Статистика малого и среднего предпринимательства

 

    Определим средний показатель ( по ряду распределения,  исходя из формулы средней арифметической взвешенной. С этой целью находим середину интервала (

                       млн р.

    Определяем моду - это  наиболее часто встречающаяся  величина

,

где нижняя граница модального интервала,

      размер модального интервала,

     модальная частота,

     частота, предшествующая модальному интервалу,

    частота, следующая за модальным интервалом.

790,5 млн р.

    Определим медиану

                                  ,

где нижняя граница медианного интервала,

      размер медианного интервала,

      полусумма частот,

     сумма частот, накопленных до медианного интервала,

     частота медианного интервала

689,5  млн руб.

    Далее рассчитаем показатели  вариации:

 

1. Размах вариации (R)

 

                            R= 1045-538=507 млн руб.

 

2. Линейное отклонение (d)-данные берем из таблицы № 5.

                            d= 117,96 млн руб.

3. Дисперсия (

                          20793,72

4. Среднее квадратическое отклонение ( )

                        

                           144,2 млн руб.

 

5. Коэффициент вариации (V)

                            V= 18%

    Коэффициент вариации  свидетельствует об однородности  совокупности и надежности средней.

    Для характеристики дифференциации предприятий по величине акционерного капитала, рассчитаем коэффициент фондовой дифференциации (

 

,

 где  -средняя из 10% максимальных значений акционерного капитала,

       -средняя из 10 % минимальных значений акционерного капитала

10% от 25 составляет 2,5 предприятия,  т.е. можно взять по 3 предприятия  (максимальных или минимальных).

1045   1004    965                               1005

  538     543    556                               546

1,84

    Следовательно, средняя из 10% максимального акционерного капитала почти в 2 раза выше средней из минимальных значений.

    Далее производим расчет характеристик  генеральной совокупности по  выборочным данным.

    Для определения характеристик  выборочной совокупности воспользуемся  результатами предыдущих расчетов. Так, по ряду распределения  определили, что средняя величина  акционерного капитала составляет 787млн р., а дисперсия равна  20794 млн руб.

    Для расчета ошибок выборки  следует воспользоваться формулами  для бесповторного отбора, т.к.  по условию можно определить  численность генеральной совокупности (N):

   Средняя ошибка выборки для средней величины (

                                        ,

где дисперсия выборочной совокупности,

      число единиц выборочной совокупности,

       N-численность генеральной совокупности

Т.к. n=25, что составляет 5% от численности  генеральной совокупности, то N=500 или  0,05, тогда      

  28,69  млн руб.

   Предельная ошибка для  средней

                                              

                                           

где t-коэффициент доверия, принимаемый  в зависимости от уровня доверительной  вероятности 0,954 и числа степеней свободы (К). К=n-1 для малой выборки  определяется по таблице Стьюдента.

При вероятности  =0,954 и К=24 значения t=2,0639

                            млн руб.

Доверительный интервал

 

  787-53,58 787+53,58

  733 841

    С вероятностью 0,954 можно  гарантировать, что средняя величина  акционерного капитала в расчете  на одно предприятие по генеральной  совокупности будет находиться  в пределах от 733 млн р. до 841 млн р.

    Долю предприятий, у которых  акционерный капитал превышает  среднюю величину (W) для выборочной совокупности определим по первичным данным (табл.1). Число таких предприятий 14, их  доля в выборочной совокупности составляет

                                       =0,48 или 48%

Средняя  ошибка доли для бесповторного  отбора

                                        

                    

Предельная  ошибка       

При   вероятности  0,954    t=2 , тогда

                                  

Доверительный интервал

                                        

                                         0,48-0,2

                                                 0,28 р 0,68

    Следовательно,  с вероятностью 0,954 можно гарантировать,  что доля предприятий у которых величина акционерного капитала больше среднего значения будет находиться в пределах от 28% до 68%.

Корреляционный  анализ.

    Корреляционной  называется  связь между факторным  и результативным признаками, которая  проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.

    Условием корректного использования  корреляционного метода является  однородность совокупности, отсутствие  « аномальных » наблюдений, достаточно  большое число единиц совокупности.

    Проверка исходных данных на  однородность и аномальность проведена выше.

    Теория  корреляции решает  следующие вопросы:

• содержательный анализ и установление факторного и результативного признаков;
• установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;
• измерение тесноты связи
• расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического выражения        связи;
• оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.

Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и установлено, что  акционерный капитал – факторный  признак (x), прибыль – результативный (y).

Установление факта наличия  связи осуществляется на основе групповой таблицы № 6 и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис.1)

                        Таблица № 6

Группы предпр. по размеру акцион. капитала, млн р.	Число предприятий	Середина  интервала (х)	Прибыль в сред. на 1 пред., млн р. (у)		ух		(теоретическ. уровни)
1	2	3	4	5	6	7	8
538-639	5	589	5,32	346921	3133,48	28,3024	5,585
639-740	5	690	6,48	476100	4471,2	41,9904	9,221
740-841	6	791	14,32	625681	11327,12	205,0624	12,857
841-942	5	892	20,06	795664	17893,52	402,4036	16,493
942-1043	3	993	21,07	986049	20922,51	443,9449	20,129
1043-1144	1	1094	20,8	1196836	22755,2	432,64	23,765
Итого:	25	5049	88,05	4427251	80503,03	1554,344	88,05

Анализ  табл. 6 свидетельствует о прямой  связи между акционерным капиталом и прибылью предприятий (гр.3, гр.4).

 

Рис. 1

 

Эмпирическую линию регрессии (рис.1) строим по данным табл.6, принимая за середину интервала, за - прибыль в среднем на одно предприятие по каждой группе.

    Направление эмпирической  линии  регрессии свидетельствует  о наличии прямой зависимости  между прибылью и акционерным  капиталом предприятий.

    Предполагая, что зависимость  между акционерным капиталом  и прибылью, имеет линейную форму,  определяем тесноту связи на  основе линейного коэффициента  корреляции ( ). Для этого воспользуемся расчетами выполняемыми в табл. 6.

 

 

    Коэффициент корреляции может  быть в пределах от -1 до +1. Чем  ближе к единице, тем теснее  связь.

    Значение r =0,937 свидетельствует об очень тесной связи между акционерным капиталом и прибылью. Связь прямая.

    Для подтверждения этого  необходимо дать оценку существенности  линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить на основе  расчета t- критерия Стьюдента.

                     

 находим по таблице Стьюдента  (прил. 3). Для числа степеней свободы  к=n-2=25-2=23 и уровня значимости 1% =2,0873.

12,9 2,0873. Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что в генеральной совокупности существует достаточно тесная зависимость между величиной акционерного капитала и прибылью предприятий.

     Для  анализа   общего  качества  оцененной   линейной  регрессии  обычно  используют  коэффициент  детерминации. Для  случая  парной  регрессии   это  квадрат  коэффициента  корреляции  переменных  Х   и  У  (r).

     В  нашей  задаче  r²   = 0,937²  =  0,88

     Коэффициент  детерминации  характеризует  долю  вариации (разброса) зависимой  переменной, объясненной  с  помощью   данного  уравнения.

     Интерпретация  полученного   коэффициента  такова: r  = 0,88  умножается  на 100  и выражается  как процентная  доля  вариации  У, которая объясняется вариацией Х.

     Таким  образом,  в нашем  примере 88% изменения   прибыли  объясняется  изменением  акционерного  капитала.

    Параметры уравнения регрессии  (а и в) определяем способом  наименьших квадратов из системы  уравнения (расчеты в табл. 6).

 

 

      Для  решения  системы   информацию  берем  из  таблицы  №  6.

6а+5049в=88,05

5049а+4427251в=80503,03

а=       

74094,075-4248733,5в+4427251в=80503,03

178517,5в=6408,955

в=

 

а=

=-15,619+0,036х

    Коэффициент регрессии в=0,036 свидетельствует  о том, что при увеличении  акционерного капитала на 1 млн руб. прибыль возрастет на 0,036 млн руб. или на 36 тыс. руб.

    По коэффициенту регрессии определяем  коэффициент эластичности (Э) и  -коэффициент.

0,81

    Следовательно, при увеличении  акционерного капитала на 1%, прибыль  увеличится на 2,15%.

    При увеличении акционерного  капитала на одно свое среднеквадратическое  отклонение прибыль увеличится  на 0,81 своих среднеквадратических  отклонений.

     Анализ рядов  динамики проведем на примере динамики прибыли по одному из предприятий, входящих в совокупность, в частности по предприятию № 5.

    При анализе будут  использованы следующие показатели:

        1) характеризующие  изменение прибыли по периодам:

а) абсолютный прирост (Δa);

б) темп (коэффициент) роста  ;

в) темп прироста .;

г) абсолютное значение одного процента прироста (А).

    Все эти показатели  могут быть рассчитаны цепным  и базисным методом. Цепные  показатели динамики характеризуют  изменения каждого последующего  показателя по сравнению с  предыдущим, а базисные по сравнению  с уровнем, принятым за базу  сравнения (в этой работе –  с первоначальным уровнем).

                              ,

где

- уровень сравниваемого периода

- уровень предыдущего периода

- первоначальный уровень (здесь  базисный).

                             

   Существует взаимосвязь между  цепными и базисными темпами  роста, выраженными коэффициентами: произведения последовательных  цепных темпов роста равно  соответствующему базисному.

 

                                    

2) Абсолютное  значение одного процента прироста  рассчитывается отношением цепного  абсолютного прироста к темпу  цепного прироста.

3) Пункты  роста ( ) представляет собой разность базисных темпов роста, выраженных в процентах