Обработка результатов многократных измерений с помощью методов статистики

у = f(Х1, Х2,…, Хk).

Одним из методов построения математических моделей является метод планирования эксперимента, суть которого заключается в варьировании всех факторов, влияющих на объект исследования, по определенному плану. При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях. Необходимое количество опытов при ПФЭ определяется по формуле N = qk, где q – количество уровней, k – число факторов.

Наибольшее расстояние в экспериментальных исследованиях получили планы типа 2k, в которых факторы варьируются на двух уровнях.

При этом переменная отклика описывается математической моделью по формуле (20):

       (2.1)

где у – переменная отклика (параметр);

b0 – свободный член;

k – число факторов;

bi, bj, bij – коэффициент регрессии при соответствующем факторе или взаимодействии факторов;

xi, xj – фактор;

с – число сочетаний из k факторов по два;

i, j – номер фактора.

   Планирование, проведение  и обработка результатов планированного  эксперимента состоит из следующих  обязательных этапов: 1) кодирование  факторов; 2) составление план - матрицы эксперимента; 3) реализация плана эксперимента; 4) проверка воспроизводимости опытов; 5) оценка значимости коэффициентов регрессии; 6) проверка адекватности модели.

Изменения независимых переменных происходят в некотором пространстве с осями, которое называется факторным пространством. Геометрический образ, соответствующий функции отклика, называется поверхностью отклика.

Уровнем фактора называют определенное значение фактора, которое будет фиксироваться при проведении эксперимента. В планах первого порядка используется нижний и верхний уровни. В расчетах необходим также основной (нулевой).

Рис. 2.2-Поверхность отклика.

 

Обычно, до проведения эксперимента по тем или иным соображениям можно выделить диапазон, в котором исследователя интересует зависимость переменной отклика от данного фактора. В этом случае наибольшее значение фактора в диапазоне принимается за верхний уровень, а наименьший – за нижний.

Интервалом варьирования называется значение фактора в натуральных единицах, прибавление которого к нулевому уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровень.

Приняты такие обозначения фактора Хi: нижний – Хiн, верхний – Хiв, нулевой – Хi0.

Интервал варьирования:

∆xi = Хi0 - Хiн = Хiв - Хi0.

Для перехода от натурального выражения к безразмерному используют кодирование факторов.

Связь кодированным и натуральным выражением фактора задается формулой (21):

                                                                              (2.2.)

где xi – кодированное значение фактора;

Xi – натуральное значение фактора;

Xi0 – натуральное значение фактора на нулевом уровне;

∆Xi – интервал варьирования фактора.

В соответствии с изложенным, кодированное значение любого фактора на нижнем уровне равно:

,

на верхнем уровне:

.

План, содержащий запись всех комбинаций факторов, называется матрицей планирования. Для построения матрицы планирования используют следующий принцип: 1) уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту; 2) частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем у предыдущего. Это означает, что элементарное сочетание первого фактора (-1; +1) повторяется для каждого следующего на нижнем и верхнем уровнях. Столбец х0 – это столбец фиктивной переменной. Доказано, что его участие в матрице планирования делает расчеты коэффициентов математической модели более общими. Таким образом, в первом столбце, соответствующем х0, знаки не изменяются, во втором – изменяются через один, в третьем – через два, в четвертом – через четыре и т.д. В таблице 1 приведены матрицы планирования, построенные по описанному принципу, для двух, трех и четырех факторов.

Организация матриц планирования ПФЭ от 22 до 24

Номер опыта	Тип эксперимента			Факторы
				Х0	Х1	Х2	Х3	Х4
1	ПФЭ 24	ПФЭ 23	ПФЭ 22	+1	-1	-1	-1	-1
2				+1	+1	-1	-1	-1
3				+1	-1	+1	-1	-1
4				+1	+1	+1	-1	-1
5				+1	-1	-1	+1	-1
6				+1	+1	-1	+1	-1
7				+1	-1	+1	+1	-1
8				+1	+1	+1	+1	-1
9				+1	-1	-1	-1	+1
10				+1	+1	-1	-1	+1
11				+1	-1	+1	-1	+1
12				+1	+1	+1	-1	+1
13				+1	-1	-1	+1	+1
14				+1	+1	-1	+1	+1
15				+1	-1	+1	+1	+1
16				+1	+1	+1	+1	+1

 

Порядок проверки результатов эксперимента включает следующие шаги. Коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по формулам (2), (23) и (24):

       (2.3.)

          (2.4.)

 (2.5.)

где n – число опытов полного факторного эксперимента, n=2k;

xiu – значение фактора xi для опыта u;

yu – значение переменной отклика для опыта u;

u – номер опыта.

По заданию к данной курсовой работе требуется найти зависимость функции отклика между интенсивностью износа прокатных валков (И0 = у, мкм/об) от  факторов: Х1-температура прокатываемого металла (Т), °С; Х2-абсолютное боковое обжатие (∆h), мм; Х3-скорость скольжения (∆ν), м/с (по табл. 4).

 Матрица планирования и результаты экспериментов

Номер опыта	Х1	Х2	Х3	У, мкм/об	Х1, %	Х2,  мм	Х3, м/с
1	-1	-1	-1	0,115	900	2	0,3
2	+1	-1	-1	0,065	1000	2	0,3
3	-1	+1	-1	0,262	900	7	0,3
4	+1	+1	-1	0,216	1000	7	0,3
5	-1	-1	+1	0,120	900	2	0,6
6	+1	-1	+1	0,075	1000	2	0,6
7	-1	+1	+1	0,267	900	7	0,6
8	+1	+1	+1	0,224	1000	7	0,6
9	0	0	0	0,172	950	4,5	0,45
10	0	0	0	0,165	950	4,5	0,45
11	0	0	0	0,170	950	4,5	0,45

 

 

Находим интервалы варьирования факторов по формуле (2.6):

 ∆xi = Хi0 - Хiн = Хiв - Хi0                                     (2.7)

Δxl =50 ; Δx2 = 2,5; Δx3 = 0,15.

Полученные данные заносим в таблицу 5:

 

Таблица 5  - Уровни варьирования факторов

Уровни факторов	Х1	Х2	Х3
Верхний фактор	1000	7	0,6
Нижний фактор	900	2	0,3
Интервал варьирования	50	2,5	0,15

Искомое уравнение регрессии будет иметь вид:

              y = b0 + b1xl + b2x2 + b3x3 + bl2xlx2 + bl3xlx3 + b23x2x3.

Находим коэффициенты уравнения регрессии по формулам (2.8.), (2.9.), (2.10.):

                  (2.8.)

                 (2.9.)

      (2.10.)

b0 =  0,168; b1= -0,023; b2= 0,07425; b3= 0,0035;b12= 0,00075; b13= 0,001; b23= -0,00025.

      Найденные  значения заносим в таблицу 5:

Таблица 5 – Коэффициенты уравнения регрессии

b0	b1	b2	b3	b12	b13	b23
0,168	-0,023	0,074	0,004	0,001	0,001	-0,001

Следовательно, искомое уравнение регрессии будет иметь вид:

y=0,168 –0,023xl +0,07425x2 +0,0035x3 +0,00075xlx2 +0,001xlx3 +0,00025x2x3.

Для проверки воспроизводимости опытов проводим несколько параллельных опытов в одной из точек факторного пространства, тоесть такой точкой принимается центр плана, где реализуем 3 опыта и по ним рассчитываем дисперсию воспроизводимости по формуле (2.11.):

          (2.11.)

где n0 – число опытов в центре плана;

 – значения переменной отклика в центре плана;

- среднее значение переменной  отклика в центре плана.

 Для  расчета дисперсии составляем дополнительную таблицу 6 средних арифметических значений функции в центре плана y0:

Таблица 6 – Средние арифметические значения функции в центре плана 

y0ср	(yi0-y0ср)	(yi0-y0ср)²
0,169	0,003	9E-06
0,169	-0,004	0,000016
0,169	0,001	0,000001
Σ		2,6E-05

 

Получаем:                 SB²= 2,6E -05= 1,3Е -05.

                                                  3                                        

Мы видим, что один фактор больше влияет на переменную отклика, другой – меньше. Для оценки этого влияния используем проверку значимости каждого коэффициента.

Вначале определяем дисперсию коэффициентов регрессии по формуле (2.2.12.):

           (2.12.)

Sb²  = 4,33333Е-0,6,

   Тоесть  дисперсии всех коэффициентов  равны, поскольку зависят только  от ошибки опыта  и количества опытов матрицы планирования n.

Затем, даем оценку значимости коэффициентов по формуле (2.13.):

                     (2.13.)

и условию что: ,

где - расчетное значение критерия Стьюдента для i-го коэффициента;

     - абсолютное значение i-го коэффициента регрессии;

     Sb – среднеквадратичное отклонение;

      - табличное значение критерия Стьюдента, которое находится по уровню значимости и числу степеней свободы дисперсии воспроизводимости f = n0 – 1 (таблица 1, приложение 1).

tp0 = 46,595, tp1 = 6,379, tp2  = 20,593, tp3 = 0,971, tp12= 0,208, tp13 = 0,277, tp23 = 0,069.

       После расчета оценки значимости коэффициентов составляем таблицу 7, в которой выделяем незначительные коэффициенты:

Таблица 7 – Оценка значимости коэффициентов

S²в	Sb	tр0	tр1	tр2	tр3	tр12	tр13	tр23
1,3E-05	0,004	46,595	6,379	20,593	0,971	0,208	0,277	0,069

 

Из таблицы 7 видно, что незначительными оказались  коэффициенты tр3, tр12, tр13, tр23.  Затем, исходя из этого условия составляем новое уравнение регрессии, которое будет иметь вид:

  y= 0,168 – 0,023x1 +0,074x2.

Далее  находим по таблице значение критерия Стьюдента: f = 3 – 1 =2, следовательно,  = 4,30.