Контрольная работа по «Статистике»

Для симметричных распределений может быть рассчитан  показатель эксцесса, который показывает насколько резкий скачок имеет изучаемое  явление. Показатель эксцесса определяется по формуле:

Для рассматриваемого ряда распределения имеет место  следующее соотношение моды, медианы и среднего: .

  Следовательно, распределение не симметрично. Для оценки степени ассиметрии рассчитаем соответствующий показатель:

Т.к. и , следовательно, можно сделать вывод, что данное распределение имеет значительную левостороннюю ассиметрию.

Эксцесс в  данном случае составит:

Исходный  ряд распределения является плосковершинным, т.к. показатель эксцесса меньше ноля ( ).

4. Выборочный метод

4.1. Для анализа структуры вкладов населения было проведено выборочное бесповторное собственно-случайное обследование 8% банковских вкладов. В результате получено следующее распределение (таблица 4.1.1).

Определить:

а) с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего размера  вклада для всей совокупности вкладов  населения;

б) с вероятностью 0,954 возможные пределы отклонения доли вкладов свыше 40 тыс. руб.

Таблица 4.1.1

Данные  по вкладам банка

 

Размер вклада, тыс. руб.	до 10	10-20	20-30	30-40	40 и более
Количество вкладов	20,0	25,0	40,0	10,0	5,0

Решение.

Выборочное  наблюдение относится к разновидности  несплошного наблюдения, когда характеристика генеральной совокупности единиц дается по некоторой их части, которая была отобрана на основе специально разработанных научных принципов.

Изучаемая совокупность явления, из которой осуществляется отбор некоторой части единиц для проведения выборочного наблюдения, называется генеральной совокупностью. Часть единиц, отобранная из генеральной совокупности для выборочного наблюдения, называется выборочной совокупностью.

Различают два  вида отбора: повторный и бесповторный.

Бесповторный  отбор – отбор, процедура которого не предусматривает возврат каждой отобранной единицы в генеральную  совокупность.

Также различают  следующие способы отбора:

• случайный (выборка, основанная на отборе по жребию, при котором каждая единица генеральной совокупности имеет равную с другими единицами вероятность быть отобранной);
• типический (разделение неоднородной генеральной совокупности на типологические или районированные группы по какому-либо существенному признаку, после чего из каждой группы производится случайный отбор единиц);
• механический (отбор единиц через равные промежутки, генеральная совокупность разбивается на равные по численности группы, из которых затем отбирается по одной единице);
• серийный (генеральная совокупность первоначально разбивается на определенные равновеликие или неравновеликие серии, из которых путем случайного отбора отбираются серии и затем внутри отобранных серий проводится сплошное наблюдение).

Для определения  возможных пределов среднего размера  вклада для генеральной совокупности рассчитаем выборочную среднюю ( ) по формуле 3.1:

 тыс. руб.

При сопоставлении  показателей по результатам выборки  с характеристиками для всей генеральной совокупности могут имеют место некоторые отклонения, величина которых называется ошибкой наблюдения. Средняя величина количественного признака определяется с учетом предельной ошибки выборочной средней:

Различают:

• ошибки репрезентативности (случайное или систематическое нарушение правил при отборе единиц);
• ошибки регистрации (несовершенство технических условий).

Каждая выборка  имеет свою ошибку репрезентативности. При определении ее величины предполагается, что ошибка регистрации равна нулю.

Выделяют  следующие ошибки репрезентативности:

• средняя;
• предельная;
• относительная.

Средняя ошибка выборки представляет собой расхождение  между выборочной средней ( ) и генеральной средней ( ), которое возникает в результате несплошного характера выборочного наблюдения. Для бесповторного отбора рассчитывается по формуле:

где - дисперсия признака x в выборке;

         - объем выборки;

       - объем генеральной совокупности.

Для рассматриваемой  выборки средняя ошибка составит:

 тыс. руб.

Далее необходимо рассчитать предельную ошибку выборки.

Предельная  ошибка выборки – это максимально  возможное расхождение выборочной и генеральной средних. Рассчитывается по формуле:

где t – гарантийный коэффициент, которая определяется из табличных значений интегральной функции Лапласа.

Для заданной вероятности 0,997 гарантийный коэффициент t=3. Следовательно, предельная ошибка выборки составляет:

 

Соответственно  по формуле 4.1:

Таким образом, с вероятностью 99,7% можно утверждать, что средний размер банковских вкладов  для всей совокупности вкладов населения  находится в пределах от 15 до 26 тыс.руб.

Расчет пределов отклонения выборочного показателя доли осуществляется по схеме описанной выше. Средняя и предельная ошибки для бесповторного отбора при этом рассчитываются по следующим формулам:

где w – доля единиц совокупности, обладающих заданным значением признака в выборке;

       t – гарантийный коэффициент.

Доля вкладов  свыше 40 тыс.руб. в данной выборке  составляет 5%. Следовательно, средняя ошибка:

Для заданной вероятности 0,954 гарантийный коэффициент  равен 2. Предельная ошибка в этом случае составит:

Таким образом, отклонение доли вкладов свыше 40 тыс. руб. находится в пределах от 0,82% до 9,18%.

4.2. Произведено выборочное обследование партии готовых изделий. При механическом бесповторном отборе 6% изделий, установлено, что 75 единиц отнесены к нестандартной продукции (несоответствие по весу). Распределение выборочной совокупности по весу представлен в таблице 4.2.1.

Определить  для всей партии изделий:

а) с вероятностью 0,954 возможные пределы среднего веса изделий в генеральной совокупности;

б) с вероятностью 0,997 возможные пределы удельного  веса нестандартной продукции в генеральной совокупности.

Таблица 4.2.1

Данные  о готовых изделиях

 

Вес изделия	Число изделий
400 - 410	45
410 - 420	75
420 - 430	160
430 - 440	90
440 - 450	30

 

Решение.

Методика  расчета возможных пределов отклонения генеральной средней и доли альтернативного  признака аналогична методике, рассмотренной  в задании 4.1.

Определим средний  вес изделия в выборке по формуле 3.1 (выборочную среднюю)

Для рассматриваемой  выборки средняя ошибка составит:

Для заданной вероятности 0,954 гарантийный коэффициент  t=2. Следовательно, предельная ошибка выборки составляет:

Таким образом, средний вес изделия  в генеральной совокупности находится в пределах от 423,58 до 425,67.

Доля изделий  с нестандартным весом в данной выборке составляет 18,75%. Следовательно, средняя ошибка:

Для заданной вероятности 0,997 гарантийный коэффициент  равен 3. Предельная ошибка в этом случае составит:

Таким образом, доля нестандартных изделий в  генеральной совокупности находится в пределах от 13,07% до 24,43%.

 

5. Метод корреляционно-регрессионного анализа

 

По исходным статистическим данным и численности  персонала и прибыли предприятия, представленным в таблице 5.1, выполнить следующие задания:

а) оценить  тесноту связи между результативным и факторным признаком, проверить коэффициент корреляции на статистическую значимость;

б) построить  уравнение парной регрессии между  прибылью и численностью работников, дать содержательную характеристику коэффициентам регрессионного уравнения;

в) оценить  коэффициент детерминации, сделать  выводы о качестве построенной регрессии, проверить коэффициент детерминации на статистическую значимость;

г) оценить  коэффициент эластичности, сделать  вывод.

 

 

 

Таблица 5.1

Статистика  численности и прибыли предприятия  за 1997-2011 гг.

 

Численность работающих, чел.	Чистая прибыль, тыс. руб.
72	59
737	483
43	57
590	441
395	291
714	526
446	348
603	412
167	92
631	419
555	382
123	132
459	305
302	229
264	229

Решение.

Показатели, обуславливающие изменение другого  показателя или показателей, называют факторами. Показатели, изменяющиеся под действием факторов, называют результативными. Эти показатели не являются независимыми, они связаны между собой. В данном случае эту связь называют корреляционной, при которой изменение одной переменной (фактор) приводит к изменению математического ожидания другого показателя.

Данные взаимосвязи  можно описать с помощью корреляционных характеристик.

Теснота связи  между показателями количественно  оценивается коэффициентом корреляции r_xy. Для парной линейной связи показателей он рассчитывается по формуле:

,    

где     n – число наблюдений;

 x_i, y_i – наблюдения значения показателей (фактические значения);

          , - средние значения для выборки;

 r_xy. – находится в пределах от -1 до +1  (-1<r_xy.<1).

Найдем значение данного коэффициента для показателей  численности работающих (x) и чистой прибыли (y). Расчеты представлены в таблице 5.2.

 

 

 

Таблица 5.2

Промежуточные расчеты

№ п/п	x	y	xy	x2	y2
1	72	59	4 248	5 184	3 481
2	737	483	355 971	543 169	233 289
3	43	57	2 451	1 849	3 249
4	590	441	260 190	348 100	194 481
5	395	291	114 945	156 025	84 681
6	714	526	375 564	509 796	276 676
7	446	348	155 208	198 916	121 104
8	603	412	248 436	363 609	169 744
9	167	92	15 364	27 889	8 464
10	631	419	264 389	398 161	175 561
11	555	382	212 010	308 025	145 924
12	123	132	16 236	15 129	17 424
13	459	305	139 995	210 681	93 025
14	302	229	69 158	91 204	52 441
15	264	229	60 456	69 696	52 441
Сумма	6101	4405	2 294 621	3 247 433	1 631 985
Среднее значение	406,73	293,67	152 974,73	216 495,53	108 799

 

Следовательно, согласно формуле 5.1 коэффициент корреляции составит:

Коэффициент детерминации равен:

Так как значение коэффициента корреляции больше нуля и, близко к единице, то связь между численностью рабочих и чистой прибылью можно охарактеризовать как прямую и сильную. Значение коэффициента детерминации говорит о том, что вариация прибыли на 97,6% обусловлена изменением численности, а остальные 2,4% связаны с влиянием других неучтенных в модели факторов.

Уравнение регрессии  – это формула статистической связи между переменными. Форма связи (уравнение регрессии) исследуется регрессионным анализом. Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии). Рассчитаем параметры уравнения регрессии.

Параметры a и b определяются из системы двух уравнений, полученных методом наименьших квадратов:

 

где n – объем исследуемой совокупности (число наблюдений);

      a и b – неизвестные параметры уравнения регрессии.

После определенных преобразований получаем следующие  формулы для расчета параметров уравнения регрессии:

Рассчитаем  параметры уравнения регрессии:

 

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

Далее необходимо убедиться, что рассчитанные значения существенны (значимы) для всей генеральной  совокупности признаков.

Значимость  линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента  путем сопоставления расчетного и табличного значений.

Проведем  оценку статистической значимости параметров регрессии и найдем доверительные  интервалы для каждого из параметров.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии характеристик от нуля: a=b=r=0.

По таблице  t-распределений находим критическое значение t-критерия для числа степеней свободы и при уровне значимости .

Определим стандартные  отклонения (стандартные ошибки) .

Для линейного  коэффициента корреляции (r) стандартное отклонение рассчитывается по формуле:

Для параметра a:

где s_ост – остаточная дисперсия, которая рассчитывается по формуле:

Для параметра b:

Использую данные формулы определим стандартные  отклонения.

Для определения  остаточной дисперсии рассчитаем дополнительные параметры (таблица 5.3).

Таблица 5.3

Промежуточные расчеты

 

№ п/п	x	y
1	72	59	73,87	-14,87	220,9694223
2	737	483	510,54	-27,54	758,1910921
3	43	57	54,82	2,18	4,742471476
4	590	441	414,01	26,99	728,5590725
5	395	291	285,96	5,04	25,38135352
6	714	526	495,43	30,57	934,3787909
7	446	348	319,45	28,55	815,0451704
8	603	412	422,54	-10,54	111,1881055
9	167	92	136,25	-44,25	1957,752909
10	631	419	440,93	-21,93	480,9552516
11	555	382	391,03	-9,03	81,46006346
12	123	132	107,35	24,65	607,4235745
13	459	305	327,99	-22,99	528,4212274
14	302	229	224,89	4,11	16,86053747
15	264	229	199,94	29,06	844,4105468
Сумма	6101	4405	4 405,00	0,00	8115,74