Статистические изучение взаимосвязи социально - экономических явлений

 

 

Проверка совокупности предполагает использование двух методов:

Первый метод: Расчет коэффициента вариации

 
где - средняя арифметическая простая величина, характеризующая совокупность, которая рассчитывается по формуле:

 
где – среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака от их средней величины, которая рассчитывается по формуле:

 

В данном примере млн. руб./год 
млн. руб./год

.

Значение коэффициента вариации меньше 33,3%. Это свидетельствует  о том, что совокупность однородная и построенный по ней ряд распределения  будет значимым.

Второй метод: Правило «трех сигм»

 

Таким образом, любое значение признака должно попасть в интервал. Если некоторые значения в этот интервал не входят, то они исключаются из изучаемой совокупности и все  средние величины и показатели вариации пересчитываются заново.

В рассматриваемом примере  все значения площади складских  помещений входят в искомый интервал:

= [0,38200029;1,37528].

Так как минимальное значение стоимости основных средств по совокупности больше нижней границы интервала «трех сигм» (0,314>0,38200029), максимальное значение меньше верхней границы (1,168<1,37528), можно сделать вывод, что «аномальных» наблюдений нет и совокупность однородна.

2. Построение  ряда распределения и расчет его  основных характеристик

Количество интервалов определяется по формуле Стерджесса:

n = 1 +3,322 lgN.

По величине совокупности (N), равной пятидесяти, количество интервалов составит n= 1 + 3,322 lg50=7.

Тогда варианты составят:

Таблица 2.2

Ряд распределения  по величине стоимости основных средств

Группа предприятий по средней  производительности труда, млн. руб/год		Количество предприятий в группе	Расчетные графы
			Середина интервала		Накопленная частота
xi		fi	x'i	x'i*fi	S'
0,314	0,436	7	0,375	2,625	7
0,436	0,558	9	0,497	4,473	16
0,558	0,68	5	0,619	3,095	21
0,68	0,802	12	0,741	8,892	33
0,802	0,924	9	0,863	7,767	42
0,924	1,046	4	0,985	3,94	46
1,046	1,168	4	1,107	4,428	50
Всего		50		35,22

 

 

 

Графический ряд распределения  предприятий в виде гистограммы  и полигона

а – гистограмма

 

б – полигон

 

Рис. 1.1. Ряд  распределения социально-экономических  показателей деятельности предприятий по средней стоимости основных средств: а - гистограмма, б - полигон.

 

1. Расчет показателей  центра распределения

Показатели центра распределения - основные средние степенные и  средние структурные величины ряда распределения:

• средняя арифметическая взвешенная () позволяет учитывать структуру совокупности, соотношение мелких и крупных предприятий

 

• мода - наиболее часто встречающаяся  величина в ряду распределения

 

 

где - нижняя граница модального интервала; // - частоты, соответственно, модального интервала, интервала предшествующего модальному, и интервала, последующего за модальным.

 

• медиана (Me) - величина, которая делит ряд распределения на две равные части:

 

где - нижняя граница медианного интервала, - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; - собственная частота медианного интервала.

 

 

Графически мода определяется при помощи гистограммы распределения, медиана - посредством кумуляты распределения.

 

а – определение  моды

б – определение медианы

Рис. 1.2. Графическое определение средних структурных величин: а - определение моды, б - определение медианы.

Показатели центра распределения  позволяют охарактеризовать структуру  совокупности.

Таким образом, наибольшее количество предприятий (12 предприятий или 24% статистической совокупности) выполняют среднюю производительность труда в среднем размере 0,7654 млн.руб./год. Центральное значение признака, характеризующее среднюю производительность труда, составляет 0,7206 млн.руб./год.

2. Расчет показателей  вариации

Вариация признака - это  его различие внутри изучаемой совокупности. Выделяют абсолютные средние и относительные  показатели вариации.

Таблица 2.3.

Расчет показателей вариации ряда распределения

Группа предприятий по величине стоимости  основных средств, млн.руб./год	Количество предприятий в группе	Расчетные столбцы
0,314-0,436	7	0,375	-0,3294	2,3058	0,75953052
0,436-0,558	9	0,497	-0,2074	1,8666	0,38713284
0,558-0,680	5	0,619	-0,0854	0,427	0,0364658
0,680-0,802	12	0,741	0,0366	0,4392	0,01607472
0,802-0,924	9	0,863	0,1586	1,4274	0,22638564
0,924-1,046	4	0,985	0,2806	1,1224	0,31494544
1,046-1,168	4	1,107	0,4026	1,6104	0,64834704
всего	50			9,1988	2,38882

 

Абсолютные показатели вариации характеризуют степень  колеблемости признака:

• размах вариации (R) - характеризует реальный разброс значений изучаемого признака:

 

 

• среднее линейное взвешенное отклонение срединных значений вариант от их средней арифметической взвешенной определяет обобщающую характеристику распределения отклонений:

 

 

• среднее квадратическое взвешенное отклонение срединных значений вариант от их средней арифметической взвешенной определяет меру вариации:

 

 

 

• коэффициент осцилляции отражает степень  вариации крайних значений признака относительно средней:

 

 

• относительное линейное отклонение характеризует  долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

 

 

• коэффициент вариации характеризует  типичность средней арифметической величины:

 

 

Величины среднего и относительного линейных отклонений устанавливают  незначительную колеблемость в средней производительности труда (). Так как значение коэффициента вариации (%) меньше 33,3%, то ряд распределения признается однородным.

3. Расчет показателей  формы распределения.

Основные  показатели формы распределения  – асимметрия и эксцесс – характеризуют  степень отклонения реального рассматриваемого распределения от нормального распределения.

Таблица 2.4

Расчет показателей  формы ряда распределения

Группа предприятий по величине средней  производительности труда, млн. руб./год	Количество предприятий в группе	Расчетные графы
0,314-0,436	7	0,375	-0,329	-0,2502	0,082412373
0,436-0,558	9	0,497	-0,207	-0,0803	0,016652426
0,558-0,680	5	0,619	-0,085	-0,0031	0,000265951
0,680-0,802	12	0,741	0,0366	0,0006	0,0000215331
0,802-0,924	9	0,863	0,1586	0,0359	0,005694495
0,924-1,046	4	0,985	0,2806	0,0884	0,024797658
1,046-1,168	4	1,107	0,4026	0,261	0,105088471
всего	50			0,0523	0,234932907

 

Асимметрия - показатель отклонения реального распределения от нормального в правую или левую сторону.

0,7044>0,720666667>0,7654

- это правосторонняя асимметрия.

Показатель  асимметрии рассчитывается тремя способами:

- исходя из соотношений средних величин:

 

- по методу Линдберга:

;  = n – 0,50=0,54 – 0,50=0,04

- с использованием центрального момента третьего порядка ():

 

 

Оценки степени значимости показателя асимметрии осуществляется при помощи средней квадратической ошибки, зависящей от величины статистической совокупности (п):

 

При объеме совокупности, равном пятидесяти, средняя квадратическая ошибка и отношение показателя асимметрии, рассчитанного с использованием центрального момента третьего порядка к ней, составят:

 

 

 

По итогам расчета показателей  асимметрии можно сделать следующие  выводы: соотношения средней арифметической и средних структурных величин, положительные значения показателей, рассчитанных по методам соотношения  средних с использованием центрального момента третьего порядка, свидетельствуют  о левосторонней асимметрии. Показатель Линдберга, имеющий положительное значение, в этом случае признается незначимым. Отношение показателя асимметрии к средней квадратической ошибке меньше 3 и характеризует ее несущественность, значит, распределение можно считать нормальным.

Показатель эксцесса рассчитываем двумя способами:

• по методу Линдберга:

Ex = n – 0,389

 

 

 

 

• с использованием центрального момента четвертого порядка

 

 

 

 

 

Степень существенности показателя эксцесса оценивается посредством средней  квадратической ошибки, зависящей от величины совокупности, и рассчитывается по формуле:

 

 

 

Исходя из рассчитанных значений показателя эксцесса сделаем выводы: отрицательное значение показателя эксцесса, рассчитанного по методам Линдберга и с использованием центрального момента четвертого порядка, характеризует наблюдаемое распределение как плосковершинное. Величина отношения показателя эксцесса к его средней квадратической ошибке должна удовлетворять условию: < 3, что свидетельствует о незначительности эксцесса в близости наблюдаемого распределения к нормальному.

3. Определение ошибок выборки

1) Средняя ошибка выборки  обеспечивает надежность средней величины с точностью 0,954 и рассчитывается по формуле:

 

Зная, что n=20 является двадцатипроцентной выборочной совокупностью, можно рассчитать величину генеральной совокупности.

 предприятий.

Тогда средняя ошибка выборки  составит:

 млн.руб./год

Предельная ошибка выборки уточняет среднюю ошибку на коэффициент, определенный вероятностью ее возникновения

 

При вероятности возникновения  ошибки равной 0,954 коэффициент доверия  составляет t(0,954)=1,68. Значит, предельная ошибка выборки примет значение:

 млн.руб./год

Доверительный интервал средней  арифметической находится в границах

 

 = [- ; + ] = [0,659384; 0,754096]

    Таким образом,  с вероятностью 0,954 можно гарантировать,  что средняя величина средней  производительности труда в генеральной  совокупности не будет меньше 0,659384 млн. руб./год и не превысит 0,754096 млн. руб./год.

2) Ошибки выборки долей статистической совокупности

 

Средняя ошибка для доли совокупности рассчитывается по формуле:

 

 

Предельная  ошибка выборки также рассчитывается с учетом вероятности ее возникновения  t(0,954)=1,68

 

 

Доверительный интервал доли совокупности определяется в границах

 

 

Следовательно, количество предприятий, в которых средняя производительность труда больше среднего, в генеральной  совокупности составит не меньше 43,409% и не превысит 64, 591%.

 

3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ  ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ  ЯВЛЕНИЙ

Социально-экономические  показатели деятельности предприятий

г. Екатеринбург за 2011 год

 

№ предприятия	Стоимость основных средств, млн. руб.	Количество единиц подвижного состава, единиц	Грузооборот, тыс. т-км.
1	163,4	0,894	8,25
2	70,1	0,425	5,22
3	160,1	0,921	6,03
4	149,7	0,48	2,02
5	107	0,745	4,09
6	139,6	0,599	5,71
7	92,1	1,168	6,62
8	142,8	1,045	5,14
9	105,3	0,506	4,51
10	160,2	0,35	4,13
11	182,4	0,961	6,05
12	114,8	0,937	3,05
13	132,3	0,76	2,03
14	86,8	1,048	6,5
15	159,8	0,475	2,21
16	88,3	0,691	2,92
17	46,4	0,541	3,13
18	88,1	0,635	5,72
19	84,8	0,314	5,37
20	123,7	0,758	2,1
21	146,1	0,398	2,35
22	196,8	0,914	5,32
23	153,8	0,544	3,26
24	122,4	0,465	3,24
25	89	0,445	6,1
26	171,8	0,806	2,88
27	63,6	0,913	6,3
28	156,4	0,773	5,77
29	174,6	0,802	3,95
30	58,3	0,574	3,81
31	219,6	0,824	5,2
32	135,9	0,724	5,02
33	101,9	1,009	4,4
34	122,2	0,388	4,86
35	53,4	0,732	6,62
36	184,8	1,065	3,23
37	60,6	0,529	2,38
38	68,7	0,9	6,22
39	180,2	0,549	3,06
40	107,4	0,837	2,23
41	139,2	0,374	3,16
42	176,8	0,779	8,24
43	133,6	0,592	3,35
44	113,5	0,326	3,39
45	125,8	1,095	6,47
46	100,9	0,88	3,41
47	89,2	0,711	2,98
48	179,5	0,678	5,06
49	130,7	0,682	2,29
50	53,3	0,776	2,87
Всего	6207,7	35,337	218,22