Прогноз населения в РФ

 

Для линейного тренда    примет вид:

а₀ = 1574496,3 / 11 =143136,0

а₁ = -29590,5/ 110 = -269,0

Следовательно, уравнение  линейного тренда имеет вид:

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t= 0 равна 143136,0тыс.чел.., а среднегодовая убыль составляет 269тыс.чел.

Для расчета коэффициентов  параболического тренда также воспользуемся  выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середины ряда. Промежуточные вычисления представлены в табл. 9:

а₀ = 142356,3

а₁ = -269,0

а₂ = 77,97

Следовательно, уравнение  параболического тренда примет вид:

 

11. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Исчисление конечных разностей связано с изучением  свойств и применений разностей  между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных  с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей – самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве).

Под конечной разностью  первого порядка функции f (x) принято понимать величину

где d – некоторая постоянная, которую часто, но не всегда, принимают  равной 1. Разность второго порядка  обозначается D2f и представляет собой разность разностей, т.е.

Расчет конечных разностей  представлен в табл. 10.

 

 

 

 

 

Таблица 10

	исходные данные	Разности 1	Разности 2	Разности 3	Разности 4
1	145166,70	-	-	-	-
2	144963,60	-203,1	-	-	-
3	144168,20	-795,4	-592,3	-	-
4	143474,20	-694	101,4	693,7	-
5	142753,50	-720,7	-26,7	-128,1	-821,8
6	142221,00	-532,5	188,2	214,9	343
7	142008,80	-212,2	320,3	132,1	-82,8
8	141904,00	-104,8	107,4	-212,9	-345
9	141914,50	10,5	115,3	7,9	220,8
10	142865,40	950,9	940,4	825,1	817,2
11	143056,40	191	-759,9	-1700,3	-2525,4
сигма	-	21826,53	26309,12	54387,79	88234,85
дисперсия	-	250998,88	218799,70	521868,68	1027764,39
Lg (сигма)	-	4,34	4,42	4,74	4,95

 

Рис. Конечные разности

Наименьшее значение дисперсии у разностей 2-го порядка, значит наиболее целесообразно построение кривой роста 2-го порядка.

 

 

 

 

 

12. АНАЛИЗ СЕЗОННОЙ И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОМПОНЕТЫ МЕТОДОМ АКФ И ЧАКФ

Во временных рядах экономических процессов могут иметь место более или менее регулярные колебания. Если они строго периодический или близкий к нему характер и завершаются в течении одного года, то их называют сезонными колебаниями. Оценка сезонной компоненты осуществляется двумя способами: с помощью тригонометрических функций и методом сезонных индексов.

В тех случаях, когда  период колебаний составляет несколько  лет, то говорят, что во временном  ряде присутствует циклическая компонента или стационарный случайный процесс. Моделирование ССП осуществляется следующими методами: модель авторегрессии (АР), модель скользящего среднего (СС), модель авторегрессии скользящего среднего (АРСС) и модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС).

Проведем расчет случайной компоненты, используя метод скользящего среднего в табл.11.

Таблица 11

Расчет случайной компоненты

Период	исходные данные	Скользящая ср. 3х. ур. (m=3)	Скользящая ср. 2 (m=3)	Случайная составляющая e(i)
1	145166,70	144766,17	144144,49	1022,21
2	144963,60	144202,00	143494,51	1469,09
3	144168,20	143465,30	142869,77	1298,43
4	143474,20	142816,23	142396,20	1078,00
5	142753,50	142327,77	142104,93	648,57
6	142221,00	142044,60	142071,67	149,33
7	142008,80	141942,43	142260,83	-252,03
8	141904,00	142227,97	142420,03	-516,03
9	141914,50	142612,10	-	-
10	142865,40	-	-	-
12	143056,40	-	-	-

Построим интервальный ряд распределения случайной  компоненты, табл. 12.

 

Таблица 12

Ряд распределения случайной  компоненты

Распределение	Число групп	Частота
-1500-1000	0	0
-1000…-500	0	0
-500…0	2	0,25
0…500	1	0,125
500….1000	1	0,125
1000…1500	4	0,5
Итого	8	1

 

По результатам таблицы  построим график распределения.

Рис.6. Ряд распределения случайной компоненты

На графике видно, что  распределение отлично от нормального, следовательно существует тренд.

 

 

13. ПРОГНОЗ ТОЧЕЧНЫЙ И ИНТЕРВАЛЬНЫЙ. УРОВЕЬ ЗНАЧИМОСТИ

Уравнение линейного тренда имеет вид:

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t= 0 равна 407,02 тыс.чел.., а среднемесячный прирост составляет 0,25 тыс.чел.

Для прогнозирования  на базе полученной модели на одну точку  вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т.е. t= 6.

Определим прогнозное значение:

y_t = 143136,0 -269*6= 141522,0 тыс.чел.

Для определения прогнозного  значения параболического тренда надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра:

=143549,22 тыс.чел.

 

14. АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В настоящее время  одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов считаются адаптивные методы.

Термин адаптация происходит от лат. adaptatio - приспособление. В биологии это слово означает совокупность различных особенностей (морфологических, поведенческих и других) биологического вида, обеспечивающих приспособление к определенным условиям существования, к специфическим особенностям внешней среды. Адаптацией также называется и сам процесс выработки приспособлений. Применительно к прогнозированию процесс адаптации состоит в следующем.

При обработке временных  рядов, как правило, наиболее ценной бывает информация последнего периода, так как необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных.

Прогнозирование методом  экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением «свежих» фактических данных параметры кривых пересчитываются заново. Поступление новых данных может привести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, так как при этом уменьшается «весомость» каждой новой точки. В адап- тивных методах различную ценность уровней в зависимости от их «возраста» можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Оценивание коэффициентов  адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который  формально отличается от МНК, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных.

Важнейшее достоинство  адаптивных методов - построение самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге.

Параметры адаптивной модели можно рассчитать по следующим формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 13

Расчет  модели 2-й степени

t	Численность населения  г. Тверь	St(1)	St(2)	St(3)	a1(t)	a2(t)	a3(t)	Прогноз на 1 шаг	Разница	квадрат
1	145166,700	72583,350	36291,675	18145,838	127020,863	81656,269	18145,838	226822,969	-81656,27	6,668E+09
2	144963,600	108773,475	72532,575	45339,206	154061,906	58859,728	9047,531	221969,166	-77005,57	5,93E+09
3	144168,200	126470,838	99501,706	72420,456	153327,850	26688,834	-112,119	179904,566	-35736,37	1,277E+09
4	143474,200	134972,519	117237,113	94828,784	148035,003	6053,102	-4672,922	149415,183	-5940,98	35295277
5	142753,500	138863,009	128050,061	111439,423	143878,268	-3681,276	-5797,690	134399,302	8354,20	69792625
6	142221,000	140542,005	134296,033	122867,728	141605,643	-6709,861	-5182,333	129713,449	12507,55	156438831
7	142008,800	141275,402	137785,718	130326,723	140795,777	-6433,591	-3969,310	130392,876	11615,92	134929686
8	141904,000	141589,701	139687,709	135007,216	140713,191	-5044,262	-2778,502	132890,428	9013,57	81244485
9	141914,500	141752,101	140719,905	137863,560	140960,147	-3528,177	-1824,149	135607,822	6306,68	39774189
10	142865,400	142308,750	141514,328	139688,944	142072,212	-1782,980	-1030,961	139258,271	3607,13	13011376
11	143056,400	142682,575	142098,451	140893,698	142646,069	-967,451	-620,630	141057,988	1998,41	3993650

 

Рис. Прогнозирование по адаптивной модели

 

 

СПИСОК ЛИТРАТУРЫ

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для вузов / С.А. Айвазян, С.В. Мхитарян. – М.: Юнити, 1998. – 1022 с.

2. Дж. Бокс, Г. Дженкинс. Анализ временных рядов. Прогноз  и управление. – М.: «Мир», 1974. –  Вып. I. – 248 с.

3. Кэндел М. Временные  ряды. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 199 с.

4. Христиановский В.В.  Практикум по прогнозу и риску  / В.В. Христиановский, В.П. Щербина, М.И. Медведева и др. – Донецк, 1999. – 288 с.

5. Христиановский В.В. Экономико-математические методы и модели: теория и практика: учебно-методическое пособие / В.В. Христиановский, В.П. Щербина. – Донецк: ДонНУ, 2010. – 336 с.