Предмет и метод статистики

Глава 5. Средние  величины. Показатели вариации

5.1. Понятие средней  величины

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Вычисление среднего –  один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в  то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении  и его развитии имеет место  сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности  взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых  общих принципах применения средних  величин. 
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. 
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц. 
3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии. 
4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

5.2. Виды средних  и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних  величин, особенности их исчисления и области применения. Средние  величины делятся на два больших  класса: степенные средние, структурные  средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных  средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака; 
m – показатель степени средней; 
n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид        

,

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;  
m – показатель степени средней; 
f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Приведем в качестве примера  расчет среднего возраста студентов  в группе из 20 человек:

№ п/п	Возраст   (лет)	№ п/п	Возраст   (лет)	№ п/п	Возраст   (лет)	№ п/п	Возраст   (лет)
1   2   3   4   5	18   18   19   20   19	6   7   8   9   10	20   19   19   19   20	11   12   13   14   15	22   19   19   20   20	16   17   18   19   20	21  19   19   19   19

Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

Возраст, Х лет	18	19	20	21	22	Всего
Число студентов	2	11	5	1	1	20

В результате группировки  получаем новый показатель – частоту, указывающую число студентов  в возрасте Х лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле  взвешенной средней:

Общие формулы расчета  степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних: 
средняя гармоническая, если m = -1; 
средняя геометрическая, если m –> 0; 
средняя арифметическая, если m = 1;  
средняя квадратическая, если m = 2; 
средняя кубическая, если m = 3.

Формулы степенных средних приведены в табл. 4.4.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех  же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует  правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Таблица 5.1

Виды степенных средних

Вид степенной   средней	Показатель   степени (m)	Формула расчета
		Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1
Геометрическая	0
Арифметическая	1
Квадратическая	2
Кубическая	3

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Главное требование к формуле  расчета среднего значения заключается  в том, чтобы все этапы расчета  имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения  связи индивидуальных и сводных  показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым [1] . Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.

Формула средней геометрической

используется чаще всего  при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам  динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем  предыдущего года: i₁, i₂, i₃,..., i_n. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q₀) и последующим наращиванием по годам:

q_n=q₀× i₁× i₂×...×i_n.

Приняв q_n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

Отсюда 

5.3. Структурные  средние

Особый вид средних  величин – структурные средние  – применяется для изучения внутреннего  строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней  величины (степенного типа), если по имеющимся  статистическим данным ее расчет не может  быть выполнен (например, если бы в рассмотренном  примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних  чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак  имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и  медианы не бывает. Если же данные о  значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько  усложняется. Поскольку медианное  значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

,

где X_Me – нижняя граница медианного интервала; 
h_Me – его величина; 
(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении); 
S_Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала; 
m_Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

В нашем примере могут  быть получены даже три медианных  значения – исходя из признаков  количества предприятий, объема продукции  и общей суммы затрат на производство:

Таким образом, у половины предприятий уровень себестоимость  единицы продукции превышает 125,19 тыс. руб., половина всего объема продукции  производится с уровнем затрат на изделие больше 124,79 тыс. руб. и 50 % общей  суммы затрат образуется при уровне себестоимости одного изделия выше 125,07 тыс. руб. Заметим также, что наблюдается  некоторая тенденция к росту  себестоимости, так как Ме₂ = 124,79 тыс. руб., а средний уровень равен 123,15 тыс. руб.

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы  интервалы были одинаковыми, поскольку  от этого зависит показатель повторяемости  значений признака X. Для интервального  ряда с равными интервалами величина моды определяется как

,

где Х_Mo – нижнее значение модального интервала; 
m_Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении); 
m_Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; 
m_Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;  
h – величина интервала изменения признака в группах.

Для нашего примера можно  рассчитать три модальных значения исходя из признаков числа предприятий, объема продукции и суммы затрат. Во всех трех случаях модальный интервал один и тот же, так как для  одного и того же интервала оказываются  наибольшими и число предприятий, и объем продукции, и общая  сумма затрат на производство:

Таким образом, чаще всего  встречаются предприятия с уровнем  себестоимости 126,75 тыс. руб., чаще всего  выпускается продукция с уровнем  затрат 126,69 тыс. руб., и чаще всего  затраты на производство объясняются  уровнем себестоимости в 123,73 тыс. руб.

5.4. Показатели  вариации

Конкретные условия, в  которых находится каждый из изучаемых  объектов, а также особенности  их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким  образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.