Контрольная работа по "Статистике"

 

Определите:

- средний по выборочной совокупности размер поставки (по способу моментов); среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации;

- границы среднего размера поставки по генеральной совокупности с вероятностью 0,954 (t = 2);

-границы удельного веса  магазинов с размером поставки свыше 2500тыс.ед. с вероятностью 0,997 (t = 3).

Решение.

Поскольку исходные данные являются интервальными, то при расчете показателей вариации необходимо  сначала определить середины  интервалов, а затем  вести дальнейшие расчеты, рассматривая  ряд середин интервалов как дискретный ряд распределения.

Для первого  интервала средина интервала  равна 1750 (1600+300/2), для шестого – 3250 (3100+300/2), для  второго – 2050 (1900+(2200-1900)/2)), для третьего – 2350 (2200+(300)/2)), для четвертого – 2650 (2500+(300)/2)), для пятого – 2950 (2800+(300)/2)).

Средний размер поставки определяется способом моментов:

   (3.1)

где Х - срединное  значение интервального вариационного  ряда

        k  - величина интервала (k= 300 тыс.ед).

        f  - частота повторения признака  в совокупности

       А - условная величина. За условную  величину А обычно принимается  варианта, имеющая наибольшую частоту  или доминирующее срединное положение  в данном ряду. (А=2650 тыс.ед.)

Результаты  вспомогательных расчетов представлены в таблице 3.2.

 

Таблица 3.2 – Расчет среднего и  среднеквадратического отклонения

Группа магазинов по размеру поставки, тыс.ед.	До 1900	1900-2200	2200-2500	2500-2800	2800-3100	Св 3100	Итого
Середина интервала, тыс.ед.. (xi)	1750	2050	2350	2650	2950	3250
Число магазинов, шт. (fi)	53	57	61	92	63	56	382
xi-А	-900	-600	-300	0	300	600	-900
(xi-А)/k	-3	-2	-1	0	1	2	-3
(xi-А)*fi/k	-168	-120	-64	0	66	118	-168
((xi-A)/k)^2*fi	504	240	64	0	66	236	1110

 

Исходя  из формулы 3.1 и таблицы 3.2, средний  размер поставки по выборочной совокупности  равен 2518 тыс.ед. (-168/382*300+2650).

Средние величины, характеризуя вариационный ряд одним числом, не учитывают  степень вариации признака.

Среднее квадратическое отклонение цены детского костюма (σ)  определяется по формуле:

.      (3.2)

Дисперсия цены детского костюма  (σ²) будет определяться по способу моментов:

,.    (3.3)

где k – величина интервала;

А – условная величина;

- начальный момент первого порядка;

  - начальный момент второго порядка;

Исходя  из формулы 3.3 и таблицы 3.2, дисперсия размера поставки равна 233 874 (300²*((1110/382-(-168/382)²)).

Исходя  из формулы 3.2 и таблицы 3.2, среднее квадратическое отклонение размера поставки составляет 494,1 тыс.ед.. ( ).

Для сравнения  степени вариации признака в разных совокупностях используется коэффициент  вариации. Коэффициент вариации цены костюма  (V)  определяется по формуле:

.      (3.4)

Исходя  из формулы 3.4 и таблицы 3.2, коэффициент вариации размера поставки   равен 19,62 % (494,1/2518*100). Совокупность считается однородной для распределений близких к нормальному, если коэффициент вариации не превышает 33 %, следовательно, изучаемая выборка является однородной.

Рассчитаем  предельную ошибку выборочной средней по формуле:

,     (3.5)

где t –  коэффициент доверия (при р=0,954, t=2 );

μ -  средняя ошибка выборки.

При  случайном  бесповторном  отборе  средняя  ошибка   выборочной   средней определяется по формуле:

,    (3.6)

где σ² –  выборочная дисперсия;

n -  объем  выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности (по условию задачи , 10% выборка, т.е. n/N=0,1).

Тогда, исходя из формул 3.5-3.6, средняя  ошибка   выборочной   средней равна 25,98( ), а предельная ошибка равна 47,96 (23,98*2).

Расчет  средней и предельной ошибок позволит определить возможные пределы, в  которых будут находиться характеристики генеральной совокупности. На основе выборочной средней интервал изменения  средней цены костюма  рассчитывается по формуле:

,     (3.7)

где - генеральная средняя.

Исходя  из формулы 3.7, средний размер поставок  с вероятностью 0,954 будут колебаться в пределах от 2470,04 (2518-47,96) до 2565,96 тыс.ед. (2518+47,96).

Для определения  границы удельного веса  магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед. рассчитаем предельную ошибку выборочной доли при бесповторном отборе по формуле:

,   (3.8)

где w –  доля единиц, обладающих данным признаком  в выборочной совокупности.

Доля магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед.в общем объеме равна 0,55 ((92+63+56)/382).

Тогда предельная ошибка выборочной доли магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед. будет равна 0,04 ( ).

Пределы доли признака в генеральной совокупности (р) можно рассчитать следующим образом:

.    (3.9)

Исходя  из формулы 3.9, границы удельного веса магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед. с вероятностью 0,997 будут следующими: от 0,51 (0,55-0,04) до 0,59 (0,55+0,04).

Таким образом, удельный вес магазинов с размером поставки свыше 2500 тыс.ед. с вероятностью 0,997 будет колебаться в пределах от 51 до 59 %.

 

Задача 4

 

Для анализа  динамики ввода в действие жилой  площади определите по данным таблицы 4.1:

- аналитические  показатели ряда динамики: абсолютные  приросты, темпы роста, прироста  по годам и к первому условному  году, абсолютное содержание одного  процента прироста. Полученные данные  представьте в таблице;

- среднегодовое  число построенных квартир;

- среднегодовые  абсолютный прирост, темпы роста  и прироста числа  построенных  квартир.

На основании  данных  о числе построенных  квартир произведите сглаживание  уровней по уравнению тренда прямой. Постройте график динамики ввода  в действие жилой площади на основании  фактических и сглаженных уровней. По результатам расчетов сделайте выводы.

 

Таблица 4.1 –  Ввод в действие жилых домов

Условный год	Первый	Второй	Третий	Четвертый	Пятый	Шестой	Седьмой
Число построенных квартир, тыс.шт.	88,5+47	92,1+47	99,7+ 47	92,7+ 47	94,4+ 47	86,9 + 47	75,7+ 47
	135,5	139,1	146,7	139,7	141,4	133,8	122,7

 

Решение.

Важнейшим статистическим показателем  является абсолютный прирост, который  показывает абсолютную скорость роста  или снижения сравниваемых уровней, и рассчитывается как разность между  этими уровнями (между последующим  и предыдущим уровнем, принятым за базу сравнения). Измеряется в тех же единицах, что и исходная информация.

,   .   (4.1)

где y_i - значение сравниваемого уровня ряда динамики;

 y₀ - значение базисного уровня ряда динамики;

 y_i-1 - значение предшествующего уровня ряда динамики.

Базисные показатели характеризуют  итоговый результат всех изменений  в уровнях ряда от периода базисного  уровня до данного (i-го) периода. Цепные показатели характеризуют интенсивность изменения уровня от одного периода к другому в пределах того промежутка времени, который исследуется.

Темп (коэффициент) роста показывает относительную  скорость роста уровня ряда динамики и представляет собой отношение  каждого последующего уровня к предыдущему, принятому за базу сравнения.

Темп  роста определяется по формуле:

     .   (4.2)

Темп (коэффициент) прироста показывает на сколько процентов изменился  сравниваемый уровень с уровнем, принятым за базу сравнения. Темп прироста базисный и цепной определяется по формуле:

.    .  (4.3)

Абсолютное  значение 1 % прироста определяется отношением абсолютного прироста к темпу прироста, и показывает сколько единиц в абсолютном выражении приходится на 1% прироста для данного ряда динамики. Расчет этого показателя целесообразен для цепного способа, для базисного способа он не имеет смысла (будет постоянной величиной).

.  (4.4)

Средний темп роста ( )

.   (4.5)

Средний темп прироста равен .

Вычисленные показатели представим в таблице 4.2.

 

 

Таблица 4.2 - Вычисленные показатели динамического ряда

Условный год	Первый	Второй	Третий	Четвертый	Пятый	Шестой	Седьмой
Число построенных квартир, тыс.шт.	135,5	139,1	146,7	139,7	141,4	133,8	122,7
Абсолютный прирост, тыс.шт.
базисный (к первому году)	-	3,6	11,2	4,2	5,9	-1,7	-12,8
цепной	-	3,6	7,6	-7	1,7	-7,6	-11,1
Темпы роста, %
базисный (к первому году)	-	102,6	108,3	103,1	104,4	98,7	90,5
цепной	-	102,6	105,5	95,2	101,2	94,6	91,7
Темпы прироста, %
базисный (к первому году)	-	2,6	8,3	3,1	4,4	-1,3	-9,5
цепной	-	2,6	5,5	-4,8	1,2	-5,4	-8,3
Абсолютное содержание одного процента прироста, тыс. шт	-	1,356	1,391	1,467	1,397	1,414	1,338

 

Цепные  показатели абсолютного прироста свидетельствуют  о замедлении темпов роста числа  построенных квартир  в первом- третьим, пятом годах и его  падении в шестом- седьмом и  четвертом годах, хотя в седьмом  году падение числа построенных  квартир было большим, чем в четвертом  и шестом годах.

За семь лет средний абсолютный прирост  исследуемого показателя составил минус 2,133 тыс.шт.(-12,8/(7-1)), т.е. наблюдается  снижение числа построенных квартир  в среднем на 2,133 тыс.шт. в год).

Средний темп роста равен 0,905 или 90,5 %, т.е. средний прирост числа построенных квартир составил минус 9,5 % (90,5-100).

 или 90,5 %.

Среднегодовое число построенных квартир равно 137 тыс.шт.  ((135,5+139,1+146,7+139,7+141,4+133,8+122,7)/7).

Сокращение  числа построенных квартир  отражено на рисунке 4.1, где представлены фактические  и сглаженные уровни динамического  ряда.

Сглаженные  уровни определяются по формуле прямой:

У=-1,9393ч+147,74,    (4.6).

где У - число  построенных квартир;

 х  – номер года.

 

Уравнение прямой получено следующим образом. Строится график числа построенных  квартир  , на него добавляется линия  тренда (правая клавиша мыши на выделенном графике – «Добавить линию  тренда»). В Окне «Добавить линию  тренда» в закладке «Тип» выбираем линейная, в закладке «Параметры»  ставим галочку напротив   показывать уравнение на диаграмме.

Рисунок 4.1 - Графическое представление числа построенных квартир

 

Сглаженный  ряд более наглядно показывает тенденцию  снижения числа построенных квартир  из года в год, которая в исходном ряду несколько «затушевалась» скачкообразными  колебаниям уровней. Эффект сглаживания, устраняющего колебания уровней  за счет случайных причин, хорошо виден  при графическом изображении  фактических и сглаженных уровней (таблица 4.3).

 

Таблица 4.3 – Ввод в действие жилых  домов

В тыс.шт.

Показатель	Первый	Второй	Третий	Четвертый	Пятый	Шестой	Седьмой
Фактические уровни	138,5	142,1	149,7	142,7	144,4	136,8	125,7
Сглаженные уровни	145,8	143,9	141,9	140,0	138,0	136,1	134,2