Основные проблемы теории средних величин

 

 

 

Средняя геометрическая.

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

 

 

Средняя квадратическая.

Для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения используется средняя квадратическая. Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

 

Средняя кубическая.

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число.

 

 

Порядок выбора вида средней величины качественного признака.

Выбор средней величины необходимо начинать с построения логической формулы исходя из качественного содержания осредняемого признака.

• Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.
• В случае, если в задаче известны численные значения числителя логической формулы , а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, мы используем среднюю гармоническую.
• Если в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется по этой формуле.

Логическая формула вытекает из сущности средней, её социально-экономического содержания. До расчетов средней величины мы должны выяснить соотношением каких показателей является средняя. Это соотношение нужно записать словами в виде формулы, которую и называют логической формулой средней.

 

Формулы расчета различных видов средних величин.

                                                  Таблица№1.

Формулы расчета различных видов средних величин.

Значение k	Наименование средней	Формула средней простой	Формула средней взвешенной
-1	Средняя гармоническая
0	Средняя геометрическая		-
1	Средняя арифметическая
2	Средняя квадратическая

 

Вывод: существует много видов средних величин, делящихся по разным показателям. Среднюю величину следует выбирать, используя логическую формулу.

 

 

 

 

 

 

  2.3 Средняя арифметическая и  способы её расчета.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (x) и количество единиц совокупности с определенным значением признака (f).

Свойства средней арифметической величины.

Свойства средней арифметической величины позволяют ускорить расчет.

• Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной.
• Сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений. Все отклонения от средней в ту или иную сторону, обусловленные случайными причинами взаимно погашаются.
• Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения, сколь угодно мало отличающегося от средней у выбранной единицы исследуемой совокупности.

Минимальное и нулевое свойства средней арифметической применяются для проверки правильности расчета среднего уровня признака; при изучении закономерностей изменения уровней ряда динамики; для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

 

• Если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число величина средней арифметической не изменится.
• Если все варианты  увеличить либо уменьшить в одно и то же число раз, то среднее значение получившегося признака будет во столько же раз отличаться от среднего признака.

Средняя арифметическая делится на простую и взвешенную. Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз т.е. для каждого х значение признака f равно 1, или если  исходные данные не упорядочены неизвестно, сколько  единиц имеют определенные значения признака.

Средняя арифметическая простая.

Формула средней арифметической простой.

 

х-значение осредняемого признака

n-число единиц изучаемой совокупности.

Пример применения средней арифметической простой:

Ученица 10 класса по результатам проверочных тестов получила следующие оценки: алгебра-4, русский язык-5, иностранный язык-2, геометрия-3. Какова её средняя оценка по результатам тестов?

Поскольку каждое значение встречается только один раз, для расчета средней используем формулу арифметической простой:

     Общее число баллов                  4+5+2+3

=          Число оценок         =                 4                 =3,5 балла

 

В среднем ученица выполнила проверочные тесты на 3,5 балла.        

 

Средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, то есть для каждого х значение признака f неравно единице. Она широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения.

Средняя арифметическая взвешенная есть частное от деления суммы произведений вариантов и соответствующих им частот на сумму всех частот. Эта форма средней величины используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле , где fi - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. .

 

Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то:

1. Закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым.
2. За значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения:

 

         Хн.г+Хв.г

Х=           2       

 

3. Расчет средней производится по средней арифметической взвешенной.

 

 

 

 

 

Имеются данные о распределении рабочих цеха по стажу работы:

 

Таблица №2.

Распределение рабочих цеха по стажу работы.

Стаж работы, лет	Доля рабочих, % к итогу (f)
До 5	20
5-10	34
10-15	18
15-20	16
20 и выше	12
итого	100

 

Определить средний стаж рабочего данного цеха.

Достроим таблицу, долю рабочих обозначим через  f , за х примем середину интервала. Найдем значения xf и сумму этих значений, необходимую для расчета средней арифметической взвешенной, результаты запишем в таблицу.

                        

 

 

 

 

 

 

Таблица №3.

 Распределение рабочих цеха по стажу работы и расчет промежуточных показателей.

Стаж работы, лет	Доля рабочих, % к итогу (f)	х	хf
До 5	20	2.5	50
5-10	34	7.5	255
10-15	18	12.5	225
15-20	16	17.5	280
20 и выше	12	22.5	270
итого	100	-	1080

 

  = Число отработанных лет всеми рабочими  = 1080  = 10, 8 лет

                                                  Число рабочих                                      100

 

 

В среднем рабочий данного цеха отработал 10, 8 года. Расчет средней по интервальному ряду распределения дает приближенный результат за счет того, что за значения х берутся не точные данные, а осредненные значения.

 

 

 

 

 Способ  моментов.

Если интервальный ряд имеет равные интервалы или дискретный ряд построен с одним и тем же шагом между ближайшими значениями признака, для расчета средней применяют способ «моментов».

Алгоритм:

1. Строится новый дискретный ряд распределения, в котором одна из вариант приравнивается к нулю. К нулю можно приравнять любую варианту, но для упрощения расчетов лучше использовать варианту, находящуюся в середине ряда и имеющую наибольшую частоту.
2. Остальные варианты нового ряда обозначаются и рассчитываются по формуле:

 

х’- условные варианты

h-ширина равного  интервала или шага

3. Определяется средняя по способу моментов.

 

Где,       - момент первого порядка.

Вывод: если известны значения осредняемого признака и количество единиц совокупности с определенным значением признака мы будем применять среднюю арифметическую. Средняя арифметическая делится на простую и взвешенную. Также у средней арифметической есть определенные свойства, позволяющие ускорить расчет.

 

 

2.4 Средняя гармоническая и способы  её расчета.

Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. [5 стр.208]  

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Ее применяют для расчетов, когда в качестве весов используются не единицы совокупности-носители признака, а произведение этих единиц и значений признака.

Средняя гармоническая взвешенная.

Средняя гармоническая используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Средняя гармоническая взвешенная используется при расчете общей средней из средних групповых.

Рассмотрим пример использования средней гармонической взвешенной:

Производственная деятельность одного из отделений корпорации за месяц характеризуется следующими данными:

Таблица№4

 Производственная  деятельность отделения корпорации.

Предприятие	Общие затраты на производство, тыс. руб	Затраты на 1руб. произведенной продукции, коп
1	3454,2	69
2	4573,5	78
3	2356,3	71
4	7784,4	74

 

Для определения средних затрат на один рубль произведенной продукции в целом по отделению необходимо сумму общих затрат, разделить на количество продукции.

Составим логическую формулу:

                                           Общие затраты

Затраты на 1 руб =      количество продукции   

 

=             3454,2+4573,5+2356,3+7784,4                 = 73, 5 коп

     3454,2          +  4573,5    +  2356,3 +  7784,4

                                69                     78                 71           74

Следовательно, если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых требуется вычислить среднюю величину, и при этом известен итог числителя, а итог знаменателя не известен, но может быть определен как сумма частных от деления численных значений одного показателя на другой, средняя должна вычисляться по формуле средней гармонической взвешенной. [3 стр.104]

Средние затраты на один рубль составили 73,5 копеек.