Контрольная работа по дисциплине «Статистика сферы гостеприимства»

Обнаружение автокорреляции

1. Графический  метод

Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения εi с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения εi (либо оценки отклонений).

Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.

Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости εi от εi-1

2. Коэффициент  автокорреляции.

 

Если коэффициент автокорреляции rei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.

Для определения степени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки. Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле:

 

Коэффициенты автокорреляции случайных данных должны обладать выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным

 

Если коэффициент автокорреляции первого порядка r1 находится в интервале:

-2.228 • 0.289 < r1 < 2.228 • 0.289

то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка.

Используя расчетную таблицу, получаем:

 

Свойство независимости остатков не выполняется. Присутствует автокорреляции.

3. Критерий Дарбина-Уотсона.

Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.

 

 

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
760	1029.82	-269.82	72803.11	0
780	1045.16	-265.16	70307.8	21.76
820	1060.49	-240.49	57836.33	608.33
1200	1075.83	124.17	15418.81	132980.08
1346	1091.16	254.84	64941.81	17073.17
1400	1106.5	293.5	86142.93	1494.93
1420	1121.83	298.17	88902.67	21.76
1500	1137.17	362.83	131645.49	4181.48
1360	1152.51	207.49	43053.83	24129.17
1200	1167.84	32.16	1034.17	30742.6
800	1183.18	-383.18	146824.73	172503.71
784	1198.51	-414.51	171820.88	981.92
			950732.55	384738.9

 

 

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

 

 

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 12 и количества объясняющих переменных m=1.

Автокорреляция отсутствует, если выполняется следующее условие:

d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Поскольку 1.5 > 0.4 < 2.5, то автокорреляция остатков присутствует.

Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

По таблице Дарбина-Уотсона для n=12 и k=1 (уровень значимости 5%) находим: d1 = 1.08; d2 = 1.36.

Поскольку 1.08 > 0.4 и 1.36 > 0.4 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков присутствует.

Проверка наличия гетероскедастичности.

1) Методом графического анализа остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения ei, либо их квадраты e2i.

Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности.

2) При помощи  теста ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку ei и фактору X.

 

X	ei	ранг X, dx	ранг ei, dy
1	269.82	1	7
2	265.16	2	6
3	240.49	3	4
4	124.17	4	2
5	254.84	5	5
6	293.5	6	8
7	298.17	7	9
8	362.83	8	10
9	207.49	9	3
10	32.16	10	1
11	383.18	11	11
12	414.51	12	12

Матрица рангов.

 

ранг X, dx	ранг ei, dy	(dx - dy)2
1	7	36
2	6	16
3	4	1
4	2	4
5	5	0
6	8	4
7	9	4
8	10	4
9	3	36
10	1	81
11	11	0
12	12	0
78	78	186

Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:

 

Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно.

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

 

 

Связь между признаком ei и фактором X слабая и прямая

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе Hi. p ≠ 0, надо вычислить критическую точку:

 

где n - объем выборки; p - выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2.

Если |p| < Тkp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| > Tkp - нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

По таблице Стьюдента находим t(α/2, k) = (0.05/2;10) = 2.228

 

Поскольку Tkp > p, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначимая.

Проверим гипотезу H0: гетероскедастичность отсутсвует.

Поскольку 2.228 > 0.66, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

 

3. Тест Голдфелда-Квандта.

В данном случае предполагается, что стандартное отклонение σi = σ(εi) пропорционально значению xi переменной X в этом наблюдении, т.е. σ2i = σ2x2i , i = 1,2,…,n.

Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем:

1. Все n наблюдений упорядочиваются  по величине X.

2. Вся упорядоченная выборка  после этого разбивается на  три подвыборки размерностей k,(n-2k),k.

3. Оцениваются отдельные  регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений).

4. Для сравнения соответствующих  дисперсий строится соответствующая F-статистика:

F = S3/S1

Построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v1 = v2 = (n – c - 2m)/2.

5. Если F > Fkp, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Этот же тест может использоваться при предположении об обратной пропорциональности между σi и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера имеет вид:

F = S1/S3

1. Упорядочим все значения  по величине X.

2. Находим размер подвыборки k = (12 - 3)/2 = 5.

где c = 4n/15 = 4*12/15 = 3

3. Оценим регрессию для  первой подвыборки.

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑t = ∑y

a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

5a0 + 15a1 = 4906

15a0 + 55a1  = 16310

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = 159.2, a1 = 503.6

 

 

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(y-y(x))2
1	760	1	577600	760	662.8	9447.84
2	780	4	608400	1560	822	1764
3	820	9	672400	2460	981.2	25985.44
4	1200	16	1440000	4800	1140.4	3552.16
5	1346	25	1811716	6730	1299.6	2152.96
15	4906	55	5110116	16310	4906	42902.4

 Здесь S1 = 42902.4

Оценим регрессию для третьей подвыборки.

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑t = ∑y

a0∑t + a1∑t2 = ∑y•t

Для наших данных система уравнений имеет вид:

5a0 + 50a1 = 5644

50a0 + 510a1  = 54448

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = -199.2, a1 = 3120.8

x	y	x2	y2	x • y	y(x)	(y-y(x))2
8	1500	64	2250000	12000	1527.2	739.84
9	1360	81	1849600	12240	1328	1024
10	1200	100	1440000	12000	1128.8	5069.44
11	800	121	640000	8800	929.6	16796.16
12	784	144	614656	9408	730.4	2872.96
50	5644	510	6794256	54448	5644	26502.4

 

Здесь S3 = 26502.4

Число степеней свободы v1 = v2 = (n – c - 2m)/2 = (12 - 3 - 2*1)/2 = 3.5

Fkp(3.5,3.5) = 7.71

Строим обратную F-статистику: