Обработка результатов многократных измерений с помощью методов статистики

1 Получение аналитической зависимости с помощью метода наименьших квадратов

1.1 Теоретические сведения

Часто возникает необходимость выразить в виде функциональной зависимости связь между результатами измерений некоторых величин , , заданными в виде таблицы. Поскольку измерения не могут производиться без ошибок, зависимости устанавливаются с помощью регрессионного анализа и называются эмпирическими.

Функциональная зависимость:

,    (1.1.)

называемая уравнением регрессии, должна соответствовать табличной модели с достаточной точностью.

Наибольшее распространение при определении параметров функциональной зависимости получил метод, называемый методом наименьших квадратов (МНК). Метод заключается в том, что сумма квадратов отклонений значений от искомой линии регрессии должна быть наименьшей. Иными словами, если – эмпирические значения функций, а – соответствующие им расчетные значения, то принцип наименьших квадратов заключается в том, чтобы добиться наименьшей величины:

   (1.2.)

Это условие позволяет определить параметры искомого уравнения регрессии в том случае, если вид этого уравнения заранее известен.

 

 

 

Вид уравнения регрессии для установления функциональной зависимости между опытными данными может быть найден предварительным графическим построением (рисунок 1).

Простейшим уравнением регрессии для описания взаимосвязи результатов эксперимента является линейная зависимость

   (1.3.)

 

Тогда, выражение (2.1.2.) принимает вид

 

   (1.4.)

где – количество результатов измерений, т.е. число пар значений и .

Рис. 2. 1 Экспериментальные данные и линия регрессии

    Для нахождения параметров  уравнения регрессии необходимо  частные производные величины по параметрам и приравнять нулю:

  (1.5.)

Получаем систему уравнений:

   (1.6.)

 

Параметры уравнения регрессии находятся по выражениям:

   (1.7.)

   (1.8.)

Недостатком метода наименьших квадратов является то, что его можно использовать при некоррелированных измерениях выхода. В случае, когда измерения выхода коррелированны, используется обобщенный метод наименьших квадратов. Прежде чем использовать тот или иной метод, необходимо проверить, являются ли измерения выхода, используемые при обработке, коррелированными или нет. 

Измерения называются коррелированными, если соответствующие им случайные величины коррелированны между собой, то есть корреляция или ковариация этих случайных величин не равна нулю. 

По заданию к данной курсовой работе с помощью метода наименьших квадратов требуется установить аналитическую зависимость у=ƒ (х) и функции y = a + bx3.

Задание №1

В результате экспериментальных исследований сталебетонных плит на изгиб была получена зависимость несущей способности N, кН, от деформаций в бетоне в центре сечения. Методом наименьших квадратов найти аналитическую зависимость .

С предоставленного в задании графика берем значения и получаем следующую таблицу:

	10	11	14	20	28	34	39	46	50	52
N, кН	3	4	6	8	10	12	14	17	18	19
N, кН	39	38	37,5	36	32	29	28	23	22,5	22

1. Коэффициенты уравнения регрессии вычисляем по следующим формулам:

,  ;

, .

Получаем уравнение:

Х	У
-5	156,79
-4	80,357
-3	33,996
-2	10,189
-1	1,418
0	0,165
1	-1,088
2	-9,859
3	-33,668
4	-80,027
5	-156,46

 

 

 

Задание № 2

В результате экспериментальных исследований, получена таблица значений удельного сопротивления болта срезу , Н/мм2, в зависимости от толщины образца т, мм:

m	0,058	0,075	0,104	0,210	1,000	21,730	0,460
q	1655	1559	1298	1124	682	650	883

Методом наименьших квадратов найти аналитическую зависимость q=f(m).

1. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии по следующим формулам:

,  ;

, .

 

Получаем уравнение:

Х	У
-5	105377,75
-4	54600,984
-3	23801,962
-2	7986,248
-1	2159,406
0	1327
1	494,594
2	-5332,248
3	-21147,962
4	-51946,984
5	-102723,75

 

 

Задание № 3

В результате эксперимента получена таблица затрат труда на производство 1т стали Зтр , чел.-ч, в зависимости от полезного объема доменных печей V, м3.

V	950	960	990	1020	1033	1200	1290	1320	1390	1395	1460	1720	1900	1910
Зтр	0,85	0,80	0,78	0,72	0,74	0,65	0,60	0,58	0,58	0,57	0,57	0,48	0,42	0,46

 

Методом наименьших квадратов найти аналитическую зависимость Зтр=f(V).

1. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии по формулам:

,  ;

 

, .

 

Получаем уравнение:

Х	У
-5	2,08
-4	1,6192
-3	1,3399
-2	1,1964
-1	1,144
0	1,136
1	1,128
2	1,0756
3	0,93215
4	0,6528
5	0,19225

 

 

 

 

Задание № 4

Коэффициент продольного изгиба центрально-сжатых элементов из стали с расчетным сопротивлением 200 МПа определяется в зависимости от гибкости стержня по таблице:

	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110
	0,988	0,967	0,939	0,906	0,869	0,827	0,782	0,734	0,665	0,599	0,537

Получить аналитическую зависимость .

1. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии по формулам:

 

,  ;

 

,  .

Получаем уравнение:

Х	У
-5	6,573
-4	3,889
-3	2,261
-2	1,425
-1	1,117
0	1,073
1	1,029
2	0,721
3	-0,115
4	-1,743
5	4,427

 

 

 

Задание № 5

В результате анализа показателей работы арматурного цеха завода ЖБК получена таблица значений продолжительности в месяц текущих ремонтов Пр, ч, в зависимости от степени концентрации ремонтных сил z, %:

z	45	46,5	48	49,5	51,3	52,5	54	56,2	58
Пр	28	27,5	28	25,5	25,5	26	23	22,5	24,5

Методом наименьших квадратов найти аналитическую зависимость Пр=f(z).

1. Вычисляем коэффициенты уравнения регрессии по формулам:

 

,  ;

 

,  .

 

Получаем уравнение:

Х	У
-5	8582,828
-4	4416,833
-3	1889,918
-2	592,313
-1	114,258
0	45,953
1	-22,342
2	-500,407
3	-1798,012
4	-4324,927
5	-8490,922

 

 

 

2 Обработка  результатов полного трехфакторного  эксперимента

2.1 Теоретические сведения

Задачей экспериментальных исследований является построение математической модели исследуемого объекта (или процесса), для которого при выравнивании независимых переменных (факторов) Х1, Х2,…, Хk некоторым образом изменяется независимая переменная (отклик или параметр) у: