Предмет и метод статистики

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов).

.

Средний темп роста:

где – средний коэффициент роста, рассчитанный как . Здесь К_цеп – цепные коэффициенты роста;

Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии:

6.3. Изучение тенденции  развития

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих: 
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней); 
2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;  
3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа: 
1) ряд динамики проверяется на наличие тренда; 
2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании  полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

Недостаток методики сглаживания  скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.

3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;

e_t – случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение  аналитической или графической  зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая  зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные  зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.).

Оценка параметров (a₀, a₁, a₂, ...) осуществляется следующими методами: 
1) методом избранных точек, 
2) методом наименьших расстояний, 
3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который  обеспечивает наименьшую сумму квадратов  отклонений фактических уровней  от выравненных:

Для линейной зависимости (f(t)=a₀+a₁t) параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F_факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

где k – число параметров функции, описывающей тенденцию;  
n – число уровней ряда;

F_факт сравнивается с F_теор при v₁ = (k-1), v₂ = (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если F_факт > F_теор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

Выравнивание проведено  по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена  методом наименьших квадратов.

Таким образом, f(t) = у_t = 10,128-0,073t для t= -13, -11, -9, ..., +13, или f(t) = у_t = 11,077-0,1461 для t = 0, 1, ..., 13.

Параметры последнего уравнения  регрессии можно интерпретировать следующим образом: a₀ = 11,077 – это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а₁ = -0,146 – показатель силы связи, т.е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 ‰ ежегодно.

В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:

Год	Число зарегистри-  рованных браков, %	t	у×t	t2	f(t)
1977	11,2	-13	-145,6	169	11,077
1978	10,9	-11	-119,9	121	10,931
1979	10,7	-9	-96,3	81	10,785
1980	10,6	-7	-74,2	49	10,639
1981	10,6	-5	-53,2	25	10,493
1982	10,4	-3	-31,2	9	10,347
1983	10,4	-1	-10,4	1	10,202
1984	9,6	1	9,6	1	10,056
1985	9,7	3	29,1	9	9,910
1986	9,8	5	49,0	25	9,764
1987	9,9	7	69,3	49	9,618
1988	9,5	9	85,5	81	9,472
1989	9,4	11	103,4	121	9,326
1990	9,1	13	118,3	169	9,180
Итого	141,8	0	-66,4	910	141,800

Следующий шаг аналитического выравнивания – оценка надежности уравнения регрессии:

Таким образом, F_теор = 4,747; a = 0,05; v₁ (k-1) = 1; v₂ = (n-k) = 12 и F_теор = 9,330 при a = 0,01, v₁ = 1, v₂ = 12.

F_факт > F_теор, и уравнение прямой адекватно отражает сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию.

 
Глава 7. Индексы

7.1. Индивидуальные  индексы и их применение в  экономическом анализе

Индекс – это относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях. Различие условий может проявляться во времени (тогда говорят об индексах динамики), в пространстве (территориальные индексы), в выборе в качестве базы сравнения какого-либо условного уровня, например планового показателя, уровня договорных обязательств и т.п. Соответственно вводят индекс выполнения обязательств или, если плановый уровень сравнивается с уровнем предыдущего периода, – индекс планового задания.

В экономическом анализе  индексы используются не только для  сопоставления уровней изучаемого явления, но главным образом для  определения экономической значимости причин, объясняющих абсолютное различие сравниваемых уровней.

Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если исследователь не интересуется структурой изучаемого явления и количественную оценку уровня в данных условиях сравнивает с такой же конкретной величиной уровня этого явления в других условиях.

Так, уровень товарооборота  в виде суммы выручки от продажи  товара в условиях отчетного года Q₁ сравнивается с аналогичной суммой выручки базисного года Q₀. В итоге получаем индивидуальный индекс товарооборота

i_Q=Q₁ / Q₀.

Аналогичные индивидуальные индексы можно рассчитать и для  любого интересующего нас показателя. В частности, поскольку сумма  выручки определяется ценой товара (р) и количеством продаж в натуральном измерении (q), можно определить индивидуальные индексы цены i_p и количества проданных товаров – i_q :

С аналитической точки  зрения i_q показывает, во сколько раз увеличилась (или уменьшилась) общая сумма выручки под влиянием изменения объема продажи в натуральных единицах.

Аналогично i_p показывает, во сколько раз изменилась общая сумма выручки под влиянием изменения цены товара. Очевидно, что

Вторая формула представляет двухфакторную индексную мультипликативную  модель итогового показателя, в данном случае – объема товарооборота. Посредством  такой модели находят прирост  итога под влиянием каждого фактора  в отдельности.

Так, если выручка от продажи  некоторого товара возросла с 8 млн. руб. в предыдущем периоде до 12,180 млн. руб. в последующем и известно, что это объясняется увеличением  количества проданного товара на 5 % при  цене на 45 % большей, чем в предыдущем периоде, то можно записать следующее  соотношение:

12,180 = 8 × 1,05 × 1,45 (млн.  руб.).

Очевидно, что общий прирост  выручки в сумме 12,180-8 = 4,180 млн. руб. объясняется изменением объема продажи  и цены. Прирост выручки за счет изменения объема продажи (в натуральном  выражении) составит

или в нашем примере 

Тогда за счет изменения  цены данного товара сумма выручки  изменилась на

или

Очевидно, что общий прирост  товарооборота складывается из приростов, объясняемых каждым фактором в отдельности, т.е.

или

Можно заметить, что существует и другой способ распределения общего прироста по факторам в двухфакторной  индексной мультипликативной модели, а именно:

В нашем примере общий  прирост выручки (4,18 млн. руб.) объясняется  теперь:

изменением цены

изменением объема продажи

Выбор конкретной формы разложения общего прироста итога должен определяться конкретными условиями развития изучаемого показателя, в данном случае – конъюнктурой спроса-предложения. В экономической практике и большинстве  научных рекомендаций в настоящее  время преобладает первое направление, когда сначала выясняют вклад  в общий прирост количественного  фактора при базисном уровне качественного  признака (цен), а затем – вклад  качественного фактора (цены) в расчете  на отчетный уровень количественного  показателя (объема – q).

7.2. Общие индексы  и их применение в анализе

Если известно, что изучаемое  явление неоднородно и сравнение  уровней можно провести только после  приведения их к общей мере, экономический  анализ выполняют посредством так называемых общих индексов. Индекс становится общим, когда в расчетной формуле показывается неоднородность изучаемой совокупности. Примером неоднородной совокупности является общая масса проданных товаров всех или нескольких видов. Тогда сумму выручки можно записать в виде агрегата (суммы произведений взвешивающего показателя на объемный), например:

Отношение агрегатов, построенных  для разных условий, дает общий индекс показателя в агрегатной форме. Так, например, получают индекс общего объема товарооборота в агрегатной форме: