Статистика цен

Причины существования случайной ошибки:

1. Невключение  в регрессионную модель значимых  объясняющих переменных;

2. Агрегирование  переменных. Например, функция суммарного  потребления – это попытка  общего выражения совокупности  решений отдельных индивидов  о расходах. Это лишь аппроксимация  отдельных соотношений, которые  имеют разные параметры.

3. Неправильное  описание структуры модели;

4. Неправильная  функциональная спецификация;

5. Ошибки  измерения.

Так как отклонения εi  для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по  наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками  параметров α и β регрессионной  модели являются соответственно  величины а и b, которые носят  случайный характер, т.к. соответствуют  случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения (оценки) ошибок εi, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(yi - y*i)2 → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x2 = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

4a + 359.23 b = 980.5

359.23 a + 34033.94 b  = 87819.14

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.1338, a = 257.1398

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -0.1338 x + 257.1398

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл.3.3)

x	y	x2	y2	x • y
61.1	247.4	3733.21	61206.76	15116.14
78.2	249	6115.24	62001	19471.8
109.3	244.2	11946.49	59633.64	26691.06
110.63	239.9	12239	57552.01	26540.14
359.23	980.5	34033.94	240393.41	87819.14

 

1. Параметры  уравнения регрессии.

Выборочные средние.

x = ∑xi;n =  359.23;4 = 89.81

y = ∑yi;n =  980.5;4 = 245.13

xy = ∑xiyi;n =  87819.14;4 = 21954.78

Выборочные дисперсии:

S2x = ∑x2i;n - x2 =  34033.94;4 - 89.812 = 443.1

S2y = ∑y2i;n - y2 =  240393.41;4 - 245.132 = 12.09

Среднеквадратическое отклонение

Sx = S2x =  443.1 = 21.05

Sy = S2y =  12.09 = 3.48

1.1. Коэффициент  корреляции 

Ковариация.

covxy = x • y - x • y = 21954.78 - 89.81 • 245.13 = -59.28

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

rxy = x • y -x • y ;Sx • Sy = 21954.78 - 89.81 • 245.13;21.05 • 3.48 = -0.81

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X  высокая и обратная.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

rxy = bSx;Sy

1.2. Уравнение  регрессии (оценка уравнения регрессии).

yx = rxy x - x;Sx Sy  + y = -0.81 x - 89.81;21.05 3.48 + 245.13 = -0.13x  + 257.14

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -0.13 x  + 257.14

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = -0.13 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -0.13.

Коэффициент a = 257.14 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.

1.3. Коэффициент  эластичности.

Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

E = ∂y;∂x x;y = bx;y

E = -0.1389.81;245.13 = -0.049

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

βj = bjSx;Sy = -0.1321.05;3.48 = -0.81

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения Sx приведет к уменьшению среднего значения Y на 0.81 среднеквадратичного отклонения Sy.

1.4. Ошибка  аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

A = ∑|yi - yx| : yi;n100%

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

A = 0.0327;4 100% = 0.82%

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

1.5. Эмпирическое  корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

η = ∑y - yx2; ∑yi - y2

η = 31.72;48.35 = 0.81

где

y - yx2 = 48.35 - 16.63 = 31.72

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = -0.81.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

R = 1 - ∑yi - yx2; ∑yi - y2

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции rxy.

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 3.4)

 

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
61.1	247.4	248.97	5.18	2.45	824.12	0.00633
78.2	249	246.68	15.02	5.39	134.73	0.00933
109.3	244.2	242.52	0.86	2.83	379.96	0.00689
110.63	239.9	242.34	27.3	5.95	433.58	0.0102
359.23	980.5	980.5	48.35	16.63	1772.39	0.0327

 

2. Оценка  параметров уравнения регрессии.

2.1. Значимость  коэффициента корреляции.

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

tнабл = rxy n-2;1 - r2xy

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит — нулевую гипотезу отвергают.

tнабл = 0.81 2;1 - 0.812 = 2.63

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=2 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (2;0.025) = 4.303

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим.

В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.2. Интервальная  оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r - tкрит 1-r2;n; r + tкрит 1-r2;n

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

0.81 - 4.3031-0.812;4; 0.81 + 4.3031-0.812;4

r(-1.55;-0.0702)

Показатели качества уравнения регрессии.

 

Показатель	Значение
Коэффициент детерминации	0
Средний коэффициент эластичности	-0.049
Средняя ошибка аппроксимации	0.82

 

 

 

 

                

 

           3.3 Основные направления совершенствования статистики цен

Государственное регулирование цен (тарифов), являясь в настоящее время одним из важнейших механизмов по соблюдению государственных и общественных интересов, средством проведения экономических реформ, интеграции и оздоровления экономики, приобретает первостепенное общенациональное значение.

Эффективность государственного регулирования цен (тарифов) напрямую связана с правовой организацией управления. В течение последних 15 лет формировалась современная правовая основа государственной ценовой политики, создавались органы ценового регулирования, определялись перечни регулируемых цен.