Показатели вариации

     Среднее линейное отклонение по сгруппированному признаку:

          (5)

     где   - среднее линейное отклонение;

       - центральный вариант i-го интервала;

       - средняя арифметическая взвешенная;

       - частота i-й группы.

     Первая  формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах  с неравными частотами. Необходимость  использования в формулах среднего линейного отклонения модулей отклонений вариантов от средней вызвана  тем, что алгебраическая сумма этих отклонений равна нулю по свойствам  средней арифметической. Среднее  линейное отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.

      Среднее линейное отклонение даёт обобщённую характеристику степени колеблемости признака в совокупности относительно среднего уровня признака и рассчитывается  как средняя арифметическая из индивидуальных линейных отклонений.

      Показатель  среднего линейного отклонения нашел  широкое применение на практике. С  его помощью анализируют состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов; разрабатывают системы материального  стимулирования. Но этот показатель усложняет  расчёты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики.

     При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают  определенные неудобства, связанные  с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и  с отрицательными величинами, что  побудило искать другие способы оценки вариации, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Таким  способом стало возведение всех отклонений во вторую степень. Обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений, получили очень  широкое распространение. К таким  показателям относятся среднее квадратическое отклонение  и среднее квадратическое отклонение в квадрате , которое называют дисперсией.

     Среднее квадратическое отклонение по несгруппированному признаку:

        (6)

     где   - среднее квадратическое отклонение;

       - варианты совокупности;

       - средняя арифметическая простая;

       - численность совокупности.

     Среднее квадратическое отклонение по сгруппированному признаку:

         (7)

     где   - среднее квадратическое отклонение;

       - центральный вариант i-го интервала;

       - средняя арифметическая взвешенная;

       - частота i-й группы.

     Расчет  дисперсии можно упростить. Для  этого используется способ отсчета  от условного нуля (способ моментов), если имеют место равные интервалы в вариационном ряду.

      В статистическом исследовании очень  часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам  совокупности, а также и между  группами. Следовательно, помимо общей  средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние  величины по отдельным группам.

Различают три вида дисперсий:

- общая;

- средняя внутригрупповая;

- межгрупповая.

     Квадрат среднего квадратического отклонения дает величину дисперсии. Общую дисперсию, характеризующую вариацию признака под влиянием всех факторов, можно получить на основе ее составляющих - межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

     Общая дисперсия рассчитывается по формуле

          (18)

     Межгрупповая  дисперсия отражает систематическую  вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают  под влиянием фактора, положенного  а основу группировки и рассчитывается по формуле:

          (19)

     где   - межгрупповая дисперсия;

       - средняя арифметическая в i-й группе;

       - простая средняя арифметическая;

       - частота i-й группы.

     Внутригрупповая дисперсия:

          (20)

     где   - внутригрупповая дисперсия;

       - индивидуальное значение единицы  совокупности из 1-й группы;

       - простая средняя арифметическая  i-й группы;

       - частота i-й группы.

     Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия  равна сумме средней из внутригрупповых  дисперсий и межгрупповой, т.е.

         (20)

     где   - общая дисперсия;

       - межгрупповая дисперсия;

       - средняя из внутригрупповых  дисперсия.

     Данное  соотношение отражает закон, который  называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

     Правило сложения дисперсий широко применяется  при исчислении показателей тесноты  связи, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки  и в ряде других случаев. 

1.2 Относительные   показатели вариации 

     Кроме показателей вариации, выраженных в  абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации, выраженные в относительных  величинах, особенно для целей сравнения  колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

     Данные  показатели рассчитываются как отношение  размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

     Коэффициент осцилляции показывает соотношение  размаха вариации и средней арифметической и рассчитывается по формуле:

         (15)

     где   - коэффициент осцилляции;

       - размах вариации;

       - простая средняя арифметическая.

     Относительное линейное отклонение показывает отношение  среднего линейного отклонения к  средней арифметической:

         (16)

     где   - относительное линейное отклонение;

       - среднее линейное отклонение;

       - простая средняя арифметическая.

     Коэффициент вариации, показывает соотношение среднего квадратического отклонения и средней арифметической:

         (17)

     где V - коэффициент вариации; 

       - среднее квадратическое отклонение; 

       - средняя арифметическая.

     Из  приведенных формул видно, что чем  больше коэффициент V приближен к  нулю, тем меньше вариация значений признака.

     В статистической практике наиболее часто  применяется коэффициент вариации. Он используется не только для сравнительной  оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). 
 
 
 

 

2 Примеры расчётов показателей вариации 

2.1 Расчет числа групп по формуле Стерждесса и длины интервала 

Вес студента, кг 48 50 53 55 56 59 62 64 68 70 72 77 85 88 Итого Кол-во студентов, чел. 1 3 2 1 1 2 3 2 2 3 5 2 2 1 30

 

 формуле  Стерждесса (1) определим число групп: k = 1 + 3,322lg30 = 1+ 3,322*1,477 = 5,907. Так как число групп не может быть дробным, то необходимо округлить до ближайшего целого числа полученное значение 5,907. Таким образом получим k = 6.

Рассчитаем  длину (размах) интервала(2): h = (88 – 48)/6 = 40/6 = 6,667 (кг).

      Теперь  построим интервальный ряд студентов  по весу с 6 группами с интервалом 6,667 кг.

i 1 2 3 4 5 6 Итого Вес, кг 48 - 54,667 54,667 - 61,333 61,333 - 68 68 - 74,667 74,667 - 81,333 81,333 - 88 - Число студентов, чел. 6 4 7 8 2 3 30

интервальный ряд распределения студентов графически с помощью гистограммы

2.2 Расчет абсолютных показателей вариации 

      Например: По имеющимся данным о дневной выработке рабочих двух бригад определить среднюю выработку рабочего за день в каждой бригаде, сделать вывод об однородности рассматриваемых совокупностей и надёжности их средних.

Выработка в первой бригаде: 31, 25, 30, 26, 28 деталей.

Выработка во второй бригаде: 27, 20, 56, 19, 18 деталей.

Решение:

      Исходные  данные не сгруппированы, поэтому для  расчёта средней выработки применяем  среднюю арифметическую простую. Средняя  дневная выработка рабочего:

в первой бригаде 

во второй бригаде   

      Среднедневная выработка рабочего в обеих бригадах одинакова, но  индивидуальные значения выработки во второй бригаде подвержены значительным колебаниям. Это вызывает необходимость измерять вариацию.

      В данном примере размах вариации индивидуальной выработки определяется:

в первой бригаде R₁ =31-25=6 деталей

во второй бригаде R₂ =56-18=38 деталей