Средние величины и показатели вариации

После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала  по формуле:

h = H / n,  (13)

где H – размах вариации, определяемый по формуле (14):

H = Х_мах –Х_min,  (14)

где X_мax и X_min — максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашей задаче h = (7-1)/5 = 1,2.

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.

Таблица 1

Вспомогательные расчеты для решения задачи

Xi, см	fi	Xi	Xi*fi	Xi-X	(Xi-Х)fi	(Xi-X)2	(Xi-X)2fi
До 2,2	7	1,6	11,2	-1,68	11,76	2,8	19,6
2,2-3,4	4	2,8	11,2	-0,48	1,92	0,23	0,92
3,4-4,6	5	4	20	0,72	3,6	0,5	2,5
4,6-5,8	2	5,2	10,4	1,92	3,84	3,68	7,36
Более 5,8	2	6,4	12,8	3,12	6,24	9,7	19,4
Итого	20	-	65,6	-	27,36	-	49,78

Мода ( )– это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (13):

Формула для  вычисления:

, (15) 

где – нижняя граница модального интервала; – величина модального интервала; – частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалом соответственно.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

В нашей задаче чаще всего повторяется (7 раз) первый интервал кол-ва регистрации в соц. (до 2,2 ), значит, это и есть модальный  интервал. Используя формулу (13), определяем точное значение модального количества регистрации:

 

М_о=1+1,2*(7-0)/(7-0)+(7-4))=1,84.

 

Медиана – варианта, которая находится в середине вариационного ряда.

Делит ряд  на две равные (по числу единиц) части  – со значениями признака меньше медианы  и со значением признака больше медианы.

Вычисляется медиана по формуле:

 (16) 

где – нижняя граница медианного интервала;

 – медианный интервал;

 – половина от общего  числа наблюдений;

 – сумма наблюдений, накопленная  до начала медианного интервала;

f_Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.

Для интервальных рядов распределения  с нечетным числом членов ряда медиана  будет вариантом, расположенным  в середине ряда, т.е. 3,4-4,6:

 

Ме = 3,4 + 1,2*(20/2-(7+4))/5 = 3,16.

Средняя величина – это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (несгруппированном) порядке, по общей формуле (17). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (18).

= ; (17)  = . (18)

При этом обозначено: X_i – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть < < < < . Так, если , то , а если , то .

В нашей задаче, применяя формулу  средней  арифметической взвешенной и подставляя вместо середины интервалов кол-ва регистраций Х_И, определяем среднее кол-во регистрации: = 65,6/20 = 3,28 . Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку  среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и  коэффициенты вариации.

Среднее линейное отклонение определяется по формуле (19): 

 – взвешенное.   (19)

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (20):

                     (20) 

- взвешенная;

Дисперсия определяется по формуле 21: 

 – взвешенная. (21)

_{Коэффициент вариации:}

_{Таким образом, коэффициент  вариации равен 48%, что  показывает неоднородность совокупности.}

_{Общий вывод к  разделу Средние  величины и показатели вариации}

Для начала определим количество интервалов по формуле Стерджесса, по которой  получили n=5. После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала. В нашей задаче h = 1,2.

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.

Далее определяем модальный интервал по наибольшей частоте. В нашей задаче точное значение модального количества регистрации равно 1,84.

После нахождения моды преступаем к  определению медианы. Медиана –  варианта, которая находится в  середине вариационного ряда. В нашей  задаче: Ме = 3,16.

Далее мы можем приступить к вычислению средних величин. Для начала, применяя формулу  средней  арифметической взвешенной и подставляя вместо середины интервалов кол-ва регистраций Х_И, определяем среднее кол-во регистрации: = 65,6/20 = 3,28. Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3. Показатели вариации буду находить по сгруппированным данным, т.е. по формуле - взвешенной величины, т.к. одно и то же значение признака в изучаемой совокупности встречается более 1 раза.

_{Поскольку однородность совокупности существует при условии, что  коэффициент вариации менее 33%, а в нашей  задаче коэффициент  вариации равен 48%, то значит данная совокупность неоднородна.}

 

Глава 3. Ряды динамики

Задача. Вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2012 год с вероятностью 95%.

Вариант	17
Год	Продажа книг, млн. шт
2006	352
2007	487
2008	436
2009	634
2010	659
2011	716

Решение. Любое изменение уровней ряда динамики определяется базисным (сравнение с первым уровнем) и цепным (сравнение с предыдущим уровнем) способами. Оно может быть абсолютным (разность уровней ряда) и относительным (соотношение уровней).

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда (1), а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда (2).

 (1)   (2)

По знаку абсолютного изменения  делается вывод о характере развития явления: при  > 0 — рост, при < 0 — спад, при = 0 — стабильность.

В нашей задаче эти изменения  определены в 3-м и 4-м столбцах таблицы 1. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =364 и =364

Базисное относительное  изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда (3), а цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда (4).

 (3)   (4)

Относительные изменения уровней  — это по существу индексы динамики, критериальным значением которых  служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее — спад, а при равенстве единице наблюдается стабильность явления.

В нашей задаче эти изменения  определены в 5-м и 6-м столбцах таблицы 1.

Вычитая единицу из относительных  изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном — спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления. В нашей задаче темпы изменения определены в 7-м и 9-м столбцах таблицы 1, а в 8-м и 10-м сделан вывод о характере развития изучаемого явления. Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому произведение цепных относительных изменений равняется последнему базисному. В нашей задаче это правило выполняется: =2,0322и =2,03.

Таблица 1

Вспомогательные расчеты для решения задачи.

 

Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда . Способ расчета зависит от того, моментный ряд или интервальный.

В нашей задаче ряд динамики интервальный, значит, применяем формулу средней  арифметической простой: = 3284 / 6 = 547,33 (млн. шт). То есть за период 2006-2011г. в среднем продажа книг  увеличилась на 547,33 млн. шт.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние  показатели – среднее изменение  уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее абсолютное изменение – это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (5). Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда – это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений (6).

^Б =  (5)  ^Ц =  (6)

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере  изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила  контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. В нашей задаче = 547,3 / (6-1) = 109,5.

Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле (7), а цепное среднее относительное изменение – по формуле (8):

^Б= =  (7)  ^Ц=  (8)

Естественно, базисное и цепное среднее  относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения  явления в среднем: рост, спад или  стабильность. В нашей задаче = = 1,09, то есть ежегодно  продажа книг  увеличивается в 1, 09 раза.

Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче = 1, 09 – 1 = 0, 09, то есть ежегодно продажа книг    растет на 9%. 

Проверка ряда динамики на наличие  в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами (метод средних, Фостера и Стюарта, Валлиса и Мура и пр.), но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т.п. В итоге приходим к трендовой модели вида: