Технология обучения методом укрупнения дидактических единиц

 

Упр. 2. Разложить разность квадратов  на множители и результат проверить  подробным умножением:

1) 9 – 25х² = (3 – 5х)(3 + 5х).

Проверка: (3 – 5х)(3 + 5х) = 9 + 15х – 15х – 25х² = 9 – 25х².

 

2)  49у2х2 – 16 = …	5) 36а8 – 196 =…
3) 16 – 49х2у2 = …	6) 0,81 – 36а8 = …
4) 1 – 0.25k = …	7) 81 – 4а6 = …

 

Упр.3.  а) Выполнить сокращенное умножение:

(х + у)(х –  у) = …

б) Заменить букву х одночленом 3а², а букву у – одночленом 2b³ и также выполнить сокращенное умножение.

7 этап: Применение правила.

На этом этапе осуществляется применение правила в различных условиях. Систематизация полученных знаний и их применение.

 

Упр. 1. Восстановить пропущенные выражения в примерах на сокращенное умножение:

1) (? - ?)(? + ?) = (3х)² – (2у)² = 9х² – 4у²;

2) (? - ?)(? +?) = (?)² – (?)² = 225 – 16а⁴;

3) (? - ?)(? +?) = (?)² – (?)² = 169 – 49х⁶;

4) (? +?)(2х² - ?) = (2х²)² – (?)² = ? – 9у⁶.

 

Упр. 2. Разложить разность квадратов  на множители. Восстановить пропущенные  числа:

1. 9k² – 16 = (3k)² – (4)² = (3k – 4)(3k + 4);
2. 25p⁴ – 9 = (?)² – (?)² = (? - ?)(? + ?);
3. 81 - 4a⁶ = (?)² – (?)² = (? - ?)(? +?);
4. ? - ? = (4х)² – (5у)² = (? - ?)(? +?).

 

Упр. 3.  Восстановить пропущенные числа  и знаки в следующих примерах, связанных с разностью квадратов:

1) ? – 9х⁴ = (10 + ?)(10 - ?);

2) 81 - ? = (? + 5k²)(? - ?);

3) (1 - ?)(? -?) = ? – 121х⁴;

4) (? - ?)(? – 3х²) = 144 - ?.

 

 

Учитель. Связь между правилом сокращенного умножения: (х – у)·(х + у) =  = х² – у² и правилом разложения на множители разности квадратов:х² – у² =   = (х – у)·(х + у) можно записать четырьмя способами:

• Сокращенное умножение суммы двух чисел на их разность.

(х+у)·(х – у) = х² – у².

х² – у² = (х – у)·(х + у).

• Разложение на множители разности квадратов двух чисел.

(х² – у²):(х – у) = (х+у).

(х² – у²):(х + у) = (х – у).

• Сокращенное деление по формуле.

х2 – у2	=	(х+у)·(х – у)	=	х+у
х – у		х – у

 

 

• Сокращение алгебраической дроби.

х + у	=	х+у	=	1
х2 – у2		(х+у)·(х – у)		х – у

Данные  правила верны для любых оснований.

 

Упр. 4. Сократить дроби:

1)

9 – k2	=	(3 – k)(3 +k)	=	-(k – 3)(3 + k)	=	3 - k
k3 - 3k		k2(k – 3)		k2(k – 3)		k2

2)                                      3)  4)

16а3 - а

b – 4аb

 

- 25 + b2

- 5 + b

 

15х2 – 75х

30ух – 150ух2

 

 

Упр. 5. В следующих примерах записаны в различных формах связи между тремя выражениями: суммой двух чисел, разностью этих же чисел, разностью квадратов тех же чисел. Заполните таблицу:

Сокращенное умножение  разности двух чисел на их сумму	Разложение разности квадратов двух чисел на множители	Сокращение дроби (сокращенное деление)	Сокращение дроби (сокращенное  деление)
1. (х – у)·(х + у) = = х2 – у2	х2 – у2 = (х – у)·      ·(х + у)	х2 – у2 = х+у х – у	х2 – у2 = х – у х + у
2.(а +3)(а – 3) = …
3.	k4 – 36 = (?)·(?)
4.		121 – 4с6 11 – 2с3
5.			9 – 25k4 3 + 5k2

 

Упр. 6. В то время как разность двух квадратов разлагается на два  множителя, сумма квадратов не разлагается  на множители.

a² – b² = (a – b)(а +b);

а² + b² – на множители не разлагается.

Разложить на множители следующие пары примеров:

1а) х2 + 9 =…	3а) 64 + 81p4e6 = …
1б) х2 – 9 = …	3б) 64 – 81p4e6 = …
2а) 49 - 16k2b2 = …	4а) 1 – k8 = …
2б) 49 + 16k2b2 = …	4б) 1 + k8 = …

 

8, 9 этапы: Установление связей изучаемого правила с другими правилами.

Учитель: Дети, после того как мы успешно решили все предыдущие задания, я предлагаю Вам интересное, творческое задание в котором вы почувствуете себе изобретателями.

Упр.1. Ответьте на вопросы:

а) Чему равно  частное от деления разности квадратов  двух чисел на их разность? Придумать  пример.

б) Чему равно частное от деления разности двух квадратов на сумму первых степеней? Придумать пример.

в) Чему равно  произведение суммы двух чисел на их разность? Придумать пример.

 

На данном этапе решаются примеры на все действия с алгебраическими  дробями; при этом знаменатели дробей подбираются так, чтобы они разлагались на множители одним из известных уже способов (вынесение за скобки, группировки, разложение на множители по формуле).

Например, решается упражнение:

5	–	1	·	12 – 9а
16 – 9а2		4а – 3а2		4

 

Учитель: После того как мы с Вами успешно изучили правила сокращенного умножения и разложения на множители разности квадратов, то дальше мы сможем ознакомиться и пользоваться следующими формулами:

1. Квадрат суммы и разности двух чисел:

(a±b)²=a²±2ab+b²;

2. Сумма и разность кубов:

a³±b³=(a±b)(a² ab+b²);

3. Куб суммы и разности двух чисел:

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

А каким образом они  были выведены и для чего они необходимы, это мы узнаем в следующей теме и на следующем занятии.

Заключение

В данной работе рассмотрена технология обучения математике методом укрупнения дидактических единиц, созданная П. М. Эрдниевым. А именно: суть данной технологии, её существенные признаки; выделение отдельных шагов УДЕ и так же были отмечены положительные и отрицательные стороны этой технологии.

Одним из пунктов первой части курсовой работы был выделен  план конспект проведение урока математики в 7 классе на тему: «Разность квадратов двух чисел (a² – b²)». Особенностью данного урока является то, что он был построен на теоретической базе технологии Эрдниева.

Во второй части курсовой приведен блок упражнений, состоящий  из системы упражнений по формированию правил сокращенного умножения и разложения на множители разности квадратов. Которые были изучены на уроке, приведенном в первой части курсовой работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Данилов М. А. Проблемы методологии педагогики и методики исследования. – М., 1971. – 82 с.
2. Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе. (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). – М.: Просвещение, 1978. – 304 с.
3. Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. – М.: Педагогика, 1988. – 208 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тезаурус

Диалектическое мышление [греч. dialektikē — искусство спорить] — форма мышления, обеспечивающая познание действительности и упорядочивание представлений у детей. Д. м. может осуществляться с помощью различных механизмов. Один из таких механизмов, позволяющий ребенку осуществлять самостоятельное движение в системе знаний, складывается уже в дошкольном возрасте. Структуры Д. м., возникающие у дошкольников, продолжают функционировать в школьном возрасте и у взрослых субъектов в ситуациях, предполагающих творческое решение задач в различных сферах: науке, технике и искусстве. Ребенок, владеющий Д. м., из объекта учебной деятельности становится ее субъектом, партнером учителя в конструировании урока. Он легче осваивает учебный материал, понимает относительность, противоречивость свойств окружающего мира. Он становится способным действовать в противоречивых ситуациях и легче осуществлять социальную адаптацию.

Дихотомия [от греч, dicha и tome - рассечение на две части] — деление объема понятия на две взаимоисключающие части, полностью исчерпывающие объем делимого понятия. Основанием дихотомического деления объема понятия служит наличие или отсутствие видообразуюшего признака. Напр., объем понятия «человек» можно разделить на два взаимоисключающих класса: «мужчины» и «не-мужчины». Понятия «мужчины» и «не-мужчины» являются противоречащими друг другу, поэтому их объемы не пересекаются. От Д. следует отличать обычное деление, приводящее к тому же самому результату. Напр., объем понятия «человек» можно разделить по признаку пола на «мужчин» и «женщин». Но между понятиями «мужчина» и «женщина» нет логического противоречия, поэтому здесь нельзя говорить о дихотомическом делении.

Среднее взвешенное – общее название группы разновидностей среднего значения либо короткое название для любого из перечисленных: среднее арифметическое взвешенное, среднее геометрическое взвешенное, среднее гармоническое взвешенное.