Система автоматического регулирования частоты вращения двигателя постоянного тока

   Воспользуемся прикладной программой MATLAB для построения ЛАЧХ разомкнутой системы.

   Зададим передаточную функцию разомкнутой  системы и с помощью команды  bode() построим ЛАЧХ системы (рис.16,17):

   

 

Рис. 16. Передаточная функция разомкнутой системы в программе MATLAB

Рис. 17. ЛАЧХ разомкнутой системы, построенной в среде MATLAB 

   Из  графиков определяем запас по фазе и по модулю:

     

   Определим запас по амплитуде:

   . 

   Проверяя  систему по критерию Найквиста, из графика  видим, что:

1. Частота, на которой ФЧХ пересекает ось –π больше, чем частота среза;
2. В диапазоне положительности ЛАЧХ ФЧХ не пересекает ось –π, следовательно, разность между переходами равна 0.

    Таким образом, критерий выполняется, следовательно, система устойчива.

 

9. ЛАЧХ  и АФЧХ по передаточной функции

   Построим  ЛАЧХ и АФЧХ по выражению передаточной функции:

   

1. Cлегка видоизменяем:

 

2. Разбиваем на элементарные звенья

 

1. Пропорциональное  звено:

 
 

2. Идеальное интегрирующее:

 

Угол наклона  ЛАЧХ -20дб/дек

Угол ФЧХ 

3. Форсирующее звено:

 

Угол наклона  ЛАЧХ +20дб/дек

Угол ФЧХ 

Частота сопряжения

4. Реальное интегрирующее:

 

Угол наклона  ЛАЧХ -20дб/дек

Угол ФЧХ 

Частота сопряжения  
 
 
 
 
 
 

5. Реальное  интегрирующее:

 

Угол наклона  ЛАЧХ -20дб/дек

Угол ФЧХ 

Частота сопряжения

6. Реальное интегрирующее:

 

Угол наклона  ЛАЧХ -20дб/дек

Угол ФЧХ 

Частота сопряжения  

 

 

 

10.   Определение критического коэффициента усиления по критерию Гурвица

 

   Критерий  Гурвица:

   Для того чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица имели знаки положительные. Эти миноры называются определителями Гурвица.

   Составим  определитель Гурвица по следующему алгоритму:

1. По главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения, от до .
2. От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз.
3. На место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Если определитель Гурвица равен 0, то система находится  на границе устойчивости.

Составим определитель Гурвица: 

, где а₀…а₄ – коэффициенты характеристического уравнения. 
 
 

;

.

Получаем, что  K_рс==. 

Численно:

 
 
 

;

. 

Получаем: K_рс== 

     Т.о., все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны, и определители Гурвица имеют знаки, одинаковые со знаками коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы, т.е. также положительны, и, следовательно, критерий выполняется.

     Определим критический коэффициент усиления разомкнутой системы (определим границу нейтральности САР), для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаем преобразования. 
 

Получаем определитель:  

Так как , то выражаем  
 

В итоге получаем: 

Т.о., система  находится на границе устойчивости при критическом коэффициенте усиления =  

 

11.    Построение области устойчивости в плоскости одного параметра - _Крс

 

     Область устойчивости - это совокупность значений параметров системы, при которых  она устойчива.

     В характеристическом уравнении:

 
 

 
 

Произведем замену и выразим  _Крс:

 
 
 
 
 

Представим параметр К_рс в виде К_рс = U(ω) + jV(ω) и выделим U(ω) и V(ω):

 
 
 
 

Построим кривую Д-разбиения (рис.18):

 
 

 

Рис. 18. Кривая Д-разбиения

 

     Штриховка наносится слева по ходу возрастания  частоты и областью-претендентом на устойчивость является та, где штриховка  направлена внутрь. В нашем случае это область I.

     Для окончательного ответа, возьмем точку  внутри области-претендента и при  этом значении Krc, проверим систему на устойчивость по корням характеристического уравнения.

     Крс=50

     

       
 
 
 
 
 
 

     Полученные  корни левые, и, следовательно, система устойчива. 
 

 

12.    Переходная характеристика системы при нулевых начальных условиях и ее показатели качества

   Для построения переходной характеристики воспользуемся  прикладной программой MATLAB. Зададим передаточную функцию замкнутой системы по задающему воздействию (рис.19). 
 
 

Рис. 19. Передаточная функция заданной системы в среде MATLAB 

С помощью команды  step() построим переходную характеристику системы (рис.20):

Рис. 20. Переходная характеристика системы при нулевых начальных условиях 

Определим показатели качества САР частоты вращения турбореактивного двигателя:

1. Время регулирования () – минимальное время, по истечении которого, регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению (рис.21):

 

Рис. 21. Определение времени регулирования в среде MATLAB

Из графика  получаем значение – t_p = 1,47с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Перерегулирование () – максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения (рис.22).

         Рис. 22. Определение перерегулирования в среде MATLAB

Из графика  получим значение _: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Время нарастания - время, необходимое для достижения 90% значения первого максимума (рис.23)

Рис. 23. Определение времени нарастания в среде MATLAB

h_max· 90% = 214·0.9 = 193;

Из графика  – t_нар = 0.501 с. 
 
 
 
 
 
 
 

4. Число колебаний  и период.

Рисунок 24. Период колебаний.

Число колебаний  за время регулирования 

Период колебаний  Т=1,135 с

Характер переходного  процесса – периодический.

  Тип звена  – колебательное звено. 
 
 
 
 

13.   Статическая ошибка системы

 

         В установившемся режиме работы существует так называемая статическая ошибка.

      Статическая ошибка - ошибка в установившемся режиме работы системы при действии на нее постоянного сигнала. Полная ошибка (ε_p) регулирования равна сумме ошибки по задающему и ошибки по возмущающему воздействиям:  

Первую  составляющую полной ошибки регулирования  в системах стабилизации (u(t) = const) можно свести к нулю путем масштабирования. Тогда точность системы регулирования будет полностью характеризоваться статической ошибкой  

Где - передаточная функция по возмущающему воздействию.

  следовательно:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вывод

 

     Практическая  пригодность САУ, определяется ее устойчивостью  и приемлемым качеством процесса управления (регулирования). На любую  САУ действуют различные внешние  возмущения, которые могут нарушать ее нормальную работу. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях.

     В простейшем случае, понятие устойчивость системы связана со способностью ее возвращения к исходному состоянию после кратковременного внешнего воздействия. Если система неустойчивая, она не возвращается к состоянию равновесия, из которого по каким-то причинам вышла.

      Исследование  системы автоматического регулирования частоты вращения турбореактивного двигателя было проведено с помощью математических методов и программных пакетов MATHCAD и MATLAB.

      Данная  система устойчива, что было доказано четырьмя различными способами: по корням характеристического уравнения, по критериям Гурвица, Михайлова и  Найквиста. Самыми простыми для реализации проверки стали метод оценки устойчивости САР по корням и критерий Гурвица, т.к. подсчеты в этих двух методах  оказались компактными и простыми благодаря тому, что система имеет  всего лишь 4 порядок.

      Изученная система имеет хорошие показатели качества, такие как:

низкое  время перерегулирования , что характеризует быстродействие системы, нулевая статическая ошибка , как показатель качества и точности системы. Также система имеет маленькие скачки в колебаниях в динамике регулирования . Это может указывать на низкую вероятность того, что система может выйти из строя. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

14. Список  использованных источников

 

1. Задачник  по теории автоматического регулирования : учебное пособие / Ю. И. Топчеев, А. П. Цыпляков. — М. : Машиностроение, 1977. — 592 с.