Характеристика уровня труда населения Тюменской области

Порядок расчета скользящих средних по данным о развитии населения  Тюменской области приведены  в Табл.2.2 и Табл.2.3. Сглаживание проводится по трем членам (уровням):

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.2

 

Расчет скользящей средней по данным о численности населения Тюменской области за 1995-2004 гг. по трем уровням

 

Год	Численность населения, тыс.чел.	Скользящая сумма трех уровней	Скользящая средняя  из трех уровней
1995	3187	-	-
1996	3197	9612	3204
1997	3228	9669	3223
1998	3244	9709	3236
1999	3237	9735	3245
2000	3254	9763	3254
2001	3272	9791	3264
2002	3265	9807	3269
2003	3270	9825	3275
2004	3290	-	-

 

Полученный сглаженный ряд (см. последний столбец Табл.2.2) более наглядно демонстрирует тенденцию  к увеличению уровней численности  населения Тюменской области  из года в год, которая в исходном ряду несколько затушевывалась скачкообразными колебаниями уровней. Рассматриваемую тенденцию можно наглядно проследить на графике (Рис.2.1):

Рис.2.1

Таблица 2.3

 

Расчет скользящей средней  по данным о среднедушевых денежных доходах населения Тюменской области за 1995-2004 гг. по трем уровням

 

Год	Среднедушевые денежные доходы населения, тыс.руб.	Скользящая сумма трех уровней	Скользящая средняя  из трех уровней
1995	1085	-	-
1996	1202	3571	1190
1997	1284	3520	1173
1998	1034	3235	1078
1999	917	3073	1024
2000	1122	3358	1119
2001	1319	3796	1265
2002	1355	4178	1393
2003	1504	4435	1478
2004	1576	-	-

 

Сглаженный ряд (см. последний  столбец Табл.2.3) более наглядно изображает тенденцию к снижению объема среднедушевых денежных доходов населения до 1999 г., а далее повышение последующих показателей.  Рассматриваемую тенденцию можно наглядно проследить на графике (Рис.2.2):

 

Рис.2.2

 

 

Рассмотренные приемы сглаживания  динамических рядов могут рассматриваться  как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов и, в частности, более строгих методов выявления тенденции. Для того чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени, используется следующий метод.

3. Аналитическое выравнивание ряда динамики.

В этом случае фактические  уровни заменяются уровнями, вычисленными на основании определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени , где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t. Наиболее часто используются следующие простейшие функции:

1. Линейная функция (2.1):

 

(2.1)

 

Данная функция эффективна для рядов динамики, уровни которых  изменяются примерно в арифметической прогрессии.

2. Парабола второго порядка (2.2):

 

,                         (2.2)

 

Данная функция применяется, если вторые разности уровней (ускорения) более или менее постоянны.

3. Показательная функция (2.3):

 

(2.3)

 

Данная функция применяется, если значения уравнений меняются в  геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста примерно постоянны.

4. Гиперболическая функция (2.4):

 

, (2.4)

 

Данная функция применяется, если обнаружено замедленное снижение уровней ряда.

5. Ряд Фурье (2.5):

 

(2.5)

 

 

где – теоретические (выравненные) уровни, t – условное обозначение времени, – параметры аналитической функции, k – число гармоник.

Следующим шагом после  выяснения характера кривой развития является определение ее параметров. Для этого существует несколько способов:

1. Элементарный метод определения параметров уравнения тренда состоит в решении системы уравнений по известным уровням ряда динамики. Если дан ряд динамики, то, приняв условные обозначения времени через t  и две точки (конечный и начальный уровни), можно построить уравнение прямой по этим двум точкам.

В результате при выравнивании по прямой линии  , получают откуда если применить это требование к каждой из двух частей ряда, то, вычисляя для каждой части динамического ряда и , получают два уравнения с двумя неизвестными. В результате решения уравнений находят параметры.

Отрицательным моментом в таком моделировании тренда являются разные числовые выражения параметров в различных точках их определения.

2. Метод средних значений (линейных отклонений) заключается в следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части и вводится требование, чтобы сумма выравненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, другими словами чтобы сумма отклонений фактических данных от выравненных равнялась нулю.

Данный метод прост  и требует минимального количества вычислений. Его недостаток заключается в том, что при произвольном расчленении ряда на две части могут получиться разные результаты.

3. Метод конечных разностей основан на свойствах различных кривых, применяемых при выравнивании.

Пусть дан ряд динамики у_t, который описывается полиномом р-й степени. Для полинома вычисляются следующие разности:

• постоянные первые разности: ;
• нулевые вторые разности: ;
• и т.д.

Формула для расчета  уровней ряда динамики при равных или почти равных первых разностях  имеет вид (2.6):

 

(2.6)

 

Если вторые разности практически равны, то вычисляя коэффициенты параболы второго порядка, получают тренд ряда динамики (2.6):

 

                                                                 (2.7)

 

где - выравненное значение ряда динамики;

- средний уровень ряда динамики;

- средняя арифметическая первых  разностей;

- средняя арифметическая вторых  разностей;

n – число уровней;

t – условное обозначение времени.

 

4. Метод наименьщих квадратов (МНК) используется при расчете параметров уравнений тренда. Сущность этого метода заключается в нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению, т.е.

Выравнивание рядов  динамики по некоторым аналитическим  функциям и использование методов  определения их параметров приведены  ниже.

1. Выравнивание по линейной функции.

Нужно определить аналитическое  выравнивание, иными словами составить  уравнение тренда, по данным о численности  населения Тюменской области  за 1995-2004 гг. В качестве гипотетической функции теоретических уровней можно принять прямую .

Для определения параметров аналитического уравнения при выравнивании данного  ряда можно использовать МНК. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид (2.8):

 

                                                                               (2.8)

 

В данном случае отсчет времени ведется  от середины ряда, так как число  уровней ряда четное (n=10). Два серединных момента следует обозначить как -1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через . Следовательно сумма показателей времени будет равна нулю ( ) и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом (2.9):

 

                                                                      (2.9)

 

 

 Расчеты параметров уравнений прямой приведены в Табл.2.4:

 

Таблица 2.4

 

Расчет теоретических уровней  линейного тренда от середины ряда

 

Год	Численность населения, тыс.чел. yi	Условные обозначения  периодов, ti	ti2	yiti	Выравненные уровни,
1	2	3	4	5	6
1995	3187	-5	25	-15935	3199,36
1996	3197	-4	16	-12788	3208,36
1997	3228	-3	9	-9684	3217,37
1998	3244	-2	4	-6488	3226,38
1999	3237	-1	1	-3237	3235,39
2000	3254	1	1	3254	3253,41
2001	3272	2	4	6544	3262,42
2002	3265	3	9	9795	3271,43
2003	3270	4	16	13080	3280,44
2004	3290	5	25	16450	3289,45
Итого	32444	0	110	991	32444,01

 

Подставив данные суммы (графы 2, 4, и 5) в указанные уравнения можно получить, при n=14, следующие результаты:

 

                              

 

По рассчитанным параметрам записывается уравнение прямой ряда динамики:

 

(2.10)

 

 

В графе 6 Табл.2.4 приведены теоретические  уровни, рассчитанные по уравнению (2.10) (путем подстановки в него значений t_i).

Правильность расчета уровней  выравниваемого ряда динамики может  быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных  уровней выравненного ряда, т.е. (итоги гр. 2 и 6).

Коэффициент регрессии в уравнении (2.10) равен  и характеризует среднее годовое изменение (уменьшение) численности населения Тюменской области за 1995-2004 гг.

2. Выравнивание по параболе второго порядка.

Нужно определить аналитическое выравнивание, иными словами составить уравнение тренда, по данным о среднедушевых денежных доходах населения Тюменской области за 1995-2004 гг. В качестве гипотетической функции теоретических уровней можно принять прямую .

Параметры искомого уравнения тренда ( ) находятся при решении системы нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов (МНК). Отсчет уровней, как и в предыдущем случае, ведется от середины ряда. Необходимые расчеты приведены в Табл.2.5.

Следовательно сумма показателей  времени будет равна нулю ( ) и система нормальных уравнений преобразуется следующим образом (2.11):

 

                   (2.11)

При подстановке в (2.11) рассчитанных значений, которые получены в Табл.2.5, получаются следующие результаты:

 

Затем несложно найти  :

 

При совместном решении  первого и третьего уравнения  системы можно найти: и

После нахождения всех искомых  параметров можно составить уравнение  тренда (2.12):

 

(2.12) 
 

В графе 8 Табл.2.5 приведены  теоретические уровни, рассчитанные по уравнению (2.12) (путем подстановки  в него значений t_i).

 

Таблица 2.5

 

Выравнивание ряда динамки  по параболе второго порядка от середины ряда

 

Год	Среднедушевые денежные доходы населения, тыс.руб. yi	Условные обозначения  периодов, ti	ti2	ti4	yiti	yiti2	Выравненные уровни,
1	2	3	4	5	6	7	8
1995	1085	-5	25	625	-5425	27125	1190,24
1996	1202	-4	16	256	-4808	19232	1128,48
1997	1284	-3	9	81	-3852	11556	1089,84
1998	1034	-2	4	16	-2068	4136	1074,32
1999	917	-1	1	1	-917	917	1081,92
2000	1122	1	1	1	1122	1122	1166,48
2001	1319	2	4	16	2638	5276	1243,44
2002	1355	3	9	81	4065	12195	1343,52
2003	1504	4	16	256	6016	24064	1466,72
2004	1576	5	25	625	7880	39400	1613,04
Итого	12398	0	110	1958	4651	145023	12398