Контрольная работа по дисциплине «Статистика сферы гостеприимства»

 

 

В целях изучения динамики названного показателя на основе приведенных данных:

1) построить единый ряд  динамики объема поступлений  доходов по месяцам данных лет (размерность ряда - 36 элементов);

2) с помощью метода  наименьших квадратов оценить  параметры выявленного тренда объема продаж;

3) для описания сезонности  исчислить помесячные индексы  сезонности;

4) оценить интервальные  характеристики уровней месячных объемов поступлений дохода на 4-ый год при следующих уровнях вероятности получения достоверного прогноза: 0,954 (для девушек) и 0,997 (для юношей);

5) построить графическую  характеристику прогноза;

6) сделать выводы.

Решение:

 

массив 1

При выборе вида функции тренда можно воспользоваться методом конечных разностей (обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда).

Конечными разностями первого порядка являются разности между последовательными уровнями ряда:

Δ1t = Yt - Yt-1

Конечными разностями второго порядка являются разности между последовательными конечными разностями 1-го порядка:

Δ2t = Δ1t - Δ1t-1

Конечными разностями j-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j–1)-го порядка:

Δjt = Δj-1t - Δj-1t-1

Если общая тенденция выражается линейным уравнением Y = a + bt, тогда конечные разности первого порядка постоянны: Δ12 = Δ13 = ... = Δ1n, а разности второго порядка равны нулю.

Если общая тенденция выражается параболой второго порядка: Y = a+ bt + ct2, то получим постоянными конечные разности второго порядка: Δ23 = Δ24 = ... = Δ2n, нулевыми – разности третьего порядка.

Если примерно постоянными оказываются темпы роста, то для выравнивания применяется показательная функция.

При выборе формы уравнения следует исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия качества уравнения регрессии, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений уровня ряда от значений уровней, рассчитанных по уравнению тренда.

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия. Другим статистическим критерием является коэффициент множественной детерминации R2.

yi	Δ1t	Δ2t	Темп роста
760	-	-	-
780	20	-	1.03
820	40	20	1.05
1200	380	340	1.46
1346	146	-234	1.12
1400	54	-92	1.04
1420	20	-34	1.01
1500	80	60	1.06
1360	-140	-220	0.91
1200	-160	-20	0.88
800	-400	-240	0.67
784	-16	384	0.98

 

 Линейное уравнение  тренда имеет вид y = a1t + a0

1. Находим параметры  уравнения методом наименьших  квадратов.

Система уравнений МНК:

a0n + a1∑t = ∑y

a0∑t + a1∑t2 = ∑y • t

t	y	t2	y2	t y
1	760	1	577600	760
2	780	4	608400	1560
3	820	9	672400	2460
4	1200	16	1440000	4800
5	1346	25	1811716	6730
6	1400	36	1960000	8400
7	1420	49	2016400	9940
8	1500	64	2250000	12000
9	1360	81	1849600	12240
10	1200	100	1440000	12000
11	800	121	640000	8800
12	784	144	614656	9408
78	13370	650	15880772	89098

 

 

Для наших данных система уравнений имеет вид:

12a0 + 78a1 = 13370

78a0 + 650a1  = 89098

 

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение

Получаем a0 = 1014.485, a1 = 15.336

Уравнение тренда:

y = 15.336 t + 1014.485

Эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Коэффициент тренда b = 15.336 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. В данном примере с увеличением t на 1 единицу, y изменится в среднем на 15.336.

Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации.

 

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

 

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда.

Однофакторный дисперсионный анализ.

Средние значения

 

 

 

Дисперсия

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

 

где

 

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабая;

0.3 < η < 0.5: умеренная;

0.5 < η < 0.7: заметная;

0.7 < η < 0.9: высокая;

0.9 < η < 1: весьма высокая;

Полученная величина свидетельствует о том, что изменение временного периода t не существенно влияет на y.

Коэффициент детерминации.

 

 

т.е. в 3.42% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - низкая.

Для оценки качества параметров уравнения построим расчетную таблицу (табл. 2) 

t	y	y(t)	(y-ycp)2	(y-y(t))2	(y-y(t)) : y
1	760	1029.82	125434.03	72803.11	0.36
2	780	1045.16	111667.36	70307.8	0.34
3	820	1060.49	86534.03	57836.33	0.29
4	1200	1075.83	7367.36	15418.81	0.1
5	1346	1091.16	53746.69	64941.81	0.19
6	1400	1106.5	81700.69	86142.93	0.21
7	1420	1121.83	93534.03	88902.67	0.21
8	1500	1137.17	148867.36	131645.49	0.24
9	1360	1152.51	60434.03	43053.83	0.15
10	1200	1167.84	7367.36	1034.17	0.0268
11	800	1183.18	98700.69	146824.73	0.48
12	784	1198.51	109010.03	171820.88	0.53
		13370	984363.67	950732.55	3.13

 

 

2. Анализ точности  определения оценок параметров  уравнения тренда.

Стандартная ошибка уравнения.

 

где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

 

 

 

 

Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

Uy = yn+L ± K

где

 

L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

Точечный прогноз, t = 13: y(13) = 15.34*13 + 1014.48 = 1213.85

 

1213.85 - 806.66 = 407.19 ; 1213.85 + 806.66 = 2020.51

Интервальный прогноз:

t = 13: (407.19;2020.51)

3. Проверка гипотез  относительно коэффициентов линейного  уравнения тренда.

1) t-статистика. Критерий  Стьюдента.

 

 

Статистическая значимость коэффициента b не подтверждается

 

 

Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.

Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:

(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)

(15.336 - 2.228•25.78; 15.336 + 2.228•25.78)

(-42.11;72.78)

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима.

(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(1014.485 - 2.228•189.77; 1014.485 + 2.228•189.77)

(591.68;1437.29)

2) F-статистика. Критерий  Фишера.

 

 

Находим из таблицы Fkp(1;10;0.05) = 4.96

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим

 

 

t	y	y(t)	|y - y(t)|
1	760	1029.82	269.82
2	780	1045.16	265.16
3	820	1060.49	240.49
4	1200	1075.83	124.17
5	1346	1091.16	254.84
6	1400	1106.5	293.5
7	1420	1121.83	298.17
8	1500	1137.17	362.83
9	1360	1152.51	207.49
10	1200	1167.84	32.16
11	800	1183.18	383.18
12	784	1198.51	414.51

 

 

 

 

Проверка на наличие автокорреляции остатков.

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений   от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.

В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).

Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:

1. Ошибки спецификации. Неучет  в модели какой-либо важной  объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

2. Инерция. Многие экономические  показатели (инфляция, безработица, ВНП  и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

3. Эффект паутины. Во многих  производственных и других сферах  экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).

4. Сглаживание данных. Зачастую  данные по некоторому продолжительному  временному периоду получают  усреднением данных по составляющим  его интервалам. Это может привести  к  определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.