Средняя величина

Построим  интервальный вариационный ряд с  равными интервалами, выделив 10 групп  торговых предприятий по величине объема розничного товарооборота.

Чтобы определить величину интервала в группе, необходимо найти разность между максимальным и минимальным значениями признака (в нашем случае объем розничного товарооборота) и разделить её на число выделяемых групп. Обозначим величину интервала через h, следовательно, 

      h = 266 – 133 / 10 = 13,3

Выделим теперь группы с интервалом 13,3 млн. руб. и  подсчитаем число предприятий в  каждой группе (в виде таблицы):

Таблица 2

Объем розничного товарооборота, млн. руб.	Число предприятий,  fi	Накопленные (кумулятивные) частоты
133-146,3	4	4
146,3-159,6	6	10
159,6-172,9	8	18
172,9-186,2	9	27
186,2-199,5	7	34
199,5-212,8	9	43
212,8-226,1	4	47
226,1-239,4	2	49
239,4-252,7	0	49
252,7-266	1	50
Всего	50

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Изобразим полученный вариационный ряд графически в виде гистограммы и полигона распределения.

Рис.1. Гистограмма  и полигон распределения 50-и предприятий  по объему розничного товарооборота.

3. Построим кумуляту распределения торговых предприятий по величине объема розничного товарооборота.

Рис.2  Кумулята распределения 50-и предприятий по объему розничного товарооборота. 
 
 

4. Определим по данным вариационного ряда объем товарооборота в среднем на одно предприятие.

     Для определения среднего объема товарооборота  нам необходимо добавить в таблицу 2 дополнительно два столбца, а именно, середина интервала (xi) и столбец произведения среднего интервала на число предприятий (fi), то есть (xi*fi). В связи с тем что, нам даны не точные цифры, а диапазоны и последняя колонка, следовательно, в данной ситуации мы должны использовать среднюю арифметическую взвешенную.

     Формула средней арифметической взвешенной следующая:

          ∑ xi*f i

     x = ————

           ∑ f i

     Таблица 3.

Объем розничного товарооборота, млн. руб.	Середина интервала  хi	Число предприятий,  fi	Накопленные (кумулятивные) частоты	xi*fi
133-146,3	139,65	4	4	558,6
146,3-159,6	152,95	6	10	917,7
159,6-172,9	166,25	8	18	1330
172,9-186,2	179,55	9	27	1615,95
186,2-199,5	192,85	7	34	1349,95
199,5-212,8	206,15	9	43	1855,35
212,8-226,1	219,45	4	47	877,8
226,1-239,4	232,75	2	49	465,5
239,4-252,7	246,05	0	49	0
252,7-266	259,35	1	50	259,35
Всего		50		9230,2

Посчитаем средний объем товарооборота на одно предприятие:

          ∑ xi*f i  9230,2

     xср = ———— = ———— = 184,6 (млн. руб.)

          ∑ f i   50 

     Ответ: средний объем розничного товарооборота на одно предприятие указанных в Таблице 1 предприятий составляет 184,6 млн. руб.

  5. Определим модальный интервал распределения и вычислим моду.

     Модальный интервал распределения – это  интервал с наиболее часто встречающимися показателями (имеющий наибольшую частоту). Исходя из данных, интервалов два: а) 172,9-186,2 (млн. руб.) и б) 199,5-212,8 (млн. руб.).

     Мода (наиболее часто встречающееся значение, в нашем случае объем розничного товарооборота предприятий) находится в двух интервалах          а) 172,9-186,2 (млн. руб.) и б) 199,5-212,8 (млн. руб.).

     Определим Моду (Мо) по следующей формуле:

                            ƒ₄ – f₃

     Мо₁ = x_н+h —————————— ,

                    ( f₄ – f₃ ) + ( f₄ – f₅ )

     где x_н - нижняя граница модального интервала

                            f₆ – f₅

     Мо₂ = x_н+h ——————————— ,

                       ( f₆ – f₅) + ( f₆ – f₇ )

     где x_н - нижняя граница модального интервала

                        (9-8)

     Мо₁ = 172,9+13,3 —————— = 186,2*0,3 = 55,86 (млн. руб.).

                           (9-8) + (9-7)

                              9-7

     Мо₂ = 199,5+13,3 ————— = 212,8*0,3 = 63,84 (млн. руб.).

                         (9-7) + (9-4)  

Ответ: модальных интервалов распределения два :а) 172,9-186,2 (млн. руб.) и б) 199,5-212,8 (млн. руб.), мода Мо₁ = 55,86 (млн. руб.), Мо₂ = 63,84 (млн. руб.).

6. Определить медианный интервал распределения и вычислить медиану.

Медианный интервал распределения - это интервал, накопленная частота, которой равна или превышает половину суммы частот.

Определим медианный  интервал распределения и вычислим медиану.

   Определим медианный интервал, кумулятивная частота  которого равна или превышает  половину суммы частот: 50/2=25, следовательно, медианным интервалом будет интервал со значением розничного товарооборота – 184 -199,5.

   Определим медиану по следующей формуле:

   Ме = Хме + iме*(F/2 – Sме-1)/Fме, где

   Хме – начальное значение медианного интервала;

   Iме – величина медианного интервала;

   F – сумма частот ряда (численность ряда);

   Sме-1 – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

   Fме – частота медианного интервала.

   Ме = 186,2 + 13,3*(50/2 – 24)/2 = 192,85

   Ответ: Медианный интервал распределения 186,2-199,5, медиана равна 192,85.

7. Рассчитаем и проанализируем абсолютные показатели вариации:

- размах вариации;

R = x _max – x _min

R = 266 – 133 = 133 млн. руб.

- среднее линейное  отклонение;

Среднее линейное отклонение - это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.

• = |139,65-184,6| + |152,95-184,6| + |166,25-184,6| + |179,55-184,6| +

+ |192,85-184,6| + |206,15-184,6| + |219,45-184,6| + |232,75-184,6| +

+|246,05-184,6| + |259,35-184,6| / 10 = |-44,95| + |-31,65| + |-18,35| + |-5,05| +

+ |8,25| + |21,55| + |34,85| + |48,15| + |61,45| + |74,75| / 10 = |349| /10 = 34,9

- среднее квадратическое отклонение (σ);

     В нашем случае применим формулу для  вариационного ряда:

           ∑ (xi - x̅)² f i

     σ = √ —————    

             ∑ f i

Нам известна x , она составляет 184,6 (млн. руб.)

Для нахождения среднего квадратического отклонения (σ) составим Таблицу 4.

Таблица 4

Объем розничного товарооборота млн. руб.	Середина интервала  xi	Число предприятий  fi	Накопленные (кумулятивные) частоты	│xi - x̅│	│xi - ̅x│*f i	│xi - x̅│2*f i
133-146,3	139,65	4	4	44,95	179,8	8082,01
146,3-159,6	152,95	6	10	31,65	189,9	6010,34
159,6-172,9	166,25	8	18	18,35	146,8	2693,78
172,9-186,2	179,55	9	27	5,05	45,45	229,52
186,2-199,5	192,85	7	34	8,25	57,75	476,44
199,5-212,8	206,15	9	43	21,55	193,95	4179,62
212,8-226,1	219,45	4	47	34,85	139,4	4858,09
226,1-239,4	232,75	2	49	48,15	96,3	4636,85
239,4-252,7	246,05	0	49	61,45	0	0
252,7-266	259,35	1	50	74,75	74,75	5587,56
Всего		50		349	1124,1	36754,21

                    36754,21

     Итак , σ = √ ————— = √ 735,08 = 27,11(млн. руб.)

                     50

- дисперсию.

Дисперсия –  средний квадрат отклонений. 

D = 36754,21 / 50 = 735,08

   Ответ: Размах вариации равен 133 млн. руб. ; среднее линейное отклонение равно 34,9; среднее квадратическое отклонение равно 27,11 млн. руб. ; 

 дисперсия равна 735,08 млн. руб.

8. Рассчитаем относительные показатели вариации:

   - Коэффициент  осцилляции:

      Kr = R/xср *100%

      Kr =133/184,6 *100% = 0,7205 * 100% = 72,05%.

   - Линейный  коэффициент вариации:

   Kd =d/х̅ * 100%

   Kd = 34,9 / 184,6 *100% = 0,1891 * 100% = 18,91%

   - Коэффициент  вариации:

   V σ = σ / х̅  *100%

   V σ = 27,11 / 184,6 * 100% = 0,1469 *100% = 14,69%.

   Ответ: Коэффициент осцилляции равен 72,05%, линейный коэффициент вариации равен 18,91%, коэффициент вариации равен 14,69%.

9. Составим общий вывод по анализируемой статистической совокупности и сформулируем предложения по ее оптимизации.

Объем товарооборота  в среднем на одно предприятие – 184,6, наиболее часто встречающееся значение ряда (мода) – Мо₁ = 55,86 (млн. руб.), Мо₂ = 63,84 (млн. руб.).  Медиана делит выборку на две части: половина варианта меньше медианы, половина — больше. Таким образом, 50% единиц совокупности будут больше по величине 192,85. Размах вариации (разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда) – 133. Среднее линейное отклонение показывает различия всех единиц исследуемой совокупности. В исследуемом случае каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 34,9. Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего) и составляет 735,08. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. И составляет 72,05%. Поскольку коэффициент вариации (14,69) ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Задача  №2

    Имеются следующие данные о ценах и  объемах реализации товаров.

Задание 2