Детерминированные модели динамического программирования

 

3.3Общая структура динамического программирования

Отыскание оптимальной стратегии  принятия набора последовательных решений, в большинстве случаях, производится следующим образом: сначала осуществляется выбор последнего во времени решения, затем при движении в направлении, обратном течению времени, выбираются все остальные решения вплоть до исходного.

Для реализации такого метода необходимо выяснить все ситуации, в которых может происходить выбор последнего решения. Обычно условия, в которых принимается решение, называют «состоянием» системы. Состояние системы – это описание системы, позволяющее, учитывая будущие решения, предсказать ее поведение. Нет необходимости выяснять, как возникло то ил иное состояние или каковы были предшествующие решения. Это позволяет последовательно выбирать всего по одному решению в каждый момент времени. Независимо от того, отыскивают оптимальные решения с помощью табличного метода и последующего поиска или аналитическим путем, обычно быстрее и выгоднее производить выбор по одному решению в один момент времени, переходя затем к следующему моменту и т.д. К сожалению, таким методом можно исследовать не все процессы принятия решений. Необходимым условием применения метода динамического программирования является аддитивность цен всех решений, а также независимость будущих результатов от предыстории того или иного состояния. Если число решений очень велико, то можно построить относительные оценки состояний так, чтобы оценки, отвечающие каждой паре последовательных решений, отличались друг от друга на постоянную величину, представляющую собой средний «доход» на решение. Также можно выполнять дисконтирование доходов от будущих решений. Необходимость в этом иногда появляется в том случае, когда решение принимаются редко, скажем раз в году. Тогда уже не нужно рассматривать последовательно 1,2,3.решения, чтобы достичь решения с большим номером.

Вместо этого можно  непосредственно оперировать функциональным уравнением, что, как правило, дает существенную выгоду с точки зрения сокращения объема вычислений.

 

4. Статические модели управления запасами

4.1 Классическая задача экономического размера заказа

Простейшие модели управления запасами характеризуются постоянным по времени  спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита. Введём обозначения:

- объём заказа (количество единиц продукции)

- интенсивность спроса (измеряется  в единицах продукции на единицу  времени)

- продолжительность цикла заказа (измеряется во временных единицах)

Уровень запаса изменяется в соответствии с функцией, показанной на рисунке 3, где использованы приведённые выше обозначения. Объём заказа единиц размещается и пополняется мгновенно, когда уровень запаса равен нулю. Затем запас равномерно расходуется с постоянной интенсивностью спроса . Продолжительность цикла заказа для этого примера равна (в единицах времени):

         (2)

Средний уровень запаса определяется соотношением .

 

Ур. зап.

Точки возобн. заказа

                   Ср. зап.=у/2

 Время

 

Рисунок 2 – Изменение запаса в классической модели

Для построения функции затрат требуется  два стоимостных параметра.

- затраты на оформление, связанные  с размещением заказа,

- затраты на хранение (затраты  на единицу складируемой продукции  в единицу времени).

Суммарные затраты в единицу времени (обозначаются TCU¹) можно представить как функцию от в виде суммы затрат на оформление заказа в единицу времени и затрат на хранение запаса в единицу времени, т.е. отношение суммы затрат на оформление и хранение ко времени.

                                                                                      (3)       

Подставив (1) получаем:

    (4)

Оптимальное значение объёма заказа определяется путём минимизации по функции . Предполагая, что является непрерывной переменной, получаем необходимое условие минимума, из которого можно найти оптимальное значение

  (5)

 

Это условие является также и достаточным, так как функция выпуклая. Решение  данного уравнения определяет экономический  объём заказа

(6)

 
Оптимальная стратегия управления запасами для рассмотренной модели формулируется следующим образом.

Заказывать  единиц продукции через каждые единиц времени.

В действительности пополнение запаса не может производиться мгновенно  в момент размещения заказа, как  предполагалось ранее. Для большинства  реальных ситуаций существует положительный  срок выполнения заказа (временное запаздывание) от момента его размещения до реальной поставки, как показано на рисунке 4. В этом случае точка возобновления запаса имеет место, когда уровень запаса опускается до единиц.

 

Ур.зап.

  Точки возобновления заказа

 

 

 y^*

L L

 

Рисунок 3 – Точки возобновления заказа в классической модели

 

На рисунке 4 представлено изменение уровня запаса во времени при условии, что срок выполнения заказа меньше продолжительности цикла заказа, что в общем случае выполняется не всегда. В противном случае определяется эффективный срок выполнения заказа в виде

          (7)

 

Где - наибольшее целое, не превышающее . Ситуация управления запасами становится такой же, как описано выше.

4.2 Задача экономического размера заказа с разрывами цен

 

Данная модель отличается от рассмотренной  выше тем, что продукция может  быть приобретена со скидкой, если объём  заказа превышает некоторый фиксированный уровень ; таким образом, стоимость единицы продукции определяется как

                                                                                 (8)

 

где . Следовательно, затраты на приобретение продукции в единицу времени:

 

 

 

 

 

(9)

 

Используя обозначения, введённые  ранее, запишем общие затраты  в единицу времени:

     (10)

 

 

 

 Затр. TCU ₁

    TCU₂

 

 

 y_m Q у 

1       2 3 

 

Рисунок 4- График затрат

 

 

Графики функций представлены на рисунке 5. Так как значения этой функции отличаются только на постоянную величину, то точки их минимума совпадают и находятся в точке

  (11)

График функции затрат , если идти от минимума значений аргументов, совпадает с графиком функции до точки , в которой меняется цена продукции, а затем совпадает с графиком функции . На рисунке 5 показано, что определение оптимального объёма заказа зависит от того, где находится точка разрыва цены по отношению к указанным на рисунке зонам I, II, III, которые определены как интервалы соответственно. Величина определяется из уравнения

 (12)

 

Или

  (13)

 

Отсюда получаем квадратное уравнение  относительно :

  (14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5 – Три случая оптимального решения

 

  Оптимальное значение

(15) 

4.3 Много продуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада

Эта модель рассматривает задачу управления запасами различных товаров, которые хранятся на одном складе ограниченной вместимости. Характер изменения запаса каждого товара в отдельности определяется функцией, показанной Рис. 3; предполагается, что дефицит отсутствует. Отличие от ранее рассмотренных моделей состоит в том, что товары конкурируют между собой за ограниченное складское пространство.

Определим для товара , следующие параметры

- интенсивность спроса

- стоимость размещения заказа

- стоимость хранения единицы  товара в единицу времени

- объём заказа

- необходимое пространство для  хранения единицы товара

- максимальное складское пространство  для хранения товаров  видов, причём

(16) 

   Допустим, что запас продукции  каждого вида пополняется мгновенно  и скидки цен отсутствуют. Предположим  далее, что дефицит не допускается.  Пусть  , и – интенсивность спроса, затраты на оформление заказа и затраты на хранение единицы продукции в единицу времени для i-го вида продукции соответственно. Общие затраты по продукции каждого вида, по существу, будут теми же, что и в случае эквивалентной однопродуктовой модели. Таким образом, рассматриваемая задача имеет вид минимизировать

                                                                (17)

 

при условии (16).  

   Общее решение этой задачи  находится методом множителей  Лагранжа. Однако, прежде чем применять этот метод, необходимо установить, действуют ли указанное ограничение, проверив выполнимость ограничений на площадь склада для решения неограниченной задачи. Если ограничение выполняется, то оно избыточно, и им можно пренебречь.

   Ограничение действует,  если оно не выполняется для  значений  . В таком случае нужно найти новое оптимальное значение , удовлетворяющее ограничению на площадь склада в виде равенства. Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида

  (18)                                                              

 

где l(<0) – множитель Лагранжа.

   Оптимальные значения  и l можно найти, приравняв нулю соответствующие частные производные, что дает

       (19)

          (20)

   Из второго уравнения  следует, что значение  должно удовлетворять ограничению на площадь склада в виде равенства. Из первого уравнения следует, что

  (21)

   Заметим, что  зависит от оптимального значения l^* множителя l. Кроме того, при l^*=0 значение является решением задачи без ограничения.

   Значение l^*  можно найти методом систематических проб и ошибок. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации l<0, то при последовательной проверке отрицательных значений l найденное значение l^* будет одновременно определять значения y^*, которые удовлетворяют заданному ограничению в виде равенства. Таким образом, в результате определения l^*  автоматически получаются значения y^* .

 

5. Динамическая модель экономичного  размера заказа

Динамическая модель экономичного размера заказа является аналогом модели экономичного размера заказа, с тем  отличием, что объем спроса и закупочная цена единицы продукции могут  изменяться во времени. Главной управленческой задачей здесь является определить баланс между затратами на покупку и затратами на хранение запасов.

5.1. Модель при отсутствии затрат на оформление заказа

В этой модели принято следующее.

- Спрос удовлетворяется мгновенно в начале периода непосредственно после получения заказа.

- Затраты на размещение заказа отсутствуют. Рис. 4 иллюстрирует состояние запаса после удовлетворения спроса D. Если D<y, запас у—D хранится на протяжении периода. Если же D > у, возникает дефицит объема D — у. Рисунок 5.

Рисунок 5 - Дефицит объема

 
Основные  предпосылки модели:

1. k=0

2. Отсутствие  дефицита. Спрос на продукцию  не может быть удовлетворен  за счет его производства в  последующие периоды. Это означает, что суммарное предложение за  предыдущие периоды не меньше  спроса на данный момент. 
3. Стоимость производства единицы продукции может изменяться в зависимости от интенсивности работы. Модель может быть решена как транспортная задача с k*n пунктами производства и  n  пунктами потребления, где n – количество этапов; k – возможное число режимов работы

Рисунок 6 – График решения модели

 

5.2 Модель с затратами на оформление заказа

Рисунок 7 - Модель с затратами на оформление заказа

 

zi – количество заказной продукции, i – 1, 2, … , n 
Di – потребность в продукции, спрос 
xi – объём запаса на начале i – го этапа 
Сi = C1i + C2i, где C1i – затраты связанные с производством; C2i – затраты связанные с хранением;  
0, zi = 0     
C1i =    ki + Ci*zi 
xi+1 = xi + zi – Di * 
C2i = ( xi+zi  Di)* hi – стоимость хранения единицы продукции

 

Т.к. в модели предполагается отсутствие дефицита, количество продукции на i-ом этапе может быть не меньше суммарной продукции реализованной на оставшихся этапах0 < = xi+1 <= Di+1 + Di+2 + … + Di+n . Реккурентные соотношения для функции затрат fi * ( xi+1 ) минимизирующие суммарные расходы на этапах i = 1, 2, … , n будут иметь вид: f1(x2) = min Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа. Следующий рисунок показывает случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на L единиц времени ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно просто преобразовать, определив точку возобновления заказа через уровень запаса, соответствующий моменту возобновлению.