Прогноз населения в РФ

 

1. СБОР ДАННЫХ

Рядом динамики (динамическим рядом, временным рядом) называется последовательность значений статистического  показателя (признака), упорядоченная в хронологическом порядке, т.е. в порядке возрастания временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда.

Каждый ряд динамики содержит два  элемента:

• значения времени;

• соответствующие им значения уровней  ряда.

В качестве показателя времени в  рядах динамики могут указываться  либо определенные моменты (даты) времени, либо отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, полугодия, годы и т.д.).

Построим динамический ряд населения Российской федерации, представленные в табл. 1 [данные с официального сайта федеральной 
службы государственной статистики: режим доступа http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat/rosstatsite/main/publishing/catalog/statisticCollections/.

Таблица 1

Динамика численности  населения РФ за 2002-2011 гг.

Дата	Численность населения, тыс.чел.
на 1.1.2002	145166,7
на 1.1.2003	144963,6
на 1.1.2004	144168,2
на 1.1.2005	143474,2
на 1.1.2006	142753,5
на 1.1.2007	142221,0
на 1.1.2008	142008,8
на 1.1.2009	141904,0
на 1.1.2010	141914,5
на 1.1.2011	142865,4
на 1.1.2012	143056,4

 

Как видим из таблицы, численность постоянного населения Российской Федерации на 1 января 2012 г. составляла 143,06 млн. человек.

  
2. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОГНОЗ ПО АБСОЛЮТНОМУ ПРИРОСТУ

 

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя (рис.1).

Рис. 1. Динамика численности населения РФ в 2002-2011гг., в тыс.чел.

Для прогнозирования  могут применяться различные  математические функции.

Самым простейшим способом прогнозирования является прогноз по среднему абсолютному приросту. Этот прогноз рассчитывается по следующей формуле:

 

P=P1+Δt,

 

где P1- это численность населения на 2012 год,

t- порядковый номер года, по которой делается прогноз,

Δ- абсолютный среднегодовой прирост.

А Δ можно вычислить следующем образом:

 

Δ= (Yn – Yi )/n – 1,

 

где Yn - численность населения 2011 года,

Yi - численность населения 2002 года,

 

Δ= (143056,4-145166,7) / (11-1)  = -211,03 тыс.чел.

 

Далее сделаем прогноз  на 2013 год формуле:

 

P=P1+Δt

 

P = 143056,4-211,03= 142845,37 тыс.чел.

 

Можно сделать вывод, что численность населения РФ снижается в среднем на 211,03 тыс. человек ежегодно, и на начало 2013г. составит 142845,37 тыс.чел.

Определяем тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Для этого рекомендуется использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели. Графически динамический ряд представлен на диаграмме 2.

Рис.2. Фактический и выровненный ряд 
3. АНАЛИЗ ОШИБОК ПРОГНОЗА, РАСЧЕТ И ГРАФИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ ОШИБОК

Рассчитываем ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.

Таблица 2

Расчёт ошибок

t	Численность населения, у	Модель, у t	у -  уt, et		(у -  уt)2=et2
1	145166,7	145650,2	-483,5	483,497	233769,35
2	144963,6	144679,0	284,6	284,612	81003,991
3	144168,2	143863,4	304,8	304,827	92919,5
4	143474,2	143203,4	270,8	270,848	73358,639
5	142753,5	142698,9	54,6	54,575	2978,4306
6	142221	142350,1	-129,1	129,092	16664,744
7	142008,8	142156,9	-148,1	148,053	21919,691
8	141904	142119,2	-215,2	215,208	46314,483
9	141914,5	142237,2	-322,7	322,657	104107,54
10	142865,4	142510,7	354,7	354,7	125812,09
11	143056,4	142939,8	116,6	116,563	13586,933
Итого:	1574496,3	1574408,7	-	2684,632	812435,39

 

Среднее абсолютное отклонение MAD = =2684,632/11=244,06

Среднеквадратическая  ошибка  MSE= =2,892/10=73857,8

Величина полученной ошибки позволяет  говорить, что построенная модель хорошо аппроксимирует фактические данные, т.е. она вполне отражает демографические тенденции, и является предпосылкой для построения прогнозов высокого качества.

 

4. АНАЛИЗ ТРЕНДА КРИТЕРИЕМ СЕРИЙ

 

По этому способу  каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа, с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей), должны выполняться следующие неравенства:

где п - длина временного ряда; v(п) – число серий; - число подряд идущих плюсов или минусов в самой длинной серии.

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки а, заключенной между 0,05 и 0,0975 (следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей).

Квадратные скобки в  правой части неравенства означают целую часть числа. Целая часть числа А, т.е. [А] – это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Рассмотрим теперь применение критерия «восходящих и нисходящих»  серий для проверки гипотезы о наличии тренда. Процесс формирования серий показан в табл. 3. Во второй строке этой таблицы в соответствии  указан «+», если последующее значение уровня временного ряда больше предыдущего, «-» - если меньше.

Таблица 3

Выявление тренда методом  критерий серий

i	Численность населения
на 1.1.2002	145166,7	-
на 1.1.2003	144963,6	-
на 1.1.2004	144168,2	-
на 1.1.2005	143474,2	-
на 1.1.2006	142753,5	-
на 1.1.2007	142221	-
на 1.1.2008	142008,8	-
на 1.1.2009	141904	-
на 1.1.2010	141914,5	+
на 1.1.2011	142865,4	+
на 1.1.2012	143056,4	+

Анализ полученной последовательности знаков позволил установить:

• число серий v(11) = 2

• протяженность самой  длинной серии Т_mах (10) = 8.

Табличное значение То(10) = 5. 

Делаем проверку. Для этого сначала определим значение для правой части первого неравенства:

4,63

Тогда проверка выполнения условий показывает, что оба неравенства выполняются. Следовательно, нулевая гипотеза принимается, поэтому тренд в динамике населения РФ отсутствует с доверительной вероятностью 0,95. Очевидно, что этот же вывод можно было получить, опираясь лишь на второе неравенство, не проводя вычислений.

 

 

5. АНАЛИЗ ТРЕНДА МЕТОДОМ ФОСТЕРА-СТЮАРТА

 

Второй метод проверки наличия тенденции называется методом  Фостера-Стюарта, который, помимо определения  наличия тенденции, позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.

Заполняется таблица 3.

1. mt=1, если настоящее  значение больше всех предыдущих;

2. lt=1, если настоящее  значение меньше всех предыдущих;

3. dt=mt-lt  (при значении t от 2 до n);

4. D=

Таблица 4

Дата	Курс Евро	вспомогательные характеристики
		mt	lt	dt
на 1.1.2002	145166,7
на 1.1.2003	144963,6	0	1	-1
на 1.1.2004	144168,2	0	1	-1
на 1.1.2005	143474,2	0	1	-1
на 1.1.2006	142753,5	0	1	-1
на 1.1.2007	142221	0	1	-1
на 1.1.2008	142008,8	0	1	-1
на 1.1.2009	141904	0	1	-1
на 1.1.2010	141914,5	1	0	1
на 1.1.2011	142865,4	1	0	1
на 1.1.2012	143056,4	1	0	1
D				-4

 

Вычислим среднюю квадратическую ошибка величины D:

 

 

Вычисляется t _набл.:

 

Выберем уровень значимости 0,05, n=11-1=10, tкр =2,2281

Tн<tкр – следовательно есть основания отвергнуть гипотезу об отсутствии тренда. С вероятностью 0,95 тренд не существует во временном ряду.

 

6. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДИНАМИКИ, АБСОЛЮТНЫЙ ПРИРОСТ, ТЕМП РОСТА И ТЕМП ПРИРОСТА ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ, ИХ ГРАФИКИ

 

Для изучения динамики социально-экономических  явлений в статистике исчисляются  особые показатели. К числу показателей  динамики относятся:

А) Абсолютный прирост (АП);

Б) Темп роста (ТР);

В) Темп прироста (ТП);

Г) Абсолютное значение одного процента прироста (А).

Расчет показателей  динамики представлен в следующей  таблице:                            Таблица 5

Формулы для расчета  показателей динамики

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост (Di баз; Di цеп)
Коэффициент роста (Кр)
Темп роста (Тр)
Коэффициент прироста (Кпр)	Кр- 1;	Кр- 1;
Темп прироста (Тпр)	;	;
Абсолютное значение одного процента прироста (А)		;

Система средних показателей  динамики включает:

• средний уровень ряда;
• средний абсолютный прирост;
• средний темп роста;
• средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги  развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной  последовательности. Найдем все показатели динамики в табл. 5.

 

Таблица 6

Расчет показателей  динамики

По состоянию на	Численность населения, тыс.чел..	Апр		Т. р.		Т.пр.		Абсолютное  значение  1% прироста
		Цеп	Баз	Цеп	Баз	Цеп	Баз
на 1.1.2002	145166,7
на 1.1.2003	144963,6	-203,1	-203,1	0,999	0,999	-0,001	-0,001	1451,667
на 1.1.2004	144168,2	-795,4	-998,5	0,995	0,993	-0,005	-0,007	1449,636
на 1.1.2005	143474,2	-694	-1692,5	0,995	0,988	-0,005	-0,012	1441,682
на 1.1.2006	142753,5	-720,7	-2413,2	0,995	0,983	-0,005	-0,017	1434,742
на 1.1.2007	142221	-532,5	-2945,7	0,996	0,980	-0,004	-0,020	1427,535
на 1.1.2008	142008,8	-212,2	-3157,9	0,999	0,978	-0,001	-0,022	1422,210
на 1.1.2009	141904	-104,8	-3262,7	0,999	0,978	-0,001	-0,022	1420,088
на 1.1.2010	141914,5	10,5	-3252,2	1,000	0,978	0,000	-0,022	1419,040
на 1.1.2011	142865,4	950,9	-2301,3	1,007	0,984	0,007	-0,016	1419,145
на 1.1.2012	143056,4	191	-2110,3	1,001	0,985	0,001	-0,015	1428,654
Итого:	1574496,3	-143056,4	-37,0603	0,000	0,000	-1,000	-1,000	1430,564