Основные приемы статистического анализа

Над масштабируемыми  методами сейчас активно работают многие исследователи, основная задача которых - преодолеть недостатки алгоритмов, существующих на сегодняшний день.

 

 

4.2  Когда используется расстояние  Евклида

 

Метрика Евклида, используемая для определения расстояния между точками пространства признаков  х\1 х2, удовлетворяет всем аксиомам расстояния; она удобна для определения расстояния между двумя точками, например между точкой наблюдаемых параметров и центром (выборочным средним) класса. Она не учитывает распределение точек в классе, отклонения aj находится в результате экспериментов для каждого эталона.

В этом случае значения заключены между 0 и 1. Обычно перед  использованием этой метрики данные стандартизуют. Данные после стандартизации должны быть неотрицательными.

Метрика Евклида, используемая для определения расстояния между точками х\, х2,

R2E(x\,x2) = (х\ – Х2)Т • (х\ – х2),

удовлетворяет всем аксиомам расстояния, она удобна для определения расстояния между двумя точками, например между точкой наблюдаемых параметров и центром (выборочным средним) класса. Она не учитывает распределение точек в классе.

 

Вопрос 4.3 Что такое таксон

 

Таксон, группа дискретных объектов, связанных той или иной степенью общности свойств и признаков и благодаря этому дающих основание для присвоения им определённой таксономической категории.

Выделение Таксонов может опираться на разные свойства и признаки объектов - на общность происхождения, строения, состава, формы, функций и т. д. Но при этом в каждом случае набор признаков и свойств должен быть необходим и достаточен для того, чтобы данный Таксон занимал единственное место в системе и не пересекался с другими Таксонами.

При решении задач систематики и таксономии иногда важно чёткое различение терминов "Таксон" и "таксономическая категория". Таксон всегда характеризует конкретную совокупность объектов (органического мира, единиц географического описания, языка и т. п.), тогда как таксономическая категория выражает лишь обозначение и логические условия выделения данного уровня иерархии или ранга организации системы. Поэтому, например в биологии, где эти категории наиболее употребительны, понятия "вид", "род", "семейство" принадлежат к разряду таксономических категорий, а Таксоны образуют вид "сосна обыкновенная" или отряд грызунов.

Вопрос 5.1 Что  такое уравнение регрессии

Регрессия (лат. regressio - обратное движение, переход от более сложных форм развития к менее сложным) - одно из основных понятий в теории вероятности и математической статистике, выражающее зависимость среднего значения случайной величины от значений другой случайной величины или нескольких случайных величин.

Теоретическая линия регрессии - это та линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи.

Теоретическая линия регрессии должна отображать изменение средних величин результативного  признака «y» по мере изменения величин факторного признака «x» при условии полного взаимопогашения всех прочих – случайных по отношению к фактору «x» - причин и должна быть проведена так, чтобы сумма отклонений точек поля корреляции от соответствующих точек теоретической линии регрессии равнялась нулю, а сумма квадратов этих отклонений была ба минимальной величиной.

y=f(x) - уравнение регрессии - это формула статистической связи между переменными.

Прямая линия  на плоскости (в пространстве двух измерений) задается уравнением y=a+b*х. Более подробно: переменная y может быть выражена через константу (a) и угловой коэффициент (b), умноженный на переменную x. Константу иногда называют также свободным членом, а угловой коэффициент - регрессионным или B-коэффициентом.

Вопрос 5.2 В чем смысл метода наименьших квадратов

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии  используют метод наименьших квадратов. При применении метода наименьших квадратов  для нахождения такой функции, которая  наилучшим образом соответствует  эмпирическим данным, считается, что сумка квадратов отклонений эмпирических точек от теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной.

Критерий метода наименьших квадратов можно записать таким образом:

или  

Следовательно, применение метода наименьших квадратов для определения параметров a и b прямой, наиболее соответствующей эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

Относительно  оценок можно сделать следующие выводы:

1. Оценки метода  наименьших квадратов являются  функциями выборки, что позволяет их легко рассчитывать.

2. Оценки метода  наименьших квадратов являются  точечными оценками теоретических коэффициентов регрессии.

3. Эмпирическая  прямая регрессии обязательно проходит через точку x, y.

4. Эмпирическое  уравнение регрессии построено таким образом, что сумма отклонений

. 
 
Вопрос 5.3 Назовите виды экономических моделей

Можно выделить три основных класса моделей, которые  применяются для анализа и  прогнозирования экономических процессов:

1. модели временных  рядов,

2. регрессионные модели с одним уравнением,

3. системы одновременных уравнений.

Модель с одной  объясняющей и одной объясняемой  переменными – модель парной регрессии. Если объясняющих переменных используется две или более, то говорят об использовании  модели множественной регрессии. При этом, в качестве вариантов могут быть выбраны линейная, экспоненциальная, гиперболическая, показательная и другие виды функций, связывающие эти переменные.

Линейная регрессия представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием зависимой переменной Y и одной объясняющей переменной X:

,

где - значения независимой переменной в i-ом наблюбдении, i=1,2,…,n.

, - является линейностью уравнения по параметрам

Так как каждое индивидуальное значение отклоняется от соответствующего условного математического ожидания, тогда вданную формулу необходимо ввести случайное слагаемое , тогда получим

Данное соотношение  называется теоретической линейной регрессионной моделью, а и - теоретическими параметрами регрессии, - случайным отклонением. Следовательно, индивидуальные значения представляются в виде суммы двух компонент – систематической и случайной

Для определения  значений теоретических коэффициентов  регрессии необходимо знать и  использовать все значения переменных X и Y генеральной совокупности, что невозможно.

Парная линейная регрессия - это причинная модель статистической связи линейной между двумя количественными переменными «x» и «у», представленная уравнением , где х - переменная независимая, y - переменная зависимая. Коэффициент регрессии «b» и свободный член уравнения регрессии «a» вычисляются по формулам: 
 
, 
где r - коэффициент линейной корреляции Пирсона для переменных x и y; s_x и s_y - стандартные отклонения для переменных x и y; x,y - средние арифметические для переменных x и y.

Существуют два  подхода к интерпретации коэффициента регрессии b. Согласно первому из них, b представляет собой величину, на которую  изменяется предсказанное по модели значение ŷ_i = a + bx_i при увеличении значения независимой переменной x на одну единицу измерения, согласно второй - величину, на которую в среднем изменяется значение переменной y_i при увеличении независимой переменной x на единицу. На диаграмме рассеяния коэффициент b представляет тангенс угла наклона линии регрессии y = a + bx к оси абсцисс. Знак коэффициента регрессии совпадает со знаком коэффициента линейной корреляции: значение b>0 свидетельствует о прямой линейной связи, значение b < 0 - об обратной. Если b = 0, линейная связь между переменными отсутствует (линия регрессии параллельна оси абсцисс).

Свободный член уравнения регрессии a интерпретируется, если для независимой переменной значение x = 0 имеет смысл. В этом случае y = a, если x = 0. Качество уравнения  парной линейной регрессии оценивается  с помощью коэффициента детерминации.

После построения уравнения регрессии необходима интерпретация и анализ, а также  словесное описание полученных результатов  с трактовкой найденных коэффициентов.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – Москва: Финансы и статистика, 2004. – 656с.

2. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая  теория статистики. – М.: Инфра-М, 2004. – 416с.

3. Общая теория  статистики/ под ред. О.Э. Башиной,  А.А. Спирина.– М.: Финансы и  статистика, 2005. – 440с.

4. Сизова Т.М.  Статистика. - СПб.: СПбГУ ИТМО, 2005. - 190 с.

5. Теория статистики/ под ред. Г.Л.Громыко. – М.: Инфра-М, 2005. – 476с.

6. Теория статистики/ под ред. Р.А.Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2009. –656с.

7. Корреляционный  и регрессионный анализ // http://dvo.sut.ru/

8. Множественная  регрессия// http://www.statsoft.ru/

9. Регрессия// http://ru.science.wikia.com/wiki/%D0%A0%D

10. Регрессионный  анализ// http://www.kgafk.ru/kgufk/html/korandreg3.html

11. Статистический  анализ данных, моделирование и  прогноз// http://miit.bsu.edu.ru/resources/inf/excel/excel06.htm