Разработка системы связи для передачи дискретных сообщений

9.3 Определение условных  вероятностей ошибки и средней вероятности ошибки.

Для определения условных вероятностей ошибки и средней вероятности ошибки при когерентном приеме с использованием согласованного фильтра необходимо найти дисперсию шума на выходе и  рассмотреть гауссовы плотности распределения вероятностей.

Мы можем найти дисперсию по формуле:

О помехе нам известно, что это квазибелый шум с нулевым средним, а значит имеет следующую СПМ:

Учитывая, что в данной полосе частот содержится 99% энергии сигнала, найдем F:

Решая данное уравнение, получим: F = 11.4*106 Гц – полоса частот, в которой сосредоточена мощность шума.

Найдём N0:

N0 = 1/(11.4*106) = 8.75*10-8 В2/Гц.

Теперь можем найти СКО на выходе согласованного фильтра:

 

 

Зная СКО на выходе, мы можем определить и построить ПРВ на выходе согласованного фильтра:

Постоим график и найдем порог согласно критерию идеального наблюдателя:

Рис. 13. График ПРВ на выходе согласованного фильтра.

В данном случае порог равен уп = 0.000001764 В. Зная порог, определим условные вероятности ошибок:

Найдем среднюю вероятность ошибки:

Для наглядности сравним полученные средние вероятности ошибки:

При когерентном приеме	При некогерентном приеме	При использовании согласованного фильтра
р =0.0807	р = 0.145	р = 0

Можно  сделать вывод о том, что использование согласованного фильтра значительно уменьшает среднюю вероятность ошибки.

 

 

9.4 Определение выигрыша  в отношении сигнал\шум за счет  согласованной фильтрации.

Для начала определим отношение сигнал\шум по напряжению и по мощности на входе согласованного фильтра:

Отношения сигнал\шум по напряжению и по мощности на выходе согласованного фильтра:

Выигрыш в ОСШ напряжению и по мощности составит:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Структурная схема  связи согласно пункту 2.5.

Если в канале действуют помехи, то при приёме сигналов возникают ошибки, приводящие к неправильному декодированию сообщений. В таких случаях выдвигается на передний план задача повышения верности передачи. Одним из путей ее решения является помехоустойчивое (канальное) кодирование. Помехоустойчивыми или корректирующими кодами называются коды, обеспечивающие автоматическое обнаружение и/или исправление ошибок в кодовых комбинациях. Такая возможность обеспечивается целенаправленным введением избыточности в передаваемые сообщения.

С учётом сказанного выше, изобразим структурную схему системы связи для передачи дискретных сообщений, использующую помехоустойчивое (канальное) кодирование.

 

 

 

 

 

 

 

Рис.14. Структурная схема системы связи для передачи дискретных сообщений при помехоустойчивом кодировании.

 

Эта схема выглядит аналогично структурной схеме системы связи, рассмотренной в первом пункте курсовой работы. Отличие заключается в строении кодера. В системе связи для передачи дискретных сообщений с помехоустойчивым кодированием имеется кодер источника, необходимый для экономного кодирования, а также канальный кодер и канальный декодер. Канальный кодер обеспечивает повышение помехоустойчивости путем введения избыточности в передаваемые сообщения. Канальный декодер проверяет наличие ошибок в коде и исправляет их.

Декодирование осуществляется в следующем порядке: вначале производится декодирование помехоустойчивого кода, а затем на основе полученной двоичной последовательности производится восстановление символов исходного алфавита.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Описание принципов помехоустойчивого кодирования при передаче дискретных сообщений. Построение (7,4) - кода Хемминга.

В настоящее время известно множество кодов, которые применяются для канального кодирования, они подразделяются на классы по различным признакам.

Например, если информационная последовательность символов источника (после экономного кодирования) разбивается на блоки, кодируемые независимо друг от друга, то код называется блочным, если же информационная последовательность кодируется без разбиения, код называют непрерывным. Блочные коды - равномерны.

Если в кодовом слове можно выделить информационные символы, служащие для передачи сообщения, и проверочные символы, предназначенные для обнаружения и исправления ошибок, код называют разделимым; если такое разбиение осуществить нельзя, код - неразделим. Разделимые коды, в свою очередь, могут быть линейные и нелинейные.

Линейные блочные коды. Блочный равномерный код состоит из кодовых слов (комбинаций) одинаковой длины . Элементы кодовых слов выбираются из некоторого алфавита (канальных) символов объемом . Если , код называется двоичным. Поскольку все кодовые слова имеют одинаковую длину, удобно считать их векторами, принадлежащими линейному пространству размерности .

Всего можно образовать -мерных векторов с двоичными компонентами (кодовых комбинаций или слов). Из них только , комбинаций являются разрешенными и составляют код, который называется -кодом . Остальные комбинации в кодере образоваться не могут (являются запрещенными), но могут получиться из разрешенных под воздействием помех в канале. Поэтому если в приёмнике имеет место запрещенная комбинация, следовательно, при передаче по каналу произошла ошибка. Разрешенные комбинации, как векторы линейного пространства, должны отстоять друг от друга достаточно далеко. Чем больше расстояние между разрешенными комбинациями, тем меньше вероятность преобразования их друг в друга под действием помех, тем выше способность кода к обнаружению ошибок.

Более того, при приёме запрещенной комбинации можно не только обнаруживать, но и исправлять ошибки. Для этого декодер должен принимать решение о переданной комбинации на основе расстояния между принятой запрещенной комбинацией и ближайшей разрешенной. Таким образом, чем дальше друг от друга разрешенные комбинации, тем выше корректирующая способность кода. Алгоритм работы декодера формально сводится к разбиению всего пространства на области , , каждая из которых содержит одну разрешенную комбинацию . Если принятая комбинация принадлежит области , то декодер принимает решение о том, что передавалась разрешенная комбинация .

Линейные коды являются разделимыми, поэтому из символов только являются информационными, а остальные ( ) – проверочными.

 

 

 

 

Одним из наиболее известных помехоустойчивых кодов являются коды Хемминга. Они являются блочными, т.е. информационная последовательность символов источника разбивается на сегменты (блоки), кодируемые независимо друг от друга. В помехоустойчивых кодах для передачи сообщения используются не все кодовые комбинации, а только некоторая их часть (разрешенные кодовые комбинации). Тем самым создаётся возможность обнаружения и исправления ошибки при неправильном воспроизведении некоторого числа символов. Корректирующие свойства кодов обеспечиваются введением в кодовые комбинации дополнительных (избыточных) символов.

Коды Хемминга представляют собой (n,k) – коды, удовлетворяющие при некотором целом m условию

(n,k)=(2m – 1,2m – 1 – m), при некотором целом m.

где n – количество всех символов,

      k – количество информационных символов,

      (n-k) – количество проверочных символов.

Код (7,4) является кодом Хемминга. Для него количество информационных символов k=4, количество проверочных символов – 3.

Этот код порождается матрицей кодирования (порождающей матрицей):

Кодовые слова имеют структуру: С = ( х1, х2, х3, х4, с5, с6, с7 ), где

     с5 = х1 + х2 + х3

     с6 = х2 + х3 + х4

     с7 = х1 + х2 + х4

(подразумевается сложение по  модулю 2).

Реализовать такое кодирование можно при помощи следующего устройства:

Рис. 15. Структура кодера для систематического (7,4) – кода.

 

Устройство включает два сдвиговых регистра объёмом 4 и 3 разряда, а также три сумматора по модулю 2. Информационная последовательность поступает на вход первого регистра и записывается в его разрядах.

На выходах сумматоров по модулю 2 формируются проверочные символы, которые запоминаются в разрядах второго регистра. Затем происходит считывание вначале четырех информационных символов, а затем трёх проверочных, при этом на выходе устройства получается семиразрядное кодовое слово.

 

 

Декодирование блочного кода могло бы заключаться в простом отбрасывании проверочных символов, но это не обеспечивало бы обнаружению и исправлению ошибок. Для обнаружения ошибок может использоваться порождающая матрица Н:

Умножая по модулю 2 слева вектор-строку, соответствующую принятой комбинации, на транспонированную матрицу НТ, получаем вектор - синдром σ. Если σ – нулевой вектор, то в этом случае символ передался без ошибки, если же σ – вектор, совпадающий с одним из столбцов проверочной матрицы, то в этом случае в символе, номер которого соответствует номеру этого столбца, произошла ошибка.

11.1. Построение (7,4) - кода Хемминга.

Для построения кода Хэмминга разобьем фразу, полученную при кодировании источника, на блоки по четыре символа, это и будут кодовые слова разрешённых символов.

Исходная фраза: «Саханов Абылайхан». При этом отсутствующие буквы в алфавите пропускались.

Код этой фразы: 0111110010110100101111110111111111010001.0000

Разобьём этот код на блоки по 4 символа и недостающие дополним нулями:

0111.1100.1011.0100.1011.1111.0111.1111.1101.0001.0000

Эти блоки представим в виде матрицы информационных (разрешенных) символов:

Запишем порождающую матрицу G:

Каждая строка матрицы С равна до четвёртого символа соответствующему столбцу матрицы Х. Последующие три символа в каждой строке матрицы С и есть контрольные символы: С5, С6, С7 соответственно, где С5=x1+x2+x3;   C6=x2+x3+x4;     С7=x1+x2+x4. Тогда матрица кодирования:

 

 

Каждая строка в матрице С будет являться кодовым символом.

Составленная в коде Хемминга фраза будет выглядеть так:

0111111.1100111.1011111.0100111.1011111.1111111.0111111.1111111.1101111.0001011.0000000.

Или матрицу кодирования можно найти с помощью порождающей матрицы:

 

В результате получаем: 

11.2. Расчет  вероятностей  однократной и двукратной ошибок  в пределах одного кодового  слова.

Расчет вероятностей однократной и двукратной ошибок в пределах одной кодовой комбинации длины n можно выполнить по формуле биномиального распределения вероятностей:

P(k)=Cnkpk(1-p)n-k, где k следует положить равным соответственно 1 и 2. В качестве p подставим среднюю вероятность ошибки при приеме одного символа рош = 0.0807.

Вероятность однократной ошибки:

 

 

 

Вероятность двукратной ошибки:

Итак, вероятности ошибок малы.

Охарактеризуем способность кода к выявлению и исправлению ошибок. Предположим что передавалась разрешенная комбинация 0110001, и при передаче произошла:

А) однократная ошибка 1110001

Б) двукратная ошибка 1110000

Проверить наличие ошибки можно с помощью проверочной матрицы Н:

 

 

 

 

 

Если при умножении вектора-строки на транспонированную матрицу в результате получится вектор (синдром) являющийся нулевым, то ошибки нет. В противном случае присутствуют ошибки.

 

Можно видеть, что наличие ошибок было определено в обоих случаях. Однако в случае однократной ошибки ошибочный 1-й символ, как ошибочный, был определен верно, что дает возможность его исправить, а в случае двукратной ошибки синдром указывает на ошибку в 5-м символе, и подобное решение не является верным. Из полученных результатов можно сделать вывод, что код Хемминга (7,4) обнаруживает однократные и двукратные ошибки, но исправляет только однократные.

 

12. Описание процессов декодирования последовательности, содержащей двукратную ошибку, согласно пункту 2.6.