  определим модуль, полагая, что