Средние величины и показатели вариации

Показатели четвертой итоговой строки являются основой для графического изображения выполненных расчетов на поле корреляции (рис.1).

Соединив между собой средние  значения в каждом интервале отрезками  прямых линий, получаем эмпирическую линию  регрессии y по x, которая показывает как в среднем изменяется y в связи с изменением x.

В нашем примере расчет эмпирической линии регрессии вновь подтвердил наличие корреляционной зависимости между потерями раб.времени и себестоимостью СМР.

1.5 Расчет теоретической  линии регрессии

Теоретическая линия регрессии  представляет собой такую математически  правильную кривую (либо прямую) линию, которая проходит наиболее близко к  точкам эмпирической линии регрессии  выражает общую закономерность средних  изменений признака в связи со средними изменениями фактора.

В нашем примере характер размещения точек на корреляционном поле делает весьма вероятной гипотезу о линейной связи y от x .

Параметры искомой прямой (а_о,а₁) находим из системы уравненной по способу наименьших квадратов:

(5)

Исходную информацию для решения  системы (5) получаем из таблицы 6, которая  основана на результатах таблицы 5.

Для получения упрощенных вариантов  по факторному признаку также используем метод отсчета от условного нуля. В нашем примере примем =269 чел-час., =13 чел-час.

Результатов расчетов по нашему примеру  приведены в таблице 6. 

Таблица 5

Расчет эмпирической линии регрессии  для зависимости y от x

 

Себестоимость СМР, тыс. руб.		x	Потери раб. времени, чел-час						Итого
		y	243	256	269	282	295
	3	185		13				1
	2	167,8				12		1
	1	150,55	11	11		11	11	4
	0	133,3	10	10	10		10	4
	-1	116		1-1				1
	1	Итого hi	2	4	1	2	2	n = 11
	2		1	3	0	3	1
	3		0,5	0,75	0	1,5	0,5
	4		141,9	143,05	133,3	152,8	141,9

 

Таблица 6

Расчет  теоретической линии регрессии  для зависимости y от x

Себестоимость СМР, т.р.		Потери раб.времени, чел-час						№ столбца
			4	1	0	1	4	1	2	3	4
			-2	-1	0	1	2	li	li	2	li 2
		x y	243	256	269	282	295
	3	185		1				1	3	9	9
	2	167,8				1		1	2	4	4
	1	150,55	1	1		1	1	4	4	1	4
	0	133,3	1	1	1		1	4	0	0	0
	-1	116		1				1	-1	1	1
№ строки	1	Итого	2	4	1	2	2	n=11		-
	2		-4	-4	0	2	4
	3		8	4	0	2	8
	4		1	3	0	3	1
	5		-2	-3	0	3	2

 

В качестве проверки  правильного  составление таблицы 6 должно соблюдаться  равенство итогов четвертой строки и второго столбца. Если это условие  не соблюдается, то в расчетах допущена ошибка, которая может привести к  существенным искажениям величины параметров теоретической линии регрессии.

В систему уравнений (5) подставим  результаты, полученные в табл. 6.

= -0,23.

= 0,85.

Параметры и необходимо преобразовать исходя из фактических значений x и y.

Формулы перевода из упрощенных в  реальные координаты:

 (8)

 (9)

где - интервал группировки по функции;

- интервал группировки по  аргументу;

- новое начало отсчета по  функции;

- новое начало отсчета по  аргументу.

По формулам (8), (9) находим:

.

Уравнение теоретической линии  регрессии в реальных коэффициентах  имеет вид y=65,9-0,3x.

В уравнении регрессии первое слагаемое  носит название свободного члена, второе слагаемое называется коэффициентом  регрессии. Он показывает, на сколько  натуральных единиц изменяется в  среднем результативный признак  при изменении факторного признака на единицу.

В нашем примере из уравнения  теоретической линии регрессии  видно, что себестоимость СМР  понижается на 0,3% при увеличении потери раб.времени на 1%.

Себестоимость СМР, не зависящая от рассматриваемых факторов, равна  65,9 тыс.руб.

1.6 Измерение тесноты  связи

Коэффициент корреляции является одним из наиболее совершенных методов измерения тесноты связи. Коэффициент корреляции отвечает на вопрос, в какой мере соблюдается строгая пропорциональность в изменениях функционального и факториального признаков.

Коэффициент корреляции может принимать  как положительные, так и отрицательные  значения, т.е. .

При выполнении корреляционных расчетов, когда связь между признаками x и y выражается прямой линией, соблюдается  условие, при котором знак при  коэффициенте корреляции должен совпадать со знаком при коэффициенте регрессии а₁.

Для расчета коэффициента корреляции существует формула, представленная в  упрощенных координатах признаков x и y.

.  (10)

В нашем примере исходную информацию для нахождения принимаем из таблицы 6.

. 

Выполненные расчеты показывают, что  между себестоимостью СМР и потерями раб.времени существует положительная корреляция, которая говорит о том, что с увеличением факторного признака x функциональный признак y увеличивается.

Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком регрессии a₁, что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Случайные факторы оказывают большое влияние на функцию, так как r=-0,29, следовательно, имеем по соотношению Чэддока заметную связь между изучаемыми явлениями.

Имеются и  другие формулы линейного  коэффициента корреляции.

Линейный коэффициент корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

, (11) или  . (12)

Числитель формулы (12), деленный на n, т.е. , представляет собой среднее произведение отклонений значений двух признаков от их средних значений, именуемое ковариацией. Поэтому можно сказать, что линейный коэффициент корреляции представляет собой частное от деления ковариации между х и у на произведение их средних квадратических отклонений.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1, причем знак определяется в ходе решения. Например, если , то r по формуле (27) будет положительным, что характеризует прямую зависимость между х и у, в противном случае (r<0) – обратную связь. Если , то r=0, что означает отсутствие линейной зависимости между х и у, а при r=1 – функциональная зависимость между х и у. Следовательно, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.

В нашей задаче для расчета r построить вспомогательную таблицу 7.

Таблица 7

 

Вспомогательные расчеты линейного коэффициента корреляции

i	xi	yi
1	292	116	625	841	66	3079
2	243	130	576	225	33	2871
3	260	126	49	361	12	2978
4	256	132	121	169	13	3072
5	295	150	784	25	13	4022
6	254	141	169	16	5	3255
7	248	147	361	4	4	3314
8	256	156	121	121	11	3630
9	280	163	169	324	21	4149
10	276	150	49	25	3	3763
11	285	185	324	1600	65	4793
Итого	2945	1596	3348	3711	246	38926

Пользуясь данными табл.7  рассчитать  линейный коэффициент  корреляции по формулам  12 и 13.

В нашей задаче: = 17,4; = ^=18,36. ^{Тогда по} формуле (12) : r = (38926 –145*267)/ (17,4*18,36) = -0,293, то есть связь между потерями раб.времени и себестоимостью СМР очень близка к функциональной.

 

1.7 Общий вывод  по разделу «Корреляционный анализ»

По данным таблицы 2 и 3 мы построили интервальные и дискретные ряды. При помощи таблицы 2 сделали вывод, что ряд распределения  по потери раб.времени показывает, что наиболее характерным является группа с центральным значением интервала 256 чел-час., так как она составляет 36,36% от всего количества потери раб.времени. Ряд распределения по себестоимости СМР, что наиболее характерным является группа с центральным значением интервала 133,3, 150,5 тыс. руб., так как она составляет 36,36% от всего количества себ-ти СМР.

Затем мы строим корреляционную таблицу, которая показывает, что при переходе слева направо в сторону больших значений факторного признака x  соответствующие ряды распределения функционального признака  y смещаются сверху вниз, т.е. в сторону меньших значений функций.

Далее считаем эмпирическую линию  регрессии, которая вновь подтвердила наличие корреляционной зависимости между потерями раб.времени и себестоимостью СМР. В нашем примере из уравнения теоретической линии регрессии видно, что себестоимость СМР понижается на 0,3% при увеличении потери раб.времени на 1%.

Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком регрессии а₁, что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Случайные факторы оказывают большое влияние на функцию, т.к. r=-0,29, следовательно, имеем функциональную связь между изучаемыми явлениями.

 

Глава 2. Средние  величины и показатели вариации

Вариант 12

Задача. Имеются следующие данные о количестве регистраций в соц.: 1; 2; 3; 4; 5; 2; 4; 3; 5; 1; 4; 4; 6; 2; 1; 3; 7; 4; 3; 1.

Для анализа распределения кол-ва регистраций в соц.: 1) построить  интервальный ряд распределения; 2) рассчитать модальный, медианный и  средний возраст, установить его  типичность с помощью коэффициентов  вариации.

Решение. Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n):

n = 1 +3,322 lg N,  (12)

где N – число величин в дискретном ряде.

В нашей задаче n = 1 + 3,322lg20 = 5,3. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 5.