Моделі особистого страхування

Як правило склад навантаження залежить від конкретної страхової  компанії, але загалом можна виділити наступні її компоненти.

1. Початкові витрати, які відносяться до моменту укладення контракту (винагорода страхових агентів, витрати по виготовленню, оформленню і реєстрації страхового полісу, оплата консультацій, наприклад, медичних при страхуванні життя і т .п.).
2. Комісійні витрати по інкасації страхових платежів.
3. Адміністративні витрати по управлінню страховою компанією (оплата праці персоналу, орендна плата, плата за комунальні послуги і т. п.)

Крім того до додаткових витрат відносяться витрати на створення  спеціальних фондів. В першу чергу  це відноситься до резервних фондів, які забезпечують надійну (не збиткову) діяльність страхової в несприятливих  умовах, наприклад, при коливаннях смертності, зниженні норми прибутку на інвестиції і інше. Нарешті, якщо діяльність страхової  компанії передбачає отримання прибутку, наприклад, для виплати дивідендів акціонерам компанії, то необхідний спеціальний фонд прибутку.

З кількісної точки зору при розрахунку брутто-премій важливий передусім зв`язок величини різних навантажень з величиною страхової суми, тривалістю (строками) контрактів і періодичністю виплат по ним. [7]

Так первинні витрати нараховуються, як правило, пропорційно страховим  сумам. Комісійні витрати нараховуються  пропорційно брутто-преміям. Зауважимо, що в обох випадках одноразова плата  вираховується рідко, а, як правило, розподіляється по всьому строку дії  контракту. Нарешті, адміністративні  витрати безпосередньо не зв`язані  з розмірами страхових сум  чи премій. Але цей вид витрат залежить, взагалі кажучи, від загальної  кількості укладених контрактів і їх строків.

             Брутто-премія     =         Нетто-премія     +     Навантаження       

          Поточна вартість            Поточна вартість            Поточна вартість

            повних витрат               страхових виплат           додаткових витрат

        страхування

 

Нехай страхова компанія страхує  клієнтів, а - випадкова величина суми втрат страхової організації на -му клієнті. Накладемо такі умови: незалежні і однаково розподілені. Тоді, відповідно, - математичне сподівання суми втрат за -ою угодою. Якщо -ий застрахований вносить суму , то, за центральною граничною теоремою. [8]

 

Це означає, що ймовірність  того, що виплати перевищать зібрану  суму (ймовірність банкрутства компанії) близько 50%! Це й не дивно, оскільки така премія справді не виражає еквівалентність обов’язків компанії і застрахованого. Хоча в середньому і компанія, і застрахований платять одну і ту ж суму, компанія має ризик, пов’язаний з тим, що внаслідок випадкових подій, можливо, доведеться виплатити набагато більшу суму, ніж . Застрахований такого ризику не має [8].Тому було б справедливо, щоб плата за страхування включала деяку надбавку, яка була б еквівалентом випадковості, що впливає на компанію. Для того, щоб підвищити надійність компанії, з -го  страхувальника треба збирати не , а , де коефіцієнт називається відносною надбавкою надійності для -го клієнта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Застосування отриманих результатів

Програма, створена в середовищі Delphiдозволяє користувачеві ввести дані в таблицю життя вручну або завантажити з текстового файлу[11]. За введеними даними всі інші функції таблиці, потрібні для подальшого обчислення, обчислюються автоматично.

Щоб дізнатися актуарну вартість страхування користувач повинен вибрати на відповідній закладці вид страхування, який його цікавить а також припущення про розподіл смертності між цілими роками, та ввести потрібні дані. Програма обчислює актуарна теперішню вартість страхування за цією інформацією з використанням таблиці тривалості життя за допомогою виведених формул зв’язку двох розглянутих вище моделей страхування.

Програма дає можливість обчислити одну з трьох величин (за вибором користувача): надбавку надійності, потрібну кількість застрахованих  або рівень надійності, за відомими двома іншими.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Інтерфейс програми

Перша закладка

Рис.1

В таблицю тривалості життя  завантажуються дані в стовпець l_xз файлу за допомогою кнопки Завантажити на панелі інструментів або вручну з клавіатури з використанням кнопки Ввести. Решта стовпців таблиці обчислюються і завантажуються автоматично за введеними даними.

Рис.2

 

 

 

 

Друга закладка

Рис.3

Користувач повинен вибрати  вид страхування, який його цікавить та припущення про розподіл смертей  між цілими роками. Тоді ввести потрібні дані для вибраного виду страхування  натиснути кнопку Обчислити на панелі інструментів. Програма обчислює актуарна теперішню вартість страхування  з використанням таблиці життя, що на першій закладці.

 

 

 

Третя закладка

Напроти кожної комірки є  кнопки Обчислити і Очистити. Програма дозволяє обчислити значення кожної з трьох величин (за вибором користувача) за даними двома іншими.

Рис.4

 

 

 

Висновки

Особисте страхування  є поняттям «широким», тому в магістерській  роботі розглянено лише підгалузь особистого страхування, таку як страхування життя. Страхування життя –це та підгалузь страхування, що включає в себе сукупність видів страхування, за якими страховик виплачує застрахованій особі або її правонаступнику певну грошову суму при дожитті застрахованого до певного віку, події чи дати, або в разі його смерті[9]

Метою даної роботи було обчислення актуарної теперішньої вартості різних видів страхування, використовуючи при цьому дані із таблиці тривалості життя( для цього було встановлено зв’язок між дискретною і неперервною моделями страхування життя при різних припущеннях про розподіл смертності між цілими роками), обчислення для кожного виду страхування надбавки надійності при відомій кількості застрахованих осіб для забезпечення визначеного рівня надійності, а також зворотнє визначення кількості застрахованих, за фіксованих надбавки надійності та рівня надійності.

В даній роботі розглянені кілька традиційних типів страхування, а саме пожиттєве страхування, n-річне страхування, n-річне страхування на дожиття, мішанеn – річне страхування,відтерміноване на m–річне страхування, відтерміноване на n–пожиттєве страхування, n-річне страхування із щорічно зростаючими виплатами, n-річне страхування із щорічно спадними виплатами та пожиттєве страхування із щорічно зростаючими виплатами [6].Для досягнення мети була складена програма в середовищі Delphi, що обчислює актуарну теперішню вартість страхування, а також одну з трьох величин (за вибором користувача): надбавку надійності, потрібну кількість застрахованих або рівень надійності, за відомими двома іншими.

Також, при порівнянні страхових  продуктів різних страхових компаній, було встановлено, що в калькуляторі страхової компанії «TAC» є помилка, яка полягає в тому, що інвестиційний відсоток нараховувався не щомісячно, а щорічно. Дане дослідження привело до того, що калькулятор був перероблений і помилка виправлена.

Результати роботи доповідались на конференції «Теоретичні та прикладні  аспекти аналізу фінансових систем»[4].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури

1. Бондаренко Я. С. Теорія ризику в страхуванні. Основні поняття, приклади, задачі : навч. посіб.  / Я. С. Бондаренко, В. М. Турчин, Є. В. Турчин. –  Д.: РВВ ДНУ, 2010. – 180 с.

2.  Гербер Х. Математика страхования жизни. / Х. Гербер -М.: Мир, 1995.-154c.

3. Леоненко М. М. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи  в економетриці та фінансовій математиці. /  М. М. Леоненко, Ю. С. Мішура, В. М. Пархоменко, М. Й. Ядренко. – К.: Інформтехніка, 1995. – 380с.

 4. Лесик О.О. Моделі особистого страхування // Теоретичні та прикладні аспекти аналізу фінансових систем: Збірник тез ХІІ Міжнародної науково-практичної конференції аспірантів та студентів,28-29 березня 2012 р./ О.О. Лесик -Львів:ЛІБС УБС НБУ, 2012.- C.425-427.

5. Мельников А. В. Математика финансовых обязательств/ А. В. Мельников, С. Н. Волков, М. Д. Нечаев.-М.: Высшая Школа Экономики, 2001.-260с.

6 . Пономаренко О. І. Моделі страхування та теорії ризику : навч. посіб. /  О. І. Пономаренко. – К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет».2008. – 183 с.

7. Пономаренко О. І. Основи теорії фінансів/ О. І. Пономаренко.-К.:ЕМЦ,1998.-180 с.

8. Томас М. Математика рискового страхования. / Томас М. – М.: ЗАО «Олимп –Бизнес», 2005. – 432 с.

9. Фалин Г. И. Введение в актуарную математику/ Г. И. Фалин, А. И. Фалин М.: Издательство Московского университета, 1994.-110с.

10. Bowers N. L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics, NY: Society of Actuaries, 1997.-656p.

11. Marco Cantu Mastering Delphi 7, NY: SybexInc., 2003.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додатки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 1.

(1) Вид страхування	(2) Функція виплат	(3) Функція дисконтування	(4) Функція теперішньої вартості	Актуарна теперішня вартість	Моменти вищих порядків
Пожиттєве страхування на випадок  смерті	1				*
Страхуування на випадок смерті терміном на   років					*
Страхування на дожиття на термін років					*
Мішане страхування на термін   років	1				*
Страхування на термін   років, відтерміноване на років					*
Страхування на термін   років зі щорічно зростаючими виплатами.					**
Страхування на термін   років з щорічно спадаючими виплатами.					**
Пожиттєве страхування з виплатою, що збільшується раз в рік					**

Замітка. 
, і визначені тільки для .

*-ий момент рівний актуарній теперішній вартості при інтенсивності нарахування відсотків, рівний вихідній інтенсивності нарахування відсотків, домноженій на .

** Вираховуєтьсябезпосередньо  з означення.

 

 

Таблиця 2

(1) Вид страхування	(2) Функція виплат	(3) Функція дисконтування	(4) Функція теперішньої вартості	(5) Актуарна теперішня вартість	(6) Моменти вищих порядків
(a) Пожиттєве страхування на випадок смерті	1				*
(b)Страхування на випадок смерті на термін років	1,		0,k=n,n+1,…		*
(c)Мішане страхування  на термін років	1				*
(d)Страхування на термін років, відтерміноване на років	1, 0, k=0,…,m-1,     k=m+n,…				*
(e)Страхування на термін років зі щорічно зростаючою виплатою			, k=0,1,…,n-1, 0,k=n,n+1,…		**
(f)Страхування на років зі щорічно спадною виплатою	0,k=n,n+1,…				**
(g)Пожиттєве страхування зі щорічно зростаючою виплатою					**

Замітка.

Величини , , визначені тільки для невід’ємних цілих значень k.

*Справедливе правило моментів

**Правило моментів не виконується