Статистический анализ рядов динамики в экономических исследованиях

Формула нахождения темпа прироста (1.6)  при базисном способе расчета [1]:

                                                                                                (1.6)

Темп прироста показывает, на сколько  процентов изменились размеры явления  за изучаемый период времени.

Темпы прироста, так же как и темпы роста, исчисляются по годам (цепным методом) и накопленным итогам за длительный период (базисным методом).

Сравнение абсолютного прироста и  темпа прироста за одни и те же периоды  времени показывает, что в реальных экономических процессах замедление темпов прироста не всегда сопровождается уменьшением абсолютных приростов. Поэтому на практике часто проводят сопоставление этих показателей. Для этого рассчитывают показатель абсолютного значения 1% прироста, представляющий собой отношение абсолютного прироста к темпу прироста.

Формула нахождения абсолютного значения 1% прироста (1.7)  при цепном способе расчета [1]: 

                                                                                                             (1.7)

Формула нахождения  абсолютного  значения 1% прироста (1.8)  при базисном способе расчета [1]:

                                                                                                               (1.8)

Нужно подчеркнуть, что  расчет абсолютного значения 1% прироста имеет смысл только для цепных приростов и темпов прироста. Для  базисных темпов прироста этот показатель для всех лет будет один о тот  же, поскольку первоначальный уровень, к которому исчисляется темп, остается неизменным.

1.3. Средние показатели  ряда динамики

Для характеристики рядов  динамики используются средние показатели. К ним относятся средний уровень  ряда динамики, средний темп роста, средний темп прироста.

Средний уровень важной обобщающей характеристикой для рядов динамики, изменение которых стабилизировалось в исследуемом периоде  и при этом подвержено ощутимым случайным колебаниям. 

Средний уровень  ряда динамики определяется по-разному  для интервальных и моментных  рядов.

Для интервальных рядов динамики средний уровень определяется как простая средняя арифметическая по формуле (1.9)[6]:

                                                                                                              (1.9)

Где -  сумма уровней ряда

 n  – число уровней ряда

Для моментных рядов  формула простой средней арифметической недопустима. В моментных рядах средний уровень определяется  [1]:

- по формуле cредней хронологической, если периоды между моментами равные (1.10):

                                                                             (1.10)

- по формуле cредней арифметической взвешенной, если периоды между моментами не равны (1.11):

                                                                                                          (1.11)

Где y_i – i-ый текущий уровень ряда

 t_i – период, в течение которого i-ый уровень оставался неизменным

При анализе развития явления часто  возникает потребность дать обобщенную характеристику интенсивности развития за длительный период.  Для этого обычно исчисляют средние (обычно среднегодовые) темпы роста и прироста.

Средний темп роста показывает, сколько  в среднем процентов последующий  уровень составляет от предыдущего в течение всего периода наблюдения.

Средний темп роста может  определяться по формуле средней геометрической (1.12) [7]:

                                                                                                         (1.12)

Где n – число уровней

ПТ – произведение цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах.

 Так как произведение  цепных темпов всегда равно  базисному,  то средний темп  можно исчислять из базисного  темпа. Формула  расчета среднего  темпа роста (1.13) имеет вид [6]:

                                                                                                            (1.13)

Где n – число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, не считая базисного.

 y_n – уровень последнего периода

 y_o – уровень базисного периода

 Средний темп прироста  может быть выражен через средний темп роста по формуле (1.14) [7]:

                                                                                                         (1.14)

Средний абсолютный прирост определяется как отношение суммы цепных абсолютных прироста к числу уровня без первого  по формуле (1.15) [1]:

                                                                                  (1.15)

 Cредний абсолютный прирост может быть найден как отношение абсолютных уровней ряда динамики  к числу уровней без одного по формуле (1.16) [7]:

                                                                                                       (1.16)

Cредний абсолютный прирост может быть исчислен и по накопленным (базисным) абсолютным приростам по формуле (1.17) [7]:

                                                                                                           (1.17)

1.4. Методы анализа  основной тенденции развития  явления

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение  общей тенденции в  развитии исследуемого явления.  В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике показателя, в других ситуациях  она может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний. На развитие явления во времени могут оказывать влияние различные по своему характеру и силе воздействия факторы.

При изучении в рядах динамики общей тенденции развития явления применяются  неточные приближенные методы развития и точные аналитические методы.

1.4.1. Методы сглаживания

К приближенным методам относятся  метод укрупнения интервалов и метод  скользящей средней.

Метод укрупнения интервалов является наиболее простым способом изучения общей тенденции, который основан  на объединении периодов, к которым  относятся уровни ряда динамики.

Более сложный прием выявления  общей тенденции ряда динамики состоит  в сглаживании ряда динамики с помощью подвижной (скользящей) средней. Сущность этого приема состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчетные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные данные погашаются и общая тенденция развития явления выражается в виде плавной линии (теоретические уровни).

Однако все приближенные методы обладают недостатком, связанным с  потерей уровней. Кроме того, они  не дают возможность установить закон  развития явления.

1.4.2. Методы аналитического  выравнивания

Методы аналитического выравнивания являются наиболее совершенным методом  изучения общей тенденции в рядах  динамики, которые позволяют установить закон развития явления. При аналитическом  выравнивании уровень ряда динамики рассматривается, как  функция времени. Этот метод  основан на способе наименьших квадратов. В результате находится уравнение тренда или кривой, описывающее тенденцию развития явления.

Наиболее часто используются выравнивания рядов динамики по прямой, гиперболе, параболе. 

Нахождение уравнения кривой связано  с решением системы уравнений, разработанных  для каждого типа кривых. Для уравнения  прямой  решается следующая система уравнений (1.18)[3]:

                                                                                    (1.18)

Для упрощения  расчета системы  уравнений вводят условный момент времени. Для этого переносят начала координат  в середину ряда динамики.  Если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3…, то после переноса:

1. для четного числа членов уровней t =…,-5, -3, -1, 1, 3, 5,…;
2. для нечетного числа членов уровней t =…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…;

Тогда  система нормальных уравнений для прямой (1.18) за счет того, что , примет следующий вид [3]:

                                                                                               (1.19)

                                                                                                      (1.20)

Для  выравнивания динамических рядов по параболе, уравнение которой  имеет вид  , решается следующая система уравнений (1.21)[3]:

                                                                  (1.21)

После переноса начала координат  в середину ряда динамики и , тогда система уравнений примет вид:

                                                                                (1.22)

                                                           (1.23)

Аналитическое выравнивание динамических рядов является во многих случаях  основой для прогнозирования развития явления или его экстраполяции.

 

 

 

 

 

 

 

1.5. Изучение сезонности  колебаний

Сезонными колебаниями называются более или менее устойчивые внутригодовые  колебания в ряду динамики, обусловленные  специфическими условиями производства или потребления данного товара.

Характеризуются сезонные колебания специальными показателями, которые называются индексами сезонности (I_s) и совокупность которых образует сезонную волну. Индексом сезонности называется средняя, исчисленная из процентных отношений по  одноименным месяцам фактических уровней к уровням выравнивания.

Для вычисления индексов сезонности применяются различные  методы. Если ряд имеет определенную тенденцию  в развитии, то, прежде чем вычислять сезонную волну, эмпирические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда. Далее фактические данные выражаются в процентах к выравниванию, а индексы сезонности будут равны средним по одноименным месяцам из этих процентных чисел за  взятые годы. Формула расчета индекса (1.24) сезонности в этом случае выглядит так [6]:

                                                                                         (1.24)

Где y_i – фактические уровни одноименных внутригодовых периодов

y_t - выровненные уровни одноименных внутригодовых периодов

n – число лет

Если же ряд не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются  непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Тогда формула расчета индекса сезонности (1.25)  будет следующая [6]:

                                                                                                       (1.25)

Где  - общая или постоянная средняя.

y_i – фактические уровни одноименных внутригодовых периодов.

1.6. Элементы прогнозирования  и интерполяции

Интерполяцией рядов динамики называется способ выравнивания рядов  динамики для нахождения значения недостающего члена ряда. В современной статистике, как правило, нет необходимости прибегать к интерполяции рядов динамики, так как текущая статистика полностью обеспечивает фактические данные за все периоды времени.

Другой прием, основанный на выравнивании рядов динамики, называется экстраполяцией рядов динамики. Это прием заключается в том, что, продолжая найденные математические кривые, тем самым мы как бы предсказываем дальнейшее развитие явлений.

Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, т. е. на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При этом  предполагается, что в  динамическом ряду присутствует тренд, характер развития показателя обладает свойством инерционности. Сложившаяся тенденция не должна претерпевать существенных изменений в течение периода утверждения.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1. Выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения динамического ряда
2. Оценка параметров выбранных кривых
3. Проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу  и окончательный выбор кривой
4. Расчет точечного и интервального прогнозов.

Таким образом, прогнозирование базируется на знании закономерностей развития прогнозируемых явлений, факторов, которые определяют эти закономерности, и того, как эти факторы будут вести в прогнозируемый период. Следовательно, прогноз является сложной экономико-статистической работой, и в этой работе известную помощь могут оказать методы экстраполяции, если они правильно улавливают сложившиеся закономерности.