Понятие вариации признака и ее значение

 

Российская  международная академия туризма 

Факультет менеджмента  и экономики туристского бизнеса

Кафедра экономики  и финансов

КУРСОВОЙ  ПРОЕКТ

по  дисциплине «Статистика»

 

на  тему: «Понятие вариации признака и ее значение»

 

 

Выполнил студент:

3 курса группы В-33

Очно-заочной формы обучения

Тихонов Роман  Михайлович

Проверил: Шариков В.И.

Оценка  

Подпись 

Дата  

 

 

 

 

 

 

Химки

 2011

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………..3

 

Глава 1. Показатели вариации……………………………………………...5

1.1. Понятие «вариация» ………………………………………………………5

1.2. Показатели вариации ……………………………………………………...6

1.3. Правило сложения дисперсий…………………………………………….13

1.4. Показатели структуры распределения…………………………………...15

1.5. Показатели формы распределения……………………………………….17

 

Глава 2. Расчет статистических показателей в туризме (Вариант № 13)

2.1. Задание №1  ………………………………………………………………..25

2.2. Задание №2 ……………………………………………………………..…35

 

Заключение……………………………………………………………………38

Список литературы и источников………………………………………....40

Приложения…………………………………………………………………...41

 

Введение

При изучении явлений  и процессов общественной жизни  статистика встречается с разнообразной  вариацией (изменчивостью) признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности. Поэтому для того чтобы судить о типичности средней, ее следует дополнить показателями, характеризующими вариацию величины изучаемого признака.

Например, работники фирмы  различаются по доходам, затратам времени  на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д. Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Термин вариация происходит от лат. слова variation – изменение, колеблемость, различие. Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты усредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных  единиц совокупности различаются между  собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Цель проекта: Изучить показатели вариации, их сущность и порядок расчёта.

Задачи проекта:

- Разобрать понятие вариации;

- Рассмотреть абсолютные и относительные показатели вариации,

- Изучить правило сложений дисперсии; 

- Рассмотреть показатели структуры распределения;

- Исследовать показатели формы распределения.

 

 

 

Глава 1. Показатели вариации

 

1.1 Понятие  «вариация»

 

Статистическая  совокупность содержит однокачественные и в то же время варьирующие единицы в пределах изучаемой закономерности. Поэтому для того чтобы судить о типичности средней, ее следует дополнить показателями, характеризирующими величины изучаемого признака.

В этой связи обязательным этапом в изучении вариационных рядов является расчет показателей размера и интенсивности вариации. Термин вариация происходит от лат. слова variation – изменение, колеблемость, различие. Различают случайную и систематическую вариацию.

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности единиц, типический уровень признака, которым обладают все единицы. При этом два ряда распределения, имеющие одинаковую среднюю арифметическую величину , могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого признака (рис. 1).

Таким образом, в ряде распределения, построенные по одному и тому же признаку, могут иметь  разную степень вариации этого признака при одной и той же величине его среднего уровня. Средняя величина не показывает структуру совокупности.        

 

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, т.к. помогает изучить сущность явления. Измерение вариации, выяснение причин, выявление влияния отдельных  факторов дают важную информацию для принятия управленческих решений.

 

1.2 Показатели  вариации

Для измерения  вариации признака используются абсолютные и относительные показатели вариации. Показатели вариации рассчитываются для статистических совокупностей, упорядоченных путем группировок, классификаций, построения рядов распределения.

Расчет показателей  вариации позволяет:

1. дать характеристику отклонения отдельных значений признака от общей средней;
2. оценить однородность статистической совокупности.

Для характеристики размера вариации в статистике применяются абсолютные показатели вариации:

• размах вариации  R;
• среднее линейное отклонение ;
• дисперсия ;
• средне квадратическое отклонение .

 

Размах вариации R (размах колебаний) - представляет собой разность между максимальным  х_max и минимальным х_min значениями признака:

Размах вариации зависит  от величины только крайних значений признака и не отражает его колеблемость внутри совокупности.

Для группировок с открытыми интервалами (первым и последним), когда неизвестны реальные минимальные и максимальные значения признака, расчет размаха вариации некорректен, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями. В частности, на практике он применяется для контроля за качеством продукции. 

Более точно характеризуют  вариацию признака показатели, основанные на учете колеблемости всех значений признака. Среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение показывают, насколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего значения. Эти показатели имеют те же единицы измерения, что и варианты признака, и его средняя величина. Порядок расчёта показателей различен для сгруппированных и несгруппированных данных.

Среднее линейное отклонение - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов х_i признака от средней арифметической .

Расчет этого показателя производят по следующим формулам:

• для несгруппированных данных (простое):

,

где х_i – индивидуальные значения признака у единицы совокупности;

      - средняя величина признака в совокупности;

      n – число единиц совокупности;

• для сгруппированных данных (взвешенное):

.

Простое среднее линейное отклонение вычисляется в случае, когда каждый вариант повторяется  один раз, а расчет взвешенного среднего линейного отклонения производится на основе вариационного ряда с неравными частотами.

В расчетах по указанным формулам отклонения представлены без учета знака. Это объясняется  тем, что по свойству средней арифметической сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю. Поэтому сфера применения среднего линейного отклонения как меры вариации признака ограничена, за исключением тех случаев, когда суммирование  показателей без учета знаков имеет экономический смысл. В связи с этим более широкое распространение в качестве показателей степени вариации получило среднее квадратическое отклонение .

Дисперсия - это средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. В зависимости от исходных данных дисперсию можно вычислять по средней арифметической простой или взвешенной по следующим формулам:

• для несгруппированных данных(простая):

  ;

• для сгруппированных данных (взвешеная):

.

Свойства  дисперсии.

Дисперсия обладает рядом  свойств, которые позволяют упростить  ее вычисления:

1)дисперсия постоянной  величины равна нулю;

2)дисперсия не изменится (это означает, что дисперсия не зависит от начала отсчета), если все варианты значений признака уменьшить на одно и тоже число С.

3)дисперсия   уменьшится (увеличится) в к² раз (это означает, что величина дисперсии зависит от масштаба измерения исследуемого признака), если все варианты значений признака уменьшить (увеличить) в к раз;

4)дисперсия  алгебраической суммы независимых  случайных величин равна сумме  их дисперсий:

;

5) минимальность дисперсии: , т.е. для любого постоянного числа, не равного средней арифметической, справедливо равенство

.

Дисперсия не дает представления об однородности совокупности, по ней  трудно сделать экономическую интерпретацию, так как она рассчитывается в  квадратных единицах. Эту проблему можно решить, рассчитав среднее квадратическое отклонение.

В процессе расчетов следует помнить, что размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются именованными величинами, т.е. имеют туже единицу измерения, что и изучаемый признак. Дисперсия единицы измерения не имеет.

Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации и представляет собой корень квадратный из дисперсии:

.

Смысловое содержание этого  показателя такое же, как и среднего линейного отклонения: чем меньше его величина, тем однороднее совокупность и соответственно типичнее средняя  величина.

 

 

 

 

Среднее квадратическое отклонение рассчитывают по следующим  формулам:

• для несгруппированных данных(простая):

  ;

• для сгруппированных данных (взвешеная):

.

Величина  часто используется в качестве единицы измерения отклонений от средней арифметической. Отклонение, выраженное называется нормированным (стандартизированным).

Величина среднего квадратического отклонения всегда превышает значение среднего линейного отклонения в соответствии со свойством мажорантности средних.

В симметричных распределениях среднее квадратическое отклонение составляет приблизительно 1,25 среднего линейного отклонения, т.е. , или .

Это соотношение зависит  от наличия в совокупности резких отклонений и может служить индикатором  «засоренности» совокупности нетипичными, выделяющимися из основной массы, единицами.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются наиболее широко применяемыми показателями вариации, т.к. они входят в большинство теорем теории вероятностей, служащих фундаментом математической статистики. Дисперсия также может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов на вариацию признака. Далее будет показано, как используются дисперсия для построения показателей тесноты корреляционной связи, при оценке результатов выборочных наблюдений и т.д.

Для того чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений, вместо размаха вариации применяется квартильное отклонение d_k, равное

,