Средние величины и показатели вариации

, (9)

где – математическая функция развития; – случайное или циклическое отклонение от функции; t – время в виде номера периода (уровня ряда). Цель такого метода – выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

– прямая линия;   – гипербола;    – парабола; – степенная;   – ряд Фурье.

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y(t) (рис.1):

Рис 1. График динамики объема продажи книг  за 2006-2012гг.

Из данного графика видно, что  есть все основания принять уравнение  тренда в виде линейной функции.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( – читается как «игрек, выравненный по t») от фактических ( ) дает метод наименьших квадратов – МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней :

. (10)

В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (9) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены  с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

 (11)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

 (12)

Как видим, при такой нумерации  периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле (12) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 2.

Из таблицы  получаем, что  = 547,3и = 1293/70 = 18. Отсюда искомое уравнение тренда =547,3+18t. В 6-м столбце таблицы 2 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней (рис.2).

Рис.2. График эмпирических и трендовых уровней  объема продажи книг .

По полученной модели для  каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда ( ) и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:

, (13)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (15); Д_о – остаточная дисперсия (16), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф (14) и аналитической дисперсии:

; (14)

; (15)

. (16)

Сравнение расчетного и  теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Таблица 2

Вспомогательные расчеты для решения  задачи

Год	Y	t	t^2	tY	Y'	(Y-Y')^2	(Y'-Yср)^2	(Y-Yср)^2
2006	352	-5	25	-1760	457,3	11088,09	8105,4009	38153,8089
2007	487	-3	9	-1461	493,3	39,69	2919,2409	3639,7089
2008	436	-1	1	-436	529,3	8704,89	325,0809	12394,3689
2009	634	1	1	634	565,3	4719,69	325,0809	7511,6889
2010	659	3	9	1977	601,3	3329,29	2912,7609	12470,1889
2011	716	5	25	2339	637,3	6193,69	8094,6009	28449,5689
Итого	3284	0	70	1293	3283,8	34075,34	22682,165	102619,333

Проверим  тренд в нашей задаче на адекватность по формуле (13), для чего в 7-м столбце таблицы 6 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце – числитель аналитической дисперсии. В формуле (13) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р = 12 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т= 7,71 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [ = k–1 = 1] и 4-й строке [ = n – k = 6-2=4]).

При составлении  прогнозов уровней социально-экономических  явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая  так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (17):

, (17)

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n–1 (приложение 2); – ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (18):

, (18)

где и – соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n – число уровней ряда; k – число параметров (членов) в уравнении тренда. Определим доверительный интервал в нашей задаче на 2012 год с уровнем значимости = (1–0,05) = 0,95. Для этого найдем ошибку аппроксимации по формуле (18): =92,3. Коэффициент доверия по распределению Стьюдента = 2,5706 при = 6 – 1=5.

Прогноз на 2012год  с вероятностью 95% осуществим по формуле (17):

 Y₂₀₁₂₌(547,3+18*7) 2,57*92,3 или 436,1 <Y₂₀₁₂< 910,5 (млн. шт).

Общий вывод по разделу «Динамические  ряды»

Для анализа динамических рядов  необходимо определить показатели изменения уровня ряда динамики: базисные и цепные абсолютные приросты, темпы роста и прироста, абсолютное значение прироста. В нашей задаче абсолютное изменение равняется: =364 и =364. Следовательно, характер развития явления: при > 0 — рост.

Вычитая единицу из относительных  изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. В нашей задаче темпы изменения определены: =2,033и =2,03. Следовательно, при положительном темпе изменения имеет место рост явления.

В нашей задаче ряд динамики интервальный, значит, применяем формулу средней арифметической простой: = 3284 / 6 = 547,33 (млн. шт). То есть за период 2006-2011г. в среднем продажа книг  увеличилась  на 492,8 млн. шт.

Далее рассчитываем абсолютное изменение. Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что  базисное и цепное среднее изменение  должны быть равными. В нашей задаче = 547,3 / (6-1) = 109,5. По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост.

Естественно, базисное и цепное среднее  относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения  явления в среднем: рост, спад или  стабильность. В нашей задаче = 1,09, то есть ежегодно  продажа книг  увеличивается в 1,09 раза.

В нашей задаче = 1, 09 – 1 = 0, 09, то есть ежегодно продажа книг  растет на 9%. 

Затем, вычислив основные показатели динамических рядов, можно начать построение тренда. На графике по оси абсцисс  откладывается время, а по оси  ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве  случаев можно выявить тренд  визуально. В нашем случае есть все  основания принять уравнение  тренда в виде линейной функции.

Далее получаем, что  = 547,3и = 18. Отсюда искомое уравнение тренда =547,3+18t.   По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда ( ) и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд. В нашем случае F_Р = 12 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования.

При составлении  прогнозов уровней социально-экономических  явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая  так называемые доверительные интервалы прогноза. Прогноз на 2012 год с вероятностью 95%: 436,1 <Y₂₀₁₂< 910,5 (млн. шт).

Литература

1. Полисюк Г.Б. Экономико-математические  методы в планировании строительства.  М.:”Стройиздат”, 1986.

2. Спирин А.А., Башина О.Э.Общая  теория статистики, М.:”Финансы и  статистика”, 1994.

3. Практикум по общей теории  статистики/ Под редакцией Н.Н.Ряузова-2е  издание, переработанное и дополненное;  М:”Финансы и статистика”, 1981.

4. Харисова Г.М. Методическое  указание для практически занятий  по курсу “Статистика” для  студентов специальности 060811, 060815.

5. Гусаров В.М. Теория статистики. М.:”Аудит”, Издательское объединение  “ЮНИТИ”, 1998.