Технология обучения методом укрупнения дидактических единиц

Связь между данными  выражениями можно записать четырьмя способами:

1. Сокращенное умножение суммы двух чисел на их разность.

(х+у)·(х – у) = х² – у².

х² – у² = (х – у)·(х + у).

2. Разложение на множители разности квадратов двух чисел.

(х² – у²):(х – у) = (х+у).

(х² – у²):(х + у) = (х – у).

3. Сокращенное деление по формуле.

х2 – у2	=	(х+у)·(х – у)	=	х+у
х – у		х – у

 

4. Сокращение алгебраической дроби.

х+у	=	х+у	=	1
х2 – у2		(х+у)·(х – у)		х – у

Данные правила верны  для любых оснований.

 

1. Выполнить сокращенное умножение:

1. (х² – 3у)(х²+3у) = (х²)²- (3у)² = …
2. (1+0,6а³)(1-0,6а³) = (1)² – (?)² = …
3. (5k +2p)⁴(5k – 2p) = (?)² – (?)² = …

После выполнения этого задания учитель предлагает ученикам ответить на различные вопросы, выявляющие сущность данной формулы, а так же понимание её учениками:

 

 

Учитель:

 

1. Влияет ли порядок записи выражений в произведении на результат преобразований в формуле (I)?
2. Важен ли порядок записи выражений, входящих в разность, на результат преобразований по этой формуле?
3. По какому множителю (сумме или разности) удобно составить результат?
4. Важен ли порядок множителей в произведении?

 

2. Восстановить пропущенные выражения в примерах на сокращенное умножение:

1) (? - ?)(? + ?) = (3х)² – (2у)² = 9х² – 4у²;

2) (? - ?)(? +?) = (?)² – (?)² = 225 – 16а⁴;

3) (? - ?)(? +?) = (?)² – (?)² = 169 – 49х⁶;

4) (? +?)(2х² - ?) = (2х²)² – (?)² = ? – 9у⁶;

5) (3 + ?)(? - 4k) = (?)² – (?)² = ? – ?.

3. Выполнить  сокращенное умножение и проверить ответ подробным умножением:

1) (а – 4)(а +4) = а² – 16.

Проверка: (а – 4)(а + 4) = а² – 4а + 4а – 16 = а² – 16.

2)( х – 6)(х+6) = …

3) (2а² - 5b³)(2а² + 5b³) = …

4) = …

5) (а³bс + 1)(а³bс – 1) = …

 

4.  а) Выполнить  сокращенное умножение:

(х + у)(х –  у) = …

б) Заменить букву  х одночленом 3а², а букву у – одночленом 2b³ и также выполнить сокращенное умножение.

 

 

5. Восстановить пропущенные  числа:

1) (3k – ?)(? + 4p) = 9k² – 16p²;

2) (? – 5)(6х + ?) = ? - ?;

3) (1 - ?)(? -?) = ? – 121х⁴;

4) (? - ?)(? – 3х²) = 144 - ?.

Учитель: в начале урока мы ввели правило не только сокращенного умножения (х – у)·(х + у) = х² – у² (I), но и правило разложения на множители разности квадратов   х² – у² = (х – у)·(х + у) (II).

Устно. Какие выражения являются разностью квадратов?

а) x² × (3у)² г) (2a)² - b² ж) a² - 27      k) 4a² - 25b²

б) a - b д) a² - 3b²  з) 10 -

в) x² - y е) 15² - 13² и) a² + b²

 

Учитель: по какому плану действовали, выполняя задание?

 

Дети предлагают свои варианты ответов.

1. Представимо ли выражение в виде разности квадратов?
2. Выделим основание квадратов
3. Разность квадратов надо приравнять к произведению

один множитель – разность оснований  в том же порядке,

другой  множитель – сумма  оснований в любом порядке

 

6. Разложить  разность квадратов на множители  и результат проверить подробным  умножением:

1) 9 – 25х² = (3 – 5х)(3 + 5х).

Проверка: (3 – 5х)(3 + 5х) = 9 + 15х – 15х – 25х² = 9 – 25х².

2)  49у2х2 – 16 = …	5) 36а8 – 196 =…
3) 16 – 49х2у2 = …	6) 0,81 – 36а8 = …
4) 1 – 0.25k = …	7) 81 – 4а6 = …

 

7. Восстановить  пропущенные числа и знаки  в следующих примерах, связанных  с разностью квадратов:

1) ? – 9х⁴ = (10 + ?)(10 - ?);

2) 81 - ? = (? + 5k²)(? - ?);

3) (? - ?):( 10 - ?) = (? + 3p);

4) (4а⁶ – 7):(? + 7) = (? – 7).

 

8. В то время  как разность двух квадратов  разлагается на два множителя,  сумма квадратов не разлагается  на множители.

a² – b² = (a – b)(а +b);

а² + b² – на множители не разлагается.

Разложить на множители следующие пары примеров:

1а) х2 + 9 =…	3а) 64 + 81p4e6 = …
1б) х2 – 9 = …	3б) 64 – 81p4e6 = …
2а) 49 - 16k2b2 = …	4а) 1 – k8 = …
2б) 49 + 16k2b2 = …	4б) 1 + k8 = …

 

В конце урока  учитель задает домашнее задание и предлагает ученикам подвести итоги урока.

 

Домашнее  задание: п.21,№352(2,4), №353(2,4), №354, №356(2,4)(выучить формулы).

 

Итоги урока:

1. Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений и наоборот.
2. (a + b)(a - b)= a² - b² – верно для любых a, b, где a и b – числа или выражения (многочлены и одночлены).
3. Формулой (a - b)(a + b)= a² - b²  можно пользоваться, когда выражение является произведением двух множителей (разности и суммы) и порядок слагаемых зависит только от разности выражений.
4. Формулой a² - b² =(a - b)(a + b) можно пользоваться, когда выражение представлено в виде разности квадратов: выделяем основание квадратов, записываем произведение разности оснований в том же порядке как в разности квадратов, а в сумме можно по-другому.
5. Объявление оценок, полученных за урок каждым учеником.
6. Поблагодарить учеников за урок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2. Блок упражнений

Тема: «Разность квадратов двух чисел (a² – b²)»

Центральные правила:

• Правило сокращенного умножения
• Правило разложения на множители разности квадратов

Система упражнений по формированию правил

1,2 этапы: Мотивация введения правила.

На доске записаны 3 примера:

1003*997  
102*98  
79*81.

Учитель: Сможете ли вы найти произведения данных чисел быстро, не используя вычисления в столбик или на калькуляторе? (пауза) Я могу сразу назвать ответы ко всем примерам. А как я это смогла сделать, и какой рациональный способ при этом применила, хотели бы узнать сегодня на уроке?

Тогда, сначала вспомним, с какими выражениями вы работаете  на уроках в последнее время? (предполагаемый ответ – одночлены, многочлены). А что это такое?

Ученики дают определения данных понятий.

Учитель. Какие действия вы умеете выполнять с многочленами и одночленами? (предполагаемый ответ-сложение, вычитание, возведение в степень, умножение, деление).

Учитель. Сейчас в тетрадях приведите пример умножения одночлена на многочлен.

Один из учеников записывает свой пример на доске и проговаривает правило.

Учитель. Приведите пример умножения двучлена на двучлен.

Один из учеников записывает на доске свой пример и проговаривает  правило.

Учитель. Запишите произведение следующих многочленов и, используя правило умножения многочлена на многочлен, упростите их:

(x-y)(x+y)= 
(c+b)(c-b)= 
(k-p)(k+p)= 
(q+s)(q-s) =

Ученики работают самостоятельно, решают в тетрадях, а затем записывают свои ответы на доске, остальные проверяют  правильность выполнения задания.

Учитель. Какую закономерность вы заметили?

Ученики делают анализ записанных выражений, выявляют сходство и различия.

Учитель. А что если вместо одной из переменных подставить какое-нибудь число, будет ли выполняться данная закономерность? Например, в выражении (x-y)(x+y) замените переменную y на число 7.

Ученики записывают ответ  на доске и делают анализ полученного  результата.

Учитель. Как вы знаете правило, записанное с помощью букв, называется формулой.

Записывает на доске  в виде формулы: (a-b)(a+b)=а²-b².

Учитель. Оказывается, еще в древности было замечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. А вы сегодня сами сумели вывести эту формулу, которая так и называется формулой сокращенного умножения. Ну а теперь вы сможете догадаться, какой способ я использовала при решении этих примеров?

Один из учеников показывает на доске решение одного из примеров:

102*98=(100+2)(100-2)=10000 - 4= 9996.

Учитель. А теперь в формуле сокращенного умножения поменяем местами правую и левую часть: а²-b²=(a-b)(a+b). Эта формула применяется при разложении многочлена на множители и называется формулой разности квадратов.

Приведите пример с применением  данной формулы.

Ученики записывают в  тетрадях свои примеры, а затем выборочно  проверяют на доске.

3 этап: Ознакомление с фактом отраженном в правиле (упражнение с практическим содержанием).

Учитель. Давайте рассмотрим любопытное геометрическое рассуждение, в котором и нашли себе место наши формулы.

Пусть a и b - положительные числа, причем a>b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a + b и a – b (рис.1). Его площадь равна (a + b)(a – b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и a – b и подклеим его к оставшейся части так, как показано на (рис. 2). Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т.е.  (a + b)(a – b). Но эту фигуру можно построить так: из квадрата со стороной a вырезать квадрат со стороной b (это хорошо видно на рис.2). Значит площадь новой фигуры равна а²- b². Итак, (a + b)(a – b) = а² - b², т.е. получили нашу формулу.

4 этап: Понимание смысла слов в определении правила.

На этом этапе важно  выяснить, понятен ли смысл каждому  учащемуся, каждого слова в полученных правилах.

Учитель. Дети не путайте термины «разность квадратов» и «квадрат разности». Разность квадратов – это a² - b², значит речь идет о формуле                     (a + b)(a – b) = а² - b²; квадрат разности – это (a – b)²,  значит речь идет о формуле (a – b)² = a² – 2ab + b², изученной ранее.

Для закрепления понимания, ученикам предлагается решить несколько  примеров, проговаривая в слух используемые ими правила.

(3 – 5х)(3 + 5х) = …	(2х2 – 5х)2 = …
a2 - 3b2 = …	(х2 – 3у)(х2+3у) = …
(3х+2)2 = …	9k2 – 16p2 = ...

5, 6 этапы: Усвоение логической структуры и запоминание определения правила.

Упр. 1. Выполнить сокращенное умножение и проверить ответ подробным умножением:

1) (а – 4)(а +4) = а² – 16.

Проверка: (а – 4)(а + 4) = а² – 4а + 4а – 16 = а² – 16

2)( х – 6)(х+6) = …	5) (а3bс + 1)(а3bс – 1) = …
3) (2а2 - 5b3)(2а2 + 5b3) = …	6) ( –3х – 2у)( –3х  – 2у) = …
4) = …	7) (3 – аb2)(3а – b2) = …