Понятие вариации признака и ее значение

; ;

;

;

.

 

 

Анализ таблицы(Приложение 1) позволяет сделать следующие  выводы:

• начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую ;
• центральный момент первого порядка (нулевое свойство средней арифметической) всегда равен нулю;
• центральный момент второго порядка – дисперсия ;
• центральный момент третьего порядка используется при определении показателя асимметрии, для характеристики асимметричного распределения, для симметричных рядов всегда ;
• центральный момент четвертого порядка используется при определении показателя эксцесса.

Рассмотрим подробно условные моменты m, с помощью которых упрощаются вычисления основных характеристик.

При к = 0 получаем начальный момент относительно х₀ нулевого порядка:

При к = 1 получаем момент первого порядка:

 и т.д.

Из последней  формулы следует, что =m₁ + x₀, т.е. средняя арифметическая равна условному моменту первого порядка m₁ плюс начало отчета.

Если отклонения ( x_i – x₀ ) разделить на общий множитель с , а затем умножить полученный момент на этот множитель в соответствующей степени, то получим следующее равенство:

.

Значит, .

Следует отметить, что  вычисление средней методом отсчета  от условного нуля называют методом моментов.

На практике начальные моменты относительно общего множителя с определяются следующим образом.

1. Вычитают начало отсчета из всех вариантов и находят отклонения .
2. Делят отклонение на общий множитель
3. Вычисляют начальные моменты .
4. Умножают найденные начальные моменты на общий множитель с.

Таким образом, в результате получают искомые начальные моменты относительно x₀.

Показатели  асимметрии и эксцесса.

Асимметрия и эксцесс  являются важнейшими характеристиками формы распределения.

Для сравнительного анализа  степени асимметрии нескольких распределений  рассчитывается коэффициент асимметрии Пирсона:

.

Если значение А_s<0, то асимметрия является левосторонней. При А_s=0 распределение является симметричным( ). Если А_s>0, то наблюдается правосторонняя асимметрия. При этом для правосторонней асимметрии выполняется неравенство , а для левосторонней - .

Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше степень  асимметрии. Принято считать, что  если |А_s| < 0,25, то асимметрия незначительна. Если |А_s| > 0,25, то асимметрия значительная.

Для выявления асимметрии используют несколько показателей. Наиболее надежным считается нормированный коэффициент асимметрии третьего порядка, основанный на вычислении центрального момента третьего порядка:

,

где - центральный момент третьего порядка.

Он не зависит от масштаба, выбранного при измерении варианта, т.к. является отвлеченной величиной.

Для того чтобы можно  было сравнивать асимметричность в  разных рядах, сопоставляют со средним квадратическим отклонением в кубе.

На направление асимметрии указывает знак коэффициента:

• А_s < 0 – в ряду распределения преобладают варианты, которые меньше, чем средняя, т.е. ряд отрицательно асимметричен(левосторонняя скошенность);
• А_s > 0 – для ряда распределения характерна положительная асимметрия (правосторонняя скошенность);
• А_s = 0 – семметричное распределение, т.к. варианты равноудолены от и имеют одинаковую частоту, поэтому .

Оценка степени существенности асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки , которая зависит от объема наблюдения n и рассчитывается по форумуле:

.

Если  , то асимметрия существенна и распределение признака в совокупности не является симметричным. Если , то асимметрия несущественна и ее наличие объясняется влиянием случайных факторов.

Эксцесс - это остро- или плосковершинность распределения вариации по сравнению с симметричным распределением.

Другими словами, эксцесс  представляет собой отклонение вершины  эмпирического распределения вниз или вверх от вершины кривой симметрического  распределения. При этом эксцесс  определяется только для симметричных и умеренно асимметричных распределений.

Показатель эксцесса основан на использовании центрального момента четвертого порядка и  рассчитывается по формуле:

,

где  - центральный момент четвертого порядка.

Знак коэффициента определяет вид распределения:

• E_x < 0 – плосковершинное распределение;
• E_x > 0 – островершинное распределение;
• E_x = 0 – симметричное распределение.

Средняя квадратическая ошибка эксцесса зависит от числа  наблюдений n и рассчитывается по формуле:

.

Если отношение принимает значение , то отклонение от симметричного распределения считается значительным. Это свидетельствует о существенном характере эксцесса.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о  том, можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу нормального распределения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Расчёт статистических показателей в туризме (вариант №13)

 

Задание 1

Объем реализации туров (млн. руб.)  100  туристских предприятий  региона:

 

5,90	11,60	9,20	4,10	3,30	2,30	3,90	9,20	0,87	9,20
5,90	5,90	3,90	7,90	6,20	5,90	3,20	8,10	0,84	11,60
5,90	9,20	3,90	1,20	2,30	7,90	1,20	3,90	7,90	3,90
8,10	5,90	6,20	7,90	3,90	4,10	4,10	1,20	3,90	10,60
3,90	5,90	0,30	4,10	0,30	5,00	4,80	5,20	5,90	10,60
4,10	5,90	2,90	4,90	1,20	5,90	3,40	4,80	6,40	4,10
4,10	4,10	3,80	2,80	3,90	4,30	5,30	3,90	5,10	6,40
4,10	5,90	4,30	7,80	7,90	10,60	4,70	4,80	10,60	3,90
6,10	5,90	4,80	3,90	4,10	10,60	9,20	4,90	6,30	4,10
11,60	2,30	4,10	7,90	2,70	2,30	4,10	1,20	9,20	1,80

 

Требуется:

1. построить интервальный вариационный ряд распределения предприятий по объему реализации;
2. дать графическое изображение ряда (гистограмма, кумулята, огива);
3. рассчитать:

3.1 среднюю арифметическую ;

3.2. моду и медиану распределения;

3.3. коэффициент асимметрии . Определить вид асимметрии;

4. рассчитать показатели вариации:

4.1. размах ;

4.2. среднее линейное отклонение ;

4.3. дисперсия ;

4.4. среднее квадратическое отклонение ;

4.5. коэффициент осцилляции ;

4.6. относительное линейное отклонение ;

 4.7. коэффициент вариации ;

Сделать вывод об однородности совокупности.

Решение:

1. Построим интервальный  вариационный ряд распределения  предприятий по объему реализации.

1.1 Определим  оптимальное количество групп  (n) с равными интервалами по формуле Стерджесса:

n = 1 + 3,322*lgN => n = 1+3,322*lg100 = 1+3,322 * 2 = 7,644

где N – объём совокупности.

1.2 Определим  величину интервала h по формуле:

где X_max ; X_min –соответственно максимальное и минимальное значения признака в совокупности.

По условию X_max=11,60 а X_min =0,3 значит:

h =

        

1.3 Определим  границы интервалов (a_i; b_i), где a_i = X_min; b_i = a_i + h

a1 = 0,3	b1 = 0,3 + 1,5 = 1,8	[0,3; 1,8)
	b2 = 1,8 + 1,5 = 3,3	[1,8; 3,3)
	b3 = 3,3 + 1,5 = 4,8	[3,3; 4,8)
	b4 = 4,8 + 1,5 = 6,3	[4,8; 6,3)
	b5 = 6,3 + 1,5 = 7,8	[6,3; 7,8)
	b6 = 7,8 + 1,5 = 9,3	[7,8; 9,3)
	b7 = 9,3 + 1,5 = 10,8	[9,3; 10,8)
	b8 = 10,8 + 1,5 = 12,3	[10,8; 12,3)

 

1.4 Подсчитываем  число единиц в данных интервалах f_i: подсчёт ведётся в соответствии с принципом – левая граница а_i по принципу «включительно», а правая b_i по принципу «исключительно» a_i <b_i

f₁ = 9;  f₂ = 9;  f₃ = 31;  f₄ =25;  f₅ = 3; f₆ =15; f₇ = 5; f₈ = 3

1.5 Построим интервальный вариационный ряд:

Объем реализации туров, млн. руб., xi		Количество  предприятий, ед.  fi	Накопленная частота, Fi
0,3-1,8		9	9
1,8-3,3		9	18
3,3-4,8		31	49
4,8-6,3		25	74
6,3-7,8		3	77
7,8-9,3		15	92
9,3-10,8		5	97
10,8-12,3		3	100
	100		__

 

2. Дадим графическое  изображение ряда.

• Гистограмма

 

• Кумулята 

 

 

 

• Огива

3.Рассчитаем:  

3.1 среднюю арифметическую  :     

  Для начала найдём середины интервалов :

 

 

Объём реализации, млн.руб. xi	Кол-во предприя-тий, ед.  fi	Середина интервала,
0,3-1,8 1,8-3,3 3,3-4,8 4,8-6,3 6,3-7,8 7,8-9,3 9,3-10,8 10,8-12,3	9 9 31 25 3 15 5 3	1,05 2,55 4,05 5,55 7,05 8,55 10,05 11,55	9,45 22,95 125,55 138,75 21,15 128,25 50,25 34,65	4,26 2,76 1,26 0,24 1,74 3,24 4,74 6,24	38,34 24,84 39,06 6 5,22 48,6 23,7 18,72	18,15 7,62 1,59 0,06 3,03 10,5 22,47 38,94	163,35 68,58 49,29 1,5 9,09 157,5 112,35 116,82
	100	___	531	___	204,48	___	678,48