Построение и графическое изображение вариационных рядов

Возможное расхождение  между выборочными и генеральными характеристиками составляет ошибку выборки.

 

Стандартная ошибка выборочной средней определяется по формуле:

Точечной оценкой генеральной  средней является выборочная средняя .

Для определения интервальной оценки необходимо найти доверительный интервал , , где

- предельная ошибка выборочной  средней;

- коэффициент доверия, который  определяют по таблице распределения Стьюдента по заданным    и   при малой выборке при n <= 30.

Для нахождения доверительного интервала в Excel выбираем Статистические функции – Доверит, ОК, в появившемся окне заполняем поля: Альфа- уровень значимости (α = 0,05 или 0,01 для социально-экономических явлений); Стандартное отклонение – среднее квадратическое отклонение; Размер – объём выборки (в нашей работе n=30). Нажимаем ОК, появляется значение функции. Так, для качества почв в поле Альфа ставим уровень значимости α = 0,05; в поле Стандартное отклонение –11,0, в поле Размер – объём выборки 30. При нажатии ОК видим значение 3,936. Это предельная ошибка выборки, с её помощью строим доверительный интервал для генеральной средней: 
                                                59,7-0,732<= <=59,7+0,732

58,968<=

<=60,432

Вывод: с вероятностью 0,95 мы можем утверждать, что генеральная средняя не выйдет за пределы от  58,968 баллов до 60,432 балла.

Аналогичные действия выполним для урожайности озимой пшеницы. В соответствующие поля введём уровень значимости, среднее квадратическое отклонение, объём выборки: 0,05;0,04; 30. Щёлкаем ОК и получаем 0,300. Строим доверительный интервал:

26,1-0,300<=

<=26,1+0,300

25,8<=

<=26,4

Вывод: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что генеральная средняя урожайности озимой пшеницы от 25,8ц/га до 26,4ц/га.

 

 

 

2.6. Проверка гипотезы о законе нормального распределения.

 

 

Для объективной оценки степени соответствия эмпирического  распределения теоретическому используется ряд особых показателей, называемых критериями согласия. На их базе проверяется гипотеза о законе нормального распределения. Это критерии Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Рассмотрим критерий Пирсона.

Критерий Пирсона  определяется по формуле:

, где         (1)

(хи-квадрат) – Критерий Пирсона;

n_i - эмпирические частоты;

n_t – теоретические частоты.

Теоретические частоты  вычисляются по формуле:

, где           (2)

– теоретические частоты;

- фактические частоты; - шаг (величина интервала);

- нормированные отклонения;

  - дифференциальная функция  Лапласа (значения даны в приложении 2).

Вычисления выполняются в следующей последовательности:

1). Определяются нормированные  отклонения:

                                     (3)

2). При рассчитанных  значениях t по таблице плотности нормального распределения (значений дифференциальной функции t)= t²/2) отыскиваются значения функции плотности стандартизованного нормального распределения.

3). Вычисляется выражение  .

4). По приведённой выше формуле (1) рассчитывается критерий Пирсона.

5). Подставляя в формулу  t) и , определяют теоретические частоты.

Рассчитанное значение сравнивается с табличным при  соответствующем числе степени  свободы и заданном уровне значимости. Если расчетное значение  χ² меньше табличного, то делается вывод о несущественности расхождений между эмпирическим и теоретическим распределении (т.е. нулевая гипотеза о том, что распределение подчиняется закону нормального распределения, принимается). В противном случае утверждается, что исследуемое эмпирическое распределение имеет отличный от теоретического закон распределения.

Возможен вариант проверки гипотезы соответствия эмпирического  распределения теоретическому с помощью таблиц определения вероятности  Р(χ²). В таблице распределения Пирсона по рассчитанной величине χ² и числу степеней свободы v=k-1 находим вероятность Р(χ²). При Р>0.5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределения близки. В остальных случаях делается вывод о несовпадении эмпирического и теоретического распределений.

 

 

 

2.7. Проверка гипотезы о законе нормального распределения  по критерию Пирсона с помощью табличного процессора Excel.

 

 

Вместо заполнения большого количества таблиц можно воспользоваться  статистическими функциями.

Проверку гипотезы о  законе нормального распределения  выполним на примере интервального  вариационного ряда, построенного в пункте 1.2, и статистических характеристик ряда из пункта 2.4 (Рис. 3).

Рис.3 Хи тест.

Расход кормов на 1 корову ,ц(х)	Фактические частоты, ni	Середины интервала
30,2-33	3	32
33-36	4	34
36-38	5	37
38-41	11	40
41-44	5	42
44-46	2	45
∑	30	х

 

 

 

 

Рис.3 Хи тест (продолжение).

t	φ(ui)		Теоретические частоты, nt
-3,66	0,1145	20,31	2,33
-3,54	0,2565	20,31	5,21
-3,35	0,3802	20,31	7,72
-3,16	0,3697	20,31	7,51
-3,03	0,2371	20,31	4,82
-2,84	0,1023	20,31	2,08
х	x	x	x

 

ХИ критическое	11,07
Значимость  ХИ	0,6892941	Нулевая  гипотеза принимается
Хи фактическое	3,0693545

 

1. Находим нормализованные значения признака. Вызываем список функций, выбираем функцию «Нормализация» (Standatrdize). В поле «Х» вводим название ячейки первого интервала, во втором поле среднее значение по выборке, в третьем поле стандартное отклонение выборки. Копируем данную формулу для остальных строк.
2. По таблице плотности распределения u) находим вероятность распределения этих значений и заполняем следующий столбец.
3. Следующий столбец заполняем рассчитанным выражением .
4. Находим теоретические частоты по формуле (2) и заполняем последний 8 столбец.
5. Далее, для вычисления критерия Пирсона, воспользуемся функцией «Хи2Тест». В поле «Фактический интервал» выделяем массив фактических частот, в поле «Ожидаемый интервал» вводим массив теоретических частот. В результате получаем значимость фактического критерия Пирсона. Чтобы получить фактическое значение критерия Пирсона, воспользуемся функцией «Хи2Обр». В поле «вероятность» вводим полученную значимость критерия (ячейка В11), а в поле «степени свободы» соответствующее число степеней свободы для данной группировки. В данном случае n-1=  (n – число групп).

 
       Полученную в пункте 5 фактическую значимость критерия Пирсона «р» сравниваем с установленным уровнем значимости «α». Если α_факт<α=0,05, то утверждаем, что эмпирическое распределение сходно с теоретическим и гипотеза отвергается. Далее если нужно, мы находим фактическое значение критерия по значимости «α» и числа степеней свободы.

В данном примере (Рис. 3) есть неточность, поэтому результаты оценки являются смещёнными. При теоретических частотах меньше 5, необходимо объединить соседние группы и провести тест заново. Пример представлен на рис. 4.

Рис.4 Хи тест: объединение  групп.

Расход кормов на 1 корову ,ц (х)	Фактические частоты, ni	Середины интервала
30,2-35	6	33
35-39	10	37
39-43	7	41
43-47	7	45
∑	30	х

 

t	φ(ui)			Теоретические частоты, nt
-3,58	0,1826	20,31		3,71
-3,33	0,3802	20,31		7,72
-3,08	0,3712	20,31		7,54
-2,82	0,1647	20,31		3,35
ХИ критическое			7,81
Значимость  ХИ			0,3453229		Нулевая  гипотеза принимается
Хи фактическое			2,126551

 

Данный пример соответствует  методике проверки гипотезы о законе нормального распределения по критерию Пирсона.

 

 

 

3. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

3.1. Определение параметров уравнения регрессии и показателей и тесноты корреляционной связи.

 

 

Социально-экономические  явления находятся между собой  в сложной взаимосвязи, зависимости. По характеру зависимости статистика различает два вида связей:

1). Функциональную;

2). Корреляционную.

Корреляционная связь  характеризуется тем, что между  изменением независимой переменной (факторного признака) и зависимой переменной нет полного соответствия: каждому значению факторного признака может соответствовать распределение значений результативного.

Корреляционная связь  проявляется лишь в массе случаев – в совокупности достаточно большого объёма. При этом изменение независимой величины ведёт к изменению среднего значения зависимой переменной.

По направлению различают  прямые и обратные связи. При прямой связи с увеличением факторного признака увеличивается результативный. При обратной связи с ростом факторного признака значения результативного уменьшаются.

По аналитическому выражению  связи днлятся на прямолинейные (линейные) и криволинейные (нелинейные). Линейная связь выражается линейной функцией (уравнением прямой), нелинейная – криволинейной в виде параболы, гиперболы, показательной кривой и т.д.

Функция, отображающая корреляционную связь между признаками, называется уравнением регрессии. Уравнение регрессии выражается функцией у=f(x₁,x₂,…,x_n).

Уравнения регрессии  могут иметь следующую форму.

Уравнение прямой:

y_x=a₀+a₁x

Уравнение гиперболы:

y_x=a₀+a₁*1/х

Уравнение параболы второго порядка:

y_x=a₀+a₁x+а₂х²

Степенное уравнение:

y_x=a₀х^а₁

Показательное уравнение:

y_x= a₀+ a₁^х

Многофакторная корреляционная связь чаще всего описывается линейным уравнением множественной регрессии:

y_x=a₀+a₁x+а₂х+…+а_кх_к

Параметр а₁ в уравнении прямой называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько в среднем изменяется величина результативного признака при изменении факторного на единицу. При прямой корреляционной связи коэффициент регрессии имеет положительный знак, при обратной - отрицательный.

Количественная характеристика корреляционной связи даётся с помощью ряда статистических показателей – коэффициентов корреляции, регрессии и т.д.

Наиболее распространенным и совершенным методом изучения корреляционных связей является корреляционно-регрессионный анализ.