Разработка системы связи для передачи дискретных сообщений

 

7.1.3. Определение  скорости  передачи информации при наличии помех.

 

 Наличие помех в канале (в данном случае гауссовского шума) вызывает ошибки при демодуляции и тем самым ограничивает скорость передачи информации: если ошибки следуют слишком часто, скорость передачи информации снижается. Расчет скорости информации в цифровом канале с помехами основывается на понятии совместной энтропии входа и выхода канала.

 

 

 

Для определения среднего количества передаваемой по каналу информации (приходящееся на один символ)   Ikog нужно найти совместные вероятности всех сочетаний входных и выходных символов, а для этого записать условные вероятности для входных символов при заданных входных. Эти условные  вероятности, определяются  в свою очередь, условными вероятностями ошибок первого и второго рода.

p(1) = 0.506;   p(0) = 0.494

Безусловные вероятности выходных символов для нахождения энтропии источника:

p1’= p(0)p00s  + p(1)p10s = 0.475

p0’ = 1 – p1’ = 0.525  

Энтропия источника:

Нs = −р1’∙log2(р1’) − р0’ ∙log2(р0’)

Нs = 0.998 бит

Энтропия источника, рассчитанная ранее: Нk = 0.999 бит

Совместная энтропия входа и выхода канала:

Среднее количество передаваемой информации по каналу:

Скорость передачи информации при наличии помех:

 

7.2. Некогерентный приём

 

На практике иногда не удается обеспечить условия для когерентного приема сигналов, так как один или несколько параметров принимаемого сигнала оказываются неизвестными. Такая ситуация типична, например, в системах спутниковой связи, радиосвязи с подвижными объектами, и т.п., поскольку расстояние между передатчиком и приемником изменяется случайным образом. Это приводит, в частности, к тому, что меняется начальная фаза несущего колебания. Если изменение происходит настолько медленно, что соседние посылки имеют практически одинаковую начальную фазу, то ее можно оценить  и оценку использовать вместо точного значения при организации приема. Такой прием называют квазикогерентным. Если же начальная фаза изменяется (флюктуирует) быстро или устройство оценивания оказывается слишком сложным, тогда рассматривается задача приема сигнала со случайной начальной фазой или некогерентного приема.

 

В нашем случае некогерентный прием – прием сигнала, параметры которого известны не полностью, в частности, рассматривается задача приема сигнала со случайной начальной фазой.

Следовательно, теперь нельзя выбрать момент t0 измерения мгновенного значения так, чтобы значение сигнала s(t0) было максимальным. Поэтому сначала выполняется выделение огибающей наблюдаемого процесса, а затем берется ее отсчет V в любой момент в пределах длительности посылки.

Теперь мгновенное значение имеет негауссово распределение при обеих гипотезах.

Если сигнала нет (гипотеза Н0), наблюдаемый процесс представляет собой гауссовский шум с нулевым средним, а его огибающая V в любой момент времени имеет распределение Рэлея w0(V|H0). При гипотезе Н0 (сигнал есть) огибающая гауссовского процесса имеет распределение Рэлея-Райса (обобщенное рэлеевсое) w1(V|H1), что соответствует ненулевому среднему.

Условная плотность распределения вероятностей шума:

 

Условная плотность распределения вероятностей суммы сигнала и шума:

 

 

где I0(*) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

 

7.2.1. Определение оптимального порога при некогерентном приёме.

 

Для определения оптимального по критерию идеального наблюдателя порога высчитаем условные плотности распределения вероятностей, умноженные на априорные вероятности гипотез H0 и H1.

p(1) = 0.506;   p(0) = 0.494

  , [1/B]                        , [1/B]

 

 

Таким образом, порог yП = 2.02 (B)

 

ОШИБКА!!! ПРВ является безразмерной величиной. При умножении на коэфф-т k размерности нет!

 

Рис. 7. Выбор порога при некогерентном приеме.

 

7.2.2. Определение условных  вероятностей ошибок первого  и второго рода и средней  вероятности ошибки.

Рис.8. Определение условных вероятностей ошибок первого и второго рода при когерентном приеме.

Условная вероятность ошибки первого рода (ложная тревога):

Условная вероятность ошибки второго рода (пропуск сигнала):

Таким образом, средняя вероятность ошибки:

 

7.2.3. Определение  скорости передачи информации при некогерентном приеме.

Совместные вероятности сочетаний входных и выходных символов:

p0n = p(0)p00n = 0.431

p001n = p(0)p01n = 0.063

p1n = p(1)p11n = 0.424

p110n = p(1)p10n = 0.082

Безусловные вероятности выходных символов для нахождения энтропии источника:

p1n’= p(0)p00n  + p(1)p10n = 0.513

 

p0n’= 1 - p1n’ = 0.487

Энтропия источника:

Нsn = − p1n’∙log2(p1n’) − p0n’ ∙log2(p0n’) = 0.9995 бит

Энтропия источника, рассчитанная ранее: Нk = 0.999 бит

Совместная энтропия входа и выхода цифрового канала:

Среднее количество передаваемой информации по каналу:

Скорость передачи информации при наличии помех:

 

Вывод:

При когерентном приеме сигнала вероятности ошибок первого и второго рода меньше, а значит и средняя вероятность ошибки меньше, чем при некогерентном. Скорость передачи информации выше при когерентном приеме. Потенциальная (наивысшая) помехоустойчивость реализуется в том случае, когда в точке приёма известны все параметры сигнала, т.е. форма, частота, задержка во времени и начальная фаза. Неизвестно только то, какой из возможных сигналов передаётся на данном интервале наблюдения. Поэтому когерентный приём лучше, чем некогерентный. Но на практике обеспечить когерентный прием не всегда удается, так как один или несколько параметров принимаемого сигнала оказываются неизвестными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Расчёт согласованного фильтра.

В случае приёма сигнала известной формы демодулятор должен вычислить значение корреляционного интеграла, которое сравнивается с порогом, выбираемым в соответствии с принятым критерием эффективности. Устройство, вычисляющее корреляционный интеграл, называется коррелятором.

 

Рис 9. Структура коррелятора.

Коррелятор является нестационарным (параметрическим) устройством и включает генератор опорного колебания, совпадающего по форме с ожидаемым сигналом на интервале наблюдения, и интегратор, на выходе которого в момент окончания интервала наблюдения формируется значение, сравниваемое с порогом. В некоторых случаях удобнее использовать ЛИС-цепь, которая вычисляет значение корреляционного интеграла и называется согласованным фильтром. Он играет роль детектора и рассчитывается для обнаружения сигнала заранее известной формы, выходной сигнал фильтра при этом не совпадает по форме ни с входным, ни с сигналом, для обнаружения которого фильтр предназначен. Согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал/шум на выходе, тем самым максимизируя потенциальную вероятность решений демодулятора.

На вход фильтра поступает смесь гауссова шума с заданной дисперсией s2 и радиоимпульса с известными огибающей, длительностью, частотой заполнения и начальной фазой.

s(t) = Acos(**0t+φ0)

Этот фильтр, как и любая ЛИС-цепь, исчерпывающим образом описывается импульсной характеристикой hсф(t), при этом выходной сигнал определяется свёрткой (интегралом Дюамеля), которая для момента t0 сравнения с порогом равна

А с учётом финитности посылки:

Учитывая, что в момент t0 на выходе согласованного фильтра должно быть выработано значение корреляционного интеграла, приходим к выводу, что должно выполняться равенство:

где

Исходя из этого, можно сделать вывод, что:

где s(t) – посылка (прямоугольный радиоимпульс)

 

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра совпадает по форме с ожидаемым сигналом, обращённым во времени и задержанным на время t0. Для выполнения требования каузальности необходимо, чтобы t0 было не меньше, чем τ.

Зная импульсную характеристику фильтра можно найти КЧХ согласованного фильтра:

где S(ω) – спектральная плотность посылки.

Таким образом:

Можно видеть, что АЧХ совпадает по форме с модулем спектральной плотности сигнала. Следовательно, фильтр подчеркивает сильные и подавляет слабые частотные компоненты сигнала.

ФЧХ состоит из двух слагаемых. Первое обеспечивает суммирование всех частотных компонент сигнала «в фазе», благодаря чему в момент времени t0, обусловленный множителем e-jwt0, имеет место максимальное значение отклика, численно равное энергии сигнала.

Действие согласованного фильтра на аддитивную смесь сигнала с шумом можно рассматривать по отдельности в силу линейности фильтра.

Сигнальная составляющая выходного процесса:

          (     

Шумовая составляющая:

       

Дисперсию шума на выходе можно найти следующим образом:

W(ω) – спектральная плотность мощности шума

Отношение сигнал/шум (ОСШ) по мощности на выходе СФ будет максимальным при условии t0 = τ. Оно равно

Принимая ψ=1, имеем Еh = E, тогда:

Выигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению со случаем однократного отсчёта равен:

 

 

 

Учитывая, что шум на входе согласованного фильтра квазибелый с полосой

(-F, F), содержащей 99% энергии сигнала, 2df = 0.99 2df = 0.99E,

получим F=10.286/τ, тогда СПМ шума N0/2 = σ2/(2F).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.Расчёт характеристик системы согласно заданию № 4:

9.1. Определение импульсной характеристики согласованного фильтра для приёма посылки.

Рассмотрим фильтр для принятия элементарной посылки. На вход фильтра поступает смесь гауссова шума, с заданной дисперсией s2, и радиоимпульса, с известными огибающей, длительностью, частотой заполнения и начальной фазой (когерентный приём).

Для нашего радиоимпульса:

где a – амплитуда, τ – длительность, ω0 – частота заполнения. Заполнение высокочастотное, примем **0= 2*π*5 MГц.

Рис. 10. Сигнал на входе согласованного фильтра.

Тогда импульсная характеристика такого фильтра будет представлять собой зеркальное отображение временной функции сигнала, задержанное на время, не менее длительности сигнала.

где t0 – величина не меньше τ.

Рис.11. Импульсная характеристика согласованного фильтра.

 

 

 

Для нахождения КЧХ фильтра необходимо определить спектральную плотность посылки. Используем прямое преобразование Фурье и теорему сдвига:

Комплексно-частотная характеристика согласованного фильтра:

Амплитудно-частотная характеристика:

Рис. 12. АЧХ согласованного фильтра

 

9.2. Отклик согласованного  фильтра на посылку.

Отклик согласованного фильтра на посылку будет определяться сверткой:

Здесь не Sвых.сф., а ВКФ (взаимно-корреляционная функция)!

 

 

Рис. 12. Сигнал, полученный на выходе согласованного фильтра.

 

Отклик фильтра будет по форме отличаться от исходного сигнала. Дело в том, что от фильтра не требуется передать форму сигнала, а нужно создать максимальный всплеск в момент времени t0.

Можно видеть, что при t=t0=9*10-7 значение отклика максимально и численно равно энергии сигнала.

Это можно объяснит тем, что отклик представляет собой АКФ посылки, которая достигает максимума, равного энергии сигнала, при нулевом значении аргумента.