Моделі особистого страхування

Модель будується у  термінах усіченої майбутньої тривалості життя застрахованого. Функція виплати і функція дисконту є відповідно страховою сумою і дисконтним фактором,що діє з часу виплат назад до часу видачі полісу, коли усічена тривалість життя застрахованого дорівнює , тобто коли застрахований помирає протягом -го року страхування. Теперішня ціна в час видачі полісу страхових виплат позначають через і дорівнює

                                                 (17)

Як і раніше позначимо  випадкову величину теперішньої  вартості через

Для річного страхування, що передбачає одиничну виплату в кінці року смерті маємо

 

 

 

Актуарна теперішня вартість такого страхування задається так

(18)

Зазначимо те, що символ для  актуарної теперішньої вартості страхової виплати, що відбувається в кінці року смерті співпадає  з відповідним символом для випадку  страхової виплати в момент смерті, за виключенням того, що забирається  риска зверху.

Правило моментів , з відповідними змінами в позначеннях також  зберігається для таких моделей. Наприклад, для цього виду страхування

, де ²

Рекурентні співвідношення для актуарних теперішніх вартостей  страхування на фіксований термін можна  вивести алгебраїчно з рівності (18)

.                                                                                                     (19)

Щоби рівність виконувалась при , ми покладемо для всіх .

Зауваження

Якщо проводиться селекція, то в формулі (19) всі  в індексах повинні бути в квадратних дужках.

Модель по життєвого страхування  можна отримати, спрямувавши у моделі -річного страхування. Актуарна теперішня вартість в цьому випадку

(20)

Домножуючи дві частини  формули (20) на , отримаємо

                                                  (21)

Формула (21) відображає рівність в момент складання страхового полісу виразів для суми цих актуарних  теперішніх вартостей для  людей.

Вираз

                                                        (22)

відповідає тій частині фонду в момент складання страхового полісу, яка разом з процентами, отриманими при заданій відсотковій ставці , забезпечить виплати у зв’язку з очікуваними смертями після -го страхового року.

Величина (22) при заданій  відсотковій ставці протягом років дає

                                                        (23)

очікувану величину грошей по закінченні  - страхових років. Порівняння виразів (23) і (21) показує, що ця величина рівна . Різниця між цією величиною і фактичним розміром фонду пояснюється відхиленням числа наступивших смертей від числа очікуваних смертей ( у відповідності до принятої таблиці смерті) і відхиленнями реального процентного прибутку від процентного прибутку при заданій відсотковій ставці.

Ми вивели рекурентні співвідношення (19) для актуарної теперішньої  вартості страхування на випадок  смерті терміном на років алгебричними методами. Хоча ці співвідношення будуть справедливі для актуарної теперішньої вартості пожиттєвого страхування на випадок смерті, оскільки це граничний випадок страхування на років при , ми визначимо їх незалежним способом,щоби проілюструвати ймовірнісні методи доведення.

Розглянемо вираз , звертаючись до його визначення ,

Хоча цей спосіб запису збитковіший, оскільки вся ймовірнісна маса розподілу зосереджена на множині невід’ємних цілих чисел.

Величину  можна обчислити, розглядаючи подію, що людина помре в перший рік, тобто і його доповнення , подія, що людина переживе перший рік, тобто . Ми можемо записати

 

(24)

У цьому виразі ми можемо зробити наступні очевидні заміни:

 

 

 

Для того, щоби знайти вираз  для останнього множника, перепишемо його у вигляді

 

Оскільки  являється усіченою майбутньою тривалістю життя людини при умові , то випадкова величина повинна бути усіченою майбутньою тривалістю життя людини .

Якщо ми хочемо використати  ті самі ймовірності для умовного розподілу випадкової величини при умові , так, ніби з самого початку розглядалось людину віком , ми можемо записати

                           (25)

і підставивши цю величину в (24), отримати

                                         (26)

Зазначимо, що (26) є такою  ж оберненою рекурентною формулою , що і (19), а іменно формулою виду:

 

Саме початкове значення визначає, чи буде її розв’язок актуарною теперішньою вартістю по життєвого страхування на випадок смерті, чи актуарною теперішньою вартістю страхування на термін років. Та сама рекурентна формула отримується і для актуарних теперішніх вартостей мішаного страхування терміном на років, де початковим значенням є вартість в момент .

Аналіз співвідношення (26) сприяє розумінню природи величини . Після заміни на , і домноженняобидвох частин на ,співвідношення (26) можна записати у вигляді

(27)

Для сукупності випадкового дожиття це співвідношення має наступну інтерпретацію. Разом з процентами за перший рік величина , домножена , середнє число людей, що дожили до віку , дає величину , домножену на і, крім того , величину , домножену на число людей, смерть яких очікується протягом цього року. Така величина для кожної очікуваної смерті , , називається річною вартістю страхування. Величина стосується доживших і вмерших, в той час, як величина стосується тільки вмерших.

Поділивши на і потім відняти із двох частин формули (27), ми отримаємо

(28)

Інакше кажучи, різниця  між актуарними теперішніми вартостями для людей віку , і віку рівна процентам, нарахованим на актуарна теперішню вартість у віці відняти річну вартість страхування в цей рік.

Інший вираз для  можна отримати з формули (26), замінивши на , помноживши дві частини на , і перегрупувавши члени формули. В результаті ми отримаємо

,

Чи

.

Сумуючи від  до ,ми отримаємо

 

і таким чином

 

Цей вираз показує, що актуарна теперішня вартість для віку дорівнює сумі теперішніх вартостей в момент річних вартостей страхування по всьому часу майбутнього життя застрахованого.

Мішане страхування на термін років з виплатою розміру 1 в кінці року смерті є комбінацією розгляненого в цьому розділі страхування на термін років і страхування на дожиття на термін років з виплатою розміру 1, яке розглядалось в попередньому пункті. Такому полісу відповідають наступні функції

 

 

 

Актуарна теперішня вартість дорівнює

                             (29)

Пожиттєве страхування на випадок смерті зі щорічно зростаючими  виплатами, коли виплачується одиниць в кінці року дії договору, якщо застрахований помре в цьому страховому році, має наступні функції виплат , дисконтування і випадкову величину теперішньої вартості:

 

 

 

Актуарна теперішня вартість позначається через 

Страхування терміном  років зі щорічно спадаючою виплатою протягом  річного періоду передбачає виплату в кінці року смерті, що рівна , де  
- число повних років, прожитих застрахованим з моменту складання полісу.

Відповідні функції мають вигляд

 

 

 

Актуарна теперішня вартість для цього страхування позначається символом .

Як і для полісів, в  яких виплати проводяться в момент смерті (див малюнок 1), страхування зі щорічно зростаючою виплатою , оплачуваною в кінці року смерті, еквівалентне комбінації договорів відтермінованого страхування на випадок смерті зі сталими виплатами розміром 1. Аналогічно, термінове страхування зі щорічно спадаючою виплатою еквівалентне комбінації страхових договорів з постійними виплатами і різними термінами дії [4]. Малюнок 2 ілюструє сказане для страхування на 8 років зі щорічно спадною виплатою.

Страхування терміном на 5 років, з виплатою 1

Страхування терміном на 1 рік, відтерміноване на 2 роки, з виплатою 1 одиниця

Страхування терміном на 1 рік, відтерміноване на 1 рік, з виплатою 7 одиниць

На малюнку 2 зображений графік функції виплат . Кожний одиничний квадрат позначає договір відтермінованого страхування терміном на 1 рік. Коли вони об’єднюються по вертикалі, отримуємо договори відтермінованого страхування терміном на 1 рік зі спадаючими виплатами. Коли квадрати об’єднюються по горизонталі, отримуємо термінові договори страхування зі сталими виплатами різної довжини. Такі вертикальні і горизонтальні способи об’єднання також показані на малюнку 2.

Той факт, що актуарні теперішні  вартості комбінації договорів термінового  страхування зі сталими виплатами  і актуарні теперішні вартості комбінації договорів термінового відтермінованого страхування рівні, можна виразити аналітично. Так, згідно визначенню

                                                                                                  (30)

що відповідає сумуванню  по вертикалі.

Зробивши підстановку

 в формулу  (30), ми отримаємо

 

Міняючи порядок сумування, ми отримаємо

 

І порівнюючи суму по з (18), ми можемо записати

 

В додатку 2 наводиться зведення функцій і позначень для елементарних страхових полісів, в яких виплати відбуваються в кінці року смерті.

Ми завершуємо цей пункт зведенням рекурентних співвідношень для актуарних теперішніх вартостей страхування для випадку, коли виплати відбуваються в кінці року смерті[1]. Розглянемо наведені нижче співвідношення (a)-(g), розміщені в тому порядку, в якому відповідні види страхування входять в таблицю 2. Для кожного із перерахованих в таблиці видів страхування наводиться рекурентне співвідношення, область визначення змінної і початкова умов. Значення актуарних теперішніх вартостей треба вираховувати, починаючи з найменшого віку, наведеного в таблиці смертності, і до віку чи .

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Зв’язок між страхуванням з виплатою на момент смерті і страхуванням з виплатою в кінці року смерті

Для того, щоб при обчисленні актуарної теперішньої вартості страхування можна було скористатися  таблицею тривалості життя, потрібно встановити зв’язок між двома розглянутими моделями страхування.

Розглянемо пожиттєве  страхування з одиничною виплатою на випадок смерті.

 

Заміна змінних  в другому інтегралі дає

                 (31)

На основі даних агрегативної таблиці смертності( [10]ст 88)

_s+1

І другий доданок у формулі (31) є .

 На основі даних  селекційної таблиці смертності  другий доданок в формулі (31) є . Повертаючись до (31) і користуючись позначеннями з агрегативних таблиць смертності ([10]ст 87), отримуємо

               (32)

Інтеграл в останній формулі  можна виразити через дискретні  функції таблиці життя, прийнявши  певне припущення про розподіл смертності між цілими роками. Це може бути, наприклад, припущення про рівномірний розподіл смертності або про сталу силу смертності. З припущення про рівномірний  розподіл

_x

Отримаємо

                             (33)

Область визначення для цього  відношення є , а початкова величина . Звідси

 
                                                          (34)

 

З припущення про сталу  силу смертності отримаємо таку рівність

                      (35)

Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимо

                          (36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Поняття про надбавку надійності (навантаження). Брутто-премії.

Розглянуті вище схеми  страхових розрахунків відносились до нетто-премій, тобто преміям, які забезпечують лише покриття страхового ризику. Балансові рівняння, на основі яких отримувались оцінки для нетто-премій, виражали факт рівності фінансових зобов`язань страховика і страхувальника по страховому контракту. Умова рівності зобов`язань було єдиним визначальним фактором в оцінці вартості страхування. Але на практиці стягнення лише нетто-премій привело би страхову компанію до постійних збитків і в результаті до банкротства. Страхова компанія в своїй діяльності зазнає збитків не лише по зобов`язаннях контрактів, але і ряду інших, наприклад, адміністративних. Всі ці витрати страхова компанія повинна компенсувати, і така компенсація враховується при розрахунку тарифів чи реальної вартості страхових полісів. Додаткові витрати по конкретному контракту крім тих, які йдуть власне на покриття ризику, називаються навантаженнями. Сума нетто-премій і навантажень називається брутто-премією.