Фазовая плоскость, фазовые траектории. Предельный цикл. Изображение простейших процессов на фазовой плоскости

Положим ,                 (12)

тогда _.                  (13)

Последнее уравнение описывает прямую (Рисунок 7, б), которая является фазовой траекторией рассматриваемого процесса (точка b - точка равновесия).  Рассмотрим изображение на фазовой плоскости синусоидального колебания (Рисунок 7, в).

Обозначим , тогда ,            (14)

т.е.

,                  (15)

.                   (16)

Разделив первое уравнение  на l_m, второе – на ωI_m, возведя в квадрат полученные выражения и сложив их, получим уравнение эллипса

.                  (17)

Следовательно, изображением синусоидального процесса (фазовой траекторией) на фазовой плоскости является эллипс (Рисунок 7, г).

Направление движения изображающей точки показано стрелкой. В верхней  полуплоскости  : следовательно, изображающая точка движется в сторону увеличения координаты х. В нижней полуплоскости , поэтому изображающая точка движется в сторону уменьшения координаты . В целом перемещение изображающей точки на фазовой плоскости происходит всегда по часовой стрелке.⁵

Рисунок 8 - Изображение переходного процесса цепи на фазовой плоскости.

 

 

 

⁵ Электротехника: Учеб. для вузов/ А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 С.

1.4. Изоклины, особые точки

Тангенс угла наклона, образованного  касательной к интегральной кривой в некоторой точке фазовой плоскости и осью абсцисс, определяет значение в этой точке. Совокупность точек фазовой плоскости, для которых , называют изоклиной. На фазовой плоскости можно провести множество изоклин, каждой из которых соответствует свое значение.

Для всех точек фазовой плоскости, отражающей процессы в цепи второго порядка (кроме особых точек), имеет вполне определенное значение. В особых точках , т. е. не определено. Через эти точки может быть проведено множество изоклин с различными значениями .

Особые точки классифицируют по виду интегральных кривых, окружающих эти точки.

Если особые точки окружена эллипсами (Рисунок 7, д), то ее называют особой точкой типа центр; она соответствует двум мнимым корням характеристического уравнения.

Если особая точка окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивым фокусом (Рисунок 7, е); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с отрицательной действительной частью.

Если особая точка окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым фокусом (Рисунок 7, ж); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с положительной действительной частью.

Если корни отрицательные и действительные, то особую точку называют устойчивым узлом (Рисунок 7, з). При положительных действительных корнях получают особую точку типа неустойчивого узла (Рисунок 7, и). Когда один корень положителен, а другой отрицателен, имеем особую точку типа седла (Рисунок 7, к).

Рассмотрим переходный процесс в схеме на Рисунке 8, а, вызываемый замыканием ключа при нулевых начальных условиях: Е = 1 В, R = 1 Ом; L = 1 Гн; С = 1 Ф.

Рисунок 9 - Переходный процесс цепи.

Построим семейство изоклин  для напряжения на конденсаторе u_с. Определим положение и тип особой точки. Построим фазовую траекторию переходного процесса.

В уравнение цепи заменим на , на , на и учтем, что L = R = C = E= 1. Решим уравнение относительно и :

               (18(a))

               (18(б))

Из уравнения (18(б)) следует, что координаты особой точки у = 0, х = 1. Последовательно придавая значения 0, 1, 2,…, -1, -2, ∞, строим семейство изоклин (Рисунок 8, б). Все изоклины проходят через особую точку и представляют собой прямые линии (цепь линейна). Масштабы по осям х и у приняты одинаковыми. Черточки на каждой изоклине характеризуют значение для нее.

Так как  и , то к началу процесса изображающая точка находится в начале координат. В установившемся режиме х = 1 и у = 0.

Для построения интегральной кривой из исходной точки х=у=0 проводим два луча до пересечения с изоклиной в точках m и n: Первый луч соответствует значению той изоклины, с которой начинается движение, второй - значению следующей изоклины, на которую точка перейдет. Делим расстояние mn пополам и проводим через исходную и полученную точки плавную кривую - кусочек фазовой траектории. Продолжаем аналитический процесс далее и строим всю фазовую траекторию в виде свертывающейся спирали.

Особая точка в примере является устойчивым фокусом. Время в явном виде на фазовой плоскости не отражено.

Временные зависимости  по фазовой траектории получают по формуле , где х₀ - начальное значение, а х - текущее. В окрестности точки пересечения кривой с осью абсцисс подынтегральное выражение стремится к бесконечности. Чтобы избежать планиметрирования площади под кривой, уходящей в бесконечность при φ(х)→0, подсчет времени Δt на этом участке производят по средней скорости φ_ср(х) = Δх/φ_ср(х).¹

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¹ Бессонов, Л. А.  Нелинейные электрические цепи: Учеб. пособие / Л. А. Бессонов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1977. - 343 С. : ил. ; 21см. - 0.82 р.

1.5. Построение интегральных кривых с помощью изоклин

Пусть задано уравнение  _.  
 1. Находите изоклины нуля, решая уравнение . 
 2. Находите изоклины бесконечности, решая уравнение  . 
 3. Рисуете эти кривые ручкой на плоскости   и замечаете, что они делят всю плоскость на подобласти, в которых интегральные кривые возрастают (убывают). Это происходит, естественно, в зависимости от знака  . Ставите в этих областях   и − соответственно. 
 4. Находите линию перегиба. Для этого надо решить уравнение  . Рисуете эту линию на том же графике ручкой другого цвета расставляете на нем же    и  − той же ручкой, в зависимости от того, функция выпукла вниз или вверх. 
 5. Берете ручку третьего цвета, ставите в произвольную точку и рисуете линию, которая должна возрастать (убывать) в зависимости от того, находится ли точка в области возрастания убывания; линия должна быть выпукла вверх (вниз) в зависимости от того, находится ли точка в областях выпуклости вверх (вниз); должна иметь горизонтальную касательную при пересечении изоклины нуля; должна иметь вертикальную касательную при пересечении изоклины бесконечности. 
 6. Повторяете пункт 5, меняя начальную точку, пока не удовлетворитесь нарисованной картинкой.

 

 

 

 

 

      2    3  y     4

         C       D

           m

         B

  1         n

    A

 

                                                                                        x     

Рисунок 10 - Построение интегральной кривой с помощью изоклин.

Чем ближе будут расположены  изоклины друг к другу, тем больше ломанная интегральная кривая будет  соответствовать истинной интегральной кривой.¹

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¹ Бессонов, Л. А.  Нелинейные электрические цепи: Учеб. пособие / Л. А. Бессонов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Высш. шк., 1977. - 343 С. : ил. ; 21см. - 0.82 р.

1.6. Построение интегральных кривых дельта-методом

Дельта-метод – это  способ построения интегральных кривых на фазовой плоскости в виде отрезков дуг окружностей, центры которых  расположены на оси  . Метод применим к уравнениям вида

                  (19)

Полагаем, что начальные  значения и известны. Добавив в левую и правую части (19) по , заменив на и на , получим уравнение

                  (20)

Здесь

                  (21)

Если  считать величиной фиксированной, то уравнение (21) эквивалентно уравнению

,                  (22)

где -некоторое постоянно число.

В справедливости перехода от (21) к (22) можно убедиться, продифференцировав уравнение (22) по . Уравнение (22) при фиксированном описывает небольшой кусок интегральной кривой на рис. 6.1 от точки 0 до точки 1 в виде дуги окружности радиусом , равным расстоянию от точки 0 до центра окружности с координатами , . После проведения дуги 0-1 можно уточнить ее, взяв среднее значение на участке 0-1. Затем строят следующий участок 1-2 радиусом с центром , , уточняют положение этой дуги по среднему значению и т. д. Метод применим и к уравнению .²

 

             0

      1

2

              R₂

 

  R₁

 

 

            

          

Рисунок 11 - Пример построения интегральной кривой с помощью дельта-методом. (1)

 

 

                

            

                  

               

         

        

       

          

                  

 

 

Рисунок 12 - Пример построения интегральной кривой дельта-методом. (2)

    

 

 

 

 

² Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – 9-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1996. – 638 С.

II. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЙ КРИВОЙ С ПОМОЩЬЮ ИЗОКЛИН             

2.1. Вспомогательная теория  к интегральной кривой

Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа, которое во многом помогает и в физике, как например, в изучении построении интегральных кривых различными методами.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y = F(x) + C, где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

Тангенс угла наклона, образованного  касательной к интегральной кривой в некоторой точке фазовой  плоскости и осью абсцисс, определяет значение в этой точке. Совокупность точек фазовой плоскости, для которых , называют изоклиной. На фазовой плоскости можно провести множество изоклин, каждой из которых соответствует свое значение.

Для всех точек фазовой плоскости, отражающей процессы в цепи второго  порядка (кроме особых точек), имеет вполне определенное значение. В особых точках , т. е. не определено. Через эти точки может быть проведено множество изоклин с различными значениями .

Особые точки классифицируют по виду интегральных кривых, окружающих эти точки.

Если особые точки окружена эллипсами (Рисунок 7, д), то ее называют особой точкой типа центр; она соответствует двум мнимым корням характеристического уравнения.

Если особая точка окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивым фокусом  (Рисунок 7, е); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с отрицательной действительной частью.

Если особая точка окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым фокусом (Рисунок 7, ж); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни с положительной действительной частью.

Если корни отрицательные и  действительные, то особую точку называют устойчивым узлом (Рисунок 7, з). При положительных действительных корнях получают особую точку типа неустойчивого узла (Рисунок 7, и). Когда один корень положителен, а другой отрицателен, имеем особую точку типа седла (Рисунок 7, к).