Построение и графическое изображение вариационных рядов

В процессе корреляционно-регрессионного анализа (КРА) решаются следующие задачи:

1). Определение формы  и направления связи, её количественное  выражение в виде уравнения регрессии;

2). Характеристика тесноты  связи;

3). Определение значимости, существенности выборочных характеристик тесноты корреляционной связи.

Параметры уравнения  регрессии находятся способом наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахождении параметров уравнения, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии, минимальна. Он даёт систему нормальных уравнений, решая которую определяют параметры уравнения регрессии.

Для уравнения парной линейной регрессии y_x=a₀+a₁x система нормальных уравнений следующая:

Для гиперболы:

Для параболы второго  порядка:

Параметры уравнения  множественной регрессии при  большом числе факторов рассчитываются на ЭВМ.

Для характеристики тесноты  парной корреляционной связи используются в основном два показателя: 
1. Линейный коэффициент корреляции и соответствующий ему коэффициент детерминации;

2. Корреляционное отношение  и соответствующий ему индекс детерминации.

Для измерения тесноты  парной линейной связи вычисляется  линейный коэффициент корреляции. Статистика разработала ряд формул линейного коэффициента корреляции:

, где

σ_x – среднее квадратическое отклонение по факторному признаку;

             , где

σ_y - среднее квадратическое отклонение по результативному признаку.

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до плюс единицы. Положительный коэффициент корреляции указывает на прямую корреляционную связь, отрицательный – на обратную. Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком коэффициента регрессии. Принята следующая условная градация коэффициента корреляции: r<0,3 – связь слабая, r=0,3-0.7 – связь средней силы, r>0,7 – связь тесная.

Квадрат коэффициента корреляции носит название коэффициента детерминации. Он показывает долю факторного признака в вариации результативного.

Коэффициент корреляции достаточно точно оценивает степень тесноты связи лишь при линейной форме зависимости. Для характеристики тесноты связи любой формы используется корреляционное отношение. Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

, где

δ^{2 –} факторная дисперсия – дисперсия теоретических значений результативного признака, т.е. рассчитанных по уравнению регрессии;

σ² – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака.

Указанные дисперсии  исчисляются по формулам:

, , где

у_х – теоретические значения результативного признака;

- среднее значение результативного  признака в совокупности;

у – фактические ( эмпирические) значения результативного признака.

При линейной связи корреляционное отношение и коэффициент корреляции равны.

Корреляционное отношение  может принимать значения от нуля до единицы. Чем ближе данный показатель к единице, тем теснее связь между  изучаемыми признаками.

Параметры уравнения  регрессии и коэффициент корреляции могут быть рассчитаны с помощью табличного процессора Excel. Для этого на лист Excel копируем исходные данные. В меню Сервис выберем опцию Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой мыши по этому пункту, откроем инструмент Регрессия. Щелкаем по кнопке ОК, на экране появляется диалоговое окно Регрессия. В поле Входной интервал У вводим значения результативного признака, в поле Входной интервал Х вводим значения факторных признаков. Отмечаем уровень вероятности 95%, выбираем Новый рабочий лист. Щелкаем по кнопке ОК. На рабочем листе появляются результаты вычисления параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и параметров распределения регрессии.

 

 

 

3.2. Оценка значимости уравнения регрессии и параметров тесноты связи

 

 

Для оценки существенности, значимости коэффициента корреляции используется t-критерий Стьюдента.

Находится средняя ошибка коэффициента корреляции по формуле:

.

На основе ошибки рассчитывается t – критерий:

.

Рассчитанное значение t – критерия сравнивают с табличным, найденным в таблице распределения Стьюдента при уровне значимости 0,05 или 0,01 и числе степеней свободы n-1. Если расчетное значение t – критерия больше табличного, то коэффициент корреляции признается значимым.

При криволинейной связи  для оценки значимости корреляционного  отношения и уравнения регрессии применяется F-критерий. Он вычисляется по формуле:

, или

, где

η – корреляционное отношение;

n - число наблюдений; 
        m – число параметров в уравнении регрессии.

Рассчитанное значение F сравнивается с табличным для принятого уровня значимости α (0,05 или 0,01) и чисел степеней свободы k₁=m-1 и k₂=n-m. Если расчетное значение F превышает табличное, связь признается существенной.

Значимость коэффициента регрессии устанавливается с помощью t-критерия Стьюдента, который вычисляется по формуле:

, где

  - дисперсия коэффициента регрессии.

Она вычисляется по формуле: = , где

k – число факторных признаков в уравнении регрессии.

Коэффициент регрессии  признается значимым, если t_ai>t_кр. t_кр отыскивается в таблице критических точек распределения Стьюдента при принятом уровне значимости и числа степеней свободы k=n-1.

 

 

 

3.3 Корреляционно-регрессионный  анализ в Excel

 

 

Проведём корреляционно-регрессионный  анализ взаимосвязи качества почв и  урожайности яровой пшеницы. Для этого открываем лист Excel, в ячейки A1:А30  вводим значения  факторного признака – качества почв, в В1:В30 значения результативного признака – урожайности яровой пшеницы. В меню сервис выберем опцию Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой мыши по этому пункту, откроем инструмент Регрессия. Щелкнем по кнопке ОК, на экране появляется диалоговое окно Регрессия. В поле Входной интервал У вводим значения результативного признака (выделяя ячейки В1:В30), в поле Входной интервал Х вводим значения факторного признака (выделяя ячейки A1:А30). Отмечаем уровень вероятности 95%, выбираем Новый рабочий лист. Щелкнем по кнопке ОК. На рабочем листе появляется таблица «ВЫВОД ИТОГОВ», в которой даны результаты вычисления параметров уравнения регрессии, коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и другие показатели, позволяющие определить значимость коэффициента корреляции и параметров уравнения регрессии.

В данной таблице «Множественный R» - это коэффициент корреляции, «R-квадрат» - коэффициент детерминации. «Коэффициенты: Y-пересечение» - свободный член уравнения регрессии   22,46636832; «Переменная Х1» - коэффициент регрессии 0,180707567. Здесь имеются так же значения F-критерия Фишера 0,603858471, t-критерий Стьюдента 2,51063231, «Стандартная ошибка 8,947418639», которые необходимы для оценки значимости коэффициента корреляции, параметров уравнения регрессии и всего уравнения.

На основе данных таблицы  построим уравнение регрессии:    у_х=22,47+0,181х. Коэффициент регрессии   а₁=0,181 означает, что удой от коровы увеличивается на 0,181 ц/га.

Коэффициент корреляции r=22,47<0,7, следовательно, связь между изучаемыми признаками в данной совокупности тесная. Коэффициент детерминации r²=0,27 показывает, что 27% вариации результативного признака вызвано действием факторного признака.

В таблице критических  точек распределения Фишера-Снедекора  найдём критическое значение F-критерия при уровне значимости 0,6 и числе степеней свободы k₁=m-1=1 и k₂=n-m=30-2=28, оно равно 4,21. Так как рассчитанное значение  критерия больше табличного (F=0,6<4.21), то уравнение регрессии признается незначимым.

Для оценки значимости коэффициента корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента:

T=r/µ=0,14/5,4=0,026

 

В таблице критичеких точек распределения Стьюдента  найдём критическое значение t-критерия при уровне значимости 0,06 и числе степеней свободы n-1=30-1=29, оно равно 2,0452. Так как расчётное значение больше табличного, то коэффициент корреляции является значимым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

1. Венецкий И.Г., Кильдишев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Статистика,  1975.
2. Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория  статистики. М.: Финансы и статистика, 1991.
3. Марк Джон, Крейг Стинсон. Эффективная работа с Microsoft Excel 2000. СПб.: Питер 2001.
4. Блаттнер Патрик. Использование Microsoft Excel 2002. М.: Издательский дом «Вильямс», 2002.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1.

Значение дифференциальной функции Лапласа

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	,3989	,3989	,3988	,3986	,3984	,3982	,3980	,3977	,3973
0,1	,3970	,3965	,3961	,3956	,3951	,3945	,3939	,3932	,3925	,3918
0,2	,3910	,3902	,3894	,3885	,3846	,3857	,3857	,3847	,3836	,3825
0,3	,3814	,3802	,3790	,3778	,3765	,3752	,3739	,3726	,3712	,3697
0,4	,3683	,3668	,3652	,3637	,3621	,3605	,3589	,3572	,3555	,3538
0,5	,3521	,3503	,3485	,3467	,3448	,3429	,3410	,3391	,3372	,3352
0,6	,3332	,3312	,3292	,3271	,3251	,3230	,3209	,3187	,3166	,3134
0,7	,3123	,3101	,3079	,3056	,3054	,3011	,2989	,2966	,2973	,2920
0,8	,2897	,2874	,2850	,2827	,2803	,2780	,2756	,2732	,2709	,2685
0,9	,2661	,2637	,2613	,2589	,2565	,2541	,2516	,2492	,2468	,2443
1,0	,2420	,2396	,2371	,2347	,2323	,2299	,2275	,2251	,2227	,2203
1,1	,2179	,2155	,2131	,2107	,2083	,2059	,2036	,2012	,1989	,1965
1,2	,1942	,1919	,1895	,1872	,1849	,1826	,1804	,1781	,1758	,1736
1,3	,1714	,1691	,1696	,1647	,1626	,1604	,1582	,1561	,1539	,1518
1,4	,1497	,1476	,1456	,1435	,1415	,1394	,1374	,1354	,1334	,1315
1,5	,1295	,1276	,1267	,1238	,1219	,1200	,1182	,1163	,1145	,1127
1,6	,1109	,1092	,7074	,1057	,1040	,1023	,1006	,0989	,0973	,0957
1,7	,0940	,0925	,0909	,0893	,0878	,0863	,0848	,0843	,0818	,0804
1,8	,0790	,0775	,0761	,0748	,0734	,0721	,0707	,0694	,0681	,0669
1,9	,0658	,0644	,0632	,0620	,0608	,0596	,0584	,0573	,0562	,0551
2,0	,0540	,0529	,0519	,0508	,0498	,0488	,0478	,0468	,0459	,0449
2,1	,0440	,0431	,0422	,0413	,0404	,0396	,0387	,0379	,0371	,0363
2,2	,0355	,0347	,0339	,0332	,0325	,0317	,0310	,0303	,0227	,0290
2,3	,0283	,0277	,0270	,0264	,0258	,0252	,0246	,0241	,0235	,0229
2,4	,0224	,0219	,0213	,0208	,0203	,0198	,0194	,0189	,0184	,0180
2,5	,0173	,0171	,0167	,0163	,0158	,0154	,0151	,0147	,0143	,0139
2,6	,0136	,0132	,0129	,0126	,0122	,,0119	,0116	,0113	,0110	,0107
2,7	,0104	,0101	,0098	,0096	,0093	,0091	,0088	,0086	,0084	,0081
2,8	,0079	,0077	,0075	,0073	,0071	,0069	,0067	,0065	,0063	,0061
2,9	,0060	,0058	,0056	,0055	,0053	,0051	,0050	,0048	,0047	,0046
3,0	,0044	,0043	,0042	,0040	,0039	,0038	,0037	,0036	,0035	,0034
3,1	,0033	,0032	,0031	,0030	,0029	,0028	,0027	,0026	,0025	,0025
3,2	,0024	,0023	,0022	,0022	,0021	,0020	,0020	,0019	,0018	,0018
3,3	,0017	,0017	,0016	,0016	,0015	,0015	,0014	,0014	,0013	,0013
3,4	,0012	,0012	,0012	,0011	,0011	,0010	,0010	,0010	,0009	,0009
3,5	,0009	,0008	,0008	,0008	,0008	,0007	,0007	,0007	,0007	,0006
3,6	,0006	,0006	,0006	,0005	,0005	,0005	,0005	,0005	,0005	,0004
3,7	,0004	,0004	,0004	,0004	,0004	,0004	,0003	,0003	,0003	,0003
3,8	,0003	,0003	,0003	,0003	,0003	,0002	,0002	,0002	,0002	,0002
3,9	,0002	,0002	,0002	,0002	,0002	,0002	,0002	,0002	,0001	,0001

 

 

 

 

 

Приложение 2.

Критические точки распределения x²

 

Уровень Значимости, α	Число степеней свободы, к
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0,01	6,6	9,2	11,3	13,3	15,1	16,8	18,5	20,1	21,7	23,2	24,7	26,2	27,7	29,1	30,6
0,05	3,8	6,0	7,8	9,9	11,1	12,6	14,1	15,5	16,9	18,3	19,7	21,0	22,4	23,7	25,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3.

Критические точки распределения Стьюдента

 

 

Число  степеней  свободы, к	Уровень значимости, α (двусторонняя критическая  область)		Число степеней  свободы к	Уровень значимости, α (двусторонняя критическая  область)
	0,05	0,01		0,05	0,01
1	12,7	63,7	18	2,10	2,88
2	4,30	9,92	19	2,09	2,86
3	3,18	5,84	20	2,09	2,85
4	2,78	4,60	21	2,08	2,83
5	2,57	4,03	22	2,07	2,82
6	2,45	3,71	23	2,07	2,81
7	2,36	3,50	24	2,06	2,80
8	2,31	3,36	25	2,06	2,79
9	2,26	3,25	26	2,06	2,78
10	2,23	3,17	27	2,05	2,77
11	2,20	3,11	28	2,05	2,76
12	2,18	3,05	29	2,05	2,76
13	2,16	3,01	30	2,04	2,75
14	2,14	2,98	40	2,02	2,70
15	2,13	2,95	60	2,00	2,66
16	2,12	2,92	120	1,98	2,62
17	2,11	2,90	-	1,96	2,58
				2,025	0,005
Уровень значимости α  (односторонняя критическая область)