Моделі особистого страхування

 

 

МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА 
на тему

"МОДЕЛІ ОСОБИСТОГО СТРАХУВАННЯ"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зміст

1. Вступ 3
2. Постановка задачі 7
3. Статистичні та ймовірнісні характеристики вікових контингентів 8
4. Страхові виплати на випадок смерті 13

4.1 Страхування зі сталими виплатами 14

4.2 Мішане страхування 16

4.3 Відтерміноване страхування 18

4.4 Страхування зі змінною сумою виплат 19

5. Страховівиплативкінці року смерті 24
6. Зв’язок між страхуванням з виплатою на момент смерті і  
   страхуванням з виплатою в кінці року смерті 34
7. Поняття про надбавку надійності. Брутто-премії 36
8. Застосування отриманих результатів 39
9. Інтерфейс програми 40

Висновки 44

Список використаної літератури 46

Додатки 47

 

1. Вступ

Світовий досвід свідчить, що ринок страхових послуг активно  сприяє розвитку економіки і розв’язанню соціальних проблем. Саме особисте страхування в розвинених країнах світу є важливим інструментом соціального захисту населення і могутнім джерелом інвестування національних економік.[7]

Особисте страхування  є поняттямширшим, ніж «класичне» страхування життя, і може бути визначене як угоди, укладені з окремими особами чи групами осіб на користь їх самих чи третіх осіб на випадок настання події, яка їх стосується особисто.

Особистим вважається:

• Страхування життя на випадок дожиття чи на випадок смерті;
• Операції, подібні до страхування життя (нагромадження, фінансові послуги, страхування ренти);
• Страхування на випадок інвалідності;
• Страхування на випадок тимчасової непрацездатності;
• Страхування від нещасних випадків на роботі чи внаслідок інших причин;
• Страхування на випадок хвороби;
• Страхування на випадок утрати роботи;
• Страхування на випадок необхідності в опіці (залежності).

В цій роботі розглядатимемо страхування життя.Страхування життя звичайно здійснюється у двох видах: страхування сум (капіталу) і страхування рент (ануїтетів).  В першому випадку при настанні страхового випадку (смерть, дожиття і т.д.) виплачується одноразово певна сума грошей[5]. В другому – страхова компанія проводить регулярні виплати застрахованому, причому початок виплат і їх тривалість залежать, як і в першому випадку від подій в житті застрахованого.

Ми розглянемо лише найпростіші  види страхових контрактів, проте  принципи розрахунків для них є універсальними і легко переносяться на складніші випадки.

Страхові контракти відносяться  до спеціального виду фінансових контрактів, і являють собою в найпростішому  випадку угоду між двома суб’єктами: страхувальником – особа, яка  страхується і страховиком –  особа, яка страхує страхувальника від певного ризику[3]. В страхуванні життя ризик, що страхується, відноситься до життєдіяльності страхувальника і визначається такими подіями, як смерть, хвороба, інвалідність, дожиття і т.д. В більшості випадків як самі події, так і терміни їх настання є випадковими.

Зауважимо, що, хоча смерть є  достовірною подією, випадковим є  термін її настання.

Фінансовий аспект страхового контракту полягає у взаємних фінансових зобов’язаннях. Зі сторони  страхувальника – це виплата певної суми, яка називається премією, зі сторони страховика – виплата  застрахованої суми чи ренти. Зобов’язаність виплати премії, як правило, безумовне  і відбувається або у вигляді  одноразової виплати при складанні  контракту, або у вигляді серії  виплат (строкові премії). Зі сторони  страховика зобов’язаність виплати  є умовною і пов’язана з  настанням (чи не настанням) певних страхових  подій. Ці страхові події відносяться  до класу випадкових, і терміни  їх настання є випадковими величинами[2]. Оскільки у фінансовій практиці дані суми в різні моменти часу мають різну поточну вартість, то вартість зобов’язань страховика є випадковою величиною, і наперед нічого не можна сказати про її точне значення. Проте страхові випадки в страхуванні життя відносяться до подій, для яких характерна статистична стійкість, тобто частоти їх настання, при великому числі страхових контрактів змінюються в малому діапазоні (закон великих чисел). Це дозволяє використовувати ймовірнісні і статистичні методи для оцінки премій і резервів по великій групі однорідних страхових контрактів. Тому баланс між надходженнями (преміями) і виплатами (страховими сумами) здійснюється не точним його досяганням для кожного окремого контракту, а по всій сукупності контрактів у цілому. Це досягається тим, що розрахунок премій здійснюється виходячи з середньої (очікуваної) величини зобов’язань по контрактах одного типу.

Мова йтиме про розрахунок вартостей страхового полісу(чистих премій або, як ще кажуть,  нетто-премій). Вартості страхового полісу обчислюються виходячи з рівності (балансу) зобов’язань страхувальника і страховика. Реальні чи брутто-премії, що назначаються по даному виду контрактів, містять так зване навантаження (надбавка надійності), ціль якого полягає в компенсації видатків компанії по здійсненню страхової діяльності, утворенню додаткових резервів і т.д. Фінансове забезпечення контрактів по страхуванню життя визначається в основному двома факторами.

Перший зв’язаний з  можливістю виписки прибутку на інвестований капітал, утворений резервами страхової  компанії. Ці резерви утворюються  з премій страхувальників, власного капіталу, нерозподілених прибутків  і т.д. В розрахунках, пов’язаних з преміями і резервами, цей фактор враховується у вигляді так званої технічної (очікуваної) процентної ставки. Реальне її значення пов’язане з  положенням на фінансовому ринку  і піддано коливанням, пов’язаними  зі зміненням кон’юнктури, інфляції і іншими причинами. Як правило, вибране  значення процентної ставки є більш-менш правдоподібною оцінкою майбутньої реальної процентної ставки.

Іншим фактором, що відіграє важливу роль в забезпеченні страхових  контрактів, є статистична оцінка страхових випадків, які в страхуванні  життя відносяться до демографічних  подій. Ця оцінка представлена в основному  в різних типах таблиць смертності. Ці два фактори в реальності завжди діють разом і в актуарних  розрахунках завжди враховуються.

В цій роботі розглядаються  моделі для страхування життя, призначені для того, щоб зменшити фінансові  збитки від настання випадкової події  несвоєчасної смерті. Відповідно до довготермінової  природи цього страхування, величина заробітку від вкладів до часу здійснення виплат становить основний елемент невизначеності. Ця невизначеність має дві причини: невідомий розмір заробітку та невідома тривалість періоду інвестування. Для того, щоб змоделювати невизначеність, яка стосується періоду інвестування, використовується ймовірнісний розподіл. Модель будується в термінах функції від , випадкової величини майбутньої тривалості життя особи, яка застрахувалася.

Всі поняття, які сформульовані  тут для страхування людського  життя, використовуються також у  страхуванні інших об’єктів, таких  як обладнання, машини, позики і ризик  бізнесу. Насправді загальна модель корисна у кожній ситуації, де розмір і час фінансових видатків можуть бути визначені виключно у термінах часу настання випадкової події.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Постановка задачі

Метою роботи є:

Обчислення актуарної  теперішньої вартості різних видів  страхування, використовуючи при цьому  дані із таблиці тривалості життя. Для  цього потрібно встановити зв’язок  між дискретною і неперервною  моделями страхування життя при  різних припущеннях про розподіл смертності між цілими роками.

Обчислення для кожного  виду страхування надбавки надійності при відомій кількості застрахованих  осіб для забезпечення визначеного  рівня надійності. А також зворотнє визначення кількості застрахованих, за фіксованих надбавки надійності та рівня надійності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Статистичні та ймовірнісні характеристики вікових контингентів

Імовірнісні методи актуарних  розрахунків особистого страхування  спираються на стійкі статистичні закономірності тривалості  життя та настання смерті для зазначених груп населення. Характер цих закономірностей для певної сукупності людей залежить від різних факторів: національних, природно-кліматичних, соціально-економічних, професіональних  тощо. Найбільш сильно впливають такі чинники як вік та стать людини.

Джерелом даних для  актуарних моделей особистого страхування  є відомості демографічної статистики втілені у так званих таблицях смертності, що будуються на базі даних  про смертність та тривалість життя  однорідних груп населення (відносно вказаних вище факторів) по віку й статі. Стандартна таблиця смертності є набором  стовпчиків, що відповідають різним демографічним  показникам [3]. Рядки таблиці відповідають віковим контингентам, так що кожний рядок дає значення показників для певного віку , вираженого у роках. В повних таблицях показники подаються по віковим контингентам з інтервалом в один рік, у неповних - з інтервалом в 5 років. Фрагменти типової таблиці смертності наведені далі в таблиці 1. В першому стовпчику фігурує числа людей що дожили до віку з початкової популяції народжених. називається коренем таблиці смертності, найчастіше , але може бути іншим. Останній рядок таблиці відповідає граничному вікові тобто припускається, що .

Наступний стовпчик таблиці  дає число померлих у віці , . Третій стовпчик є значенням ймовірності вмерти протягом року людині у віці ;

 

 

 

Таблиця 1. Фрагменти таблиці  смертності.

Вік
X
0	100000	984	0,009840
1	99016	71	0,000717
2	98945	45	0,000455
3	98900	31	0,000313
4	98869	25	0,000253
5	98844	22	0,000223
…	…	…	…
10	98746	18	0,000182
…	…	…	…
15	98653	25	0,000253
…	…	…	…
20	98497	35	0,000355
…	…	…	…
40	97346	123	0,001264

 

Поряд з цими параметрами  вікових контингентів часто використовуються інші параметри. До них відносяться  ймовірність дожиття до віку людини у віці .

Звичайно для скорочення позначень замість пишуть , де , а також ймовірність померти людині у віці протягом наступних років:

_n , очевидно, що ₁

В актуарній теорії та розрахунках необхідно користуватися параметрами , , для довільного віку (дрібних віків). Для практичного одержання відповідних даних застосовують методи інтерполяції даних таблиці смертності ( що відносяться до цілих ). Найбільш просте ( і тому поширене) наближення одержується при припущенні про рівномірний розподіл смертей протягом року. Тоді число померлих і ймовірність смерті у віці протягом частини року пропорційні :

, _{u. Звідси u}

Окрім наведених статистичних характеристик вікових контингентів, в актуарній математиці використовуються наступні їхні імовірнісні характеристики:

1. Функція розподілу  протяжності життя для новонародженого (однакова для всіх новонароджених) де випадкова величина є віком на момент смерті;
2. Функція виживання ;
3. Залишкове життя людини віку (тоді ).

Функція монотонно зростає по (інакше в певних інтервалах часу смерть буде неможливою) та є неперервною (інакше будуть моменти часу, де смерть відбувається з додатною ймовірністю).

Очевидно, що для віків  будемо мати:

_t

І за визначенням умовної  ймовірності

Позначимо через  кількість тих, що дожили до моменту . Тоді це випадкова величина, що має сподіване значення (середнє) .

Легко перевірити наступні співвідношення:

,

,

 

Силою смертності для віку називається границя

.

Для спрощення розрахунків  іноді використовують наближені  аналітичні закони для  типу закону Гомперця або закону Мекхейма.

Знайдемо щільність розподілу залишкового часу життя . Маємо

 

Звідси випливає, що

_t.

Тому для  маємо таке диференціальне рівняння

,

Звідки

_t.

Отримані вирази для _tі _tвикористовуються у розрахунках премій в стандартних контрактах страхування життя.