Развитие регулятивных УУД в процессе формирования вычислительных навыков

Курсовая работа на тему: 
 
«Развитие регулятивных УУД в процессе формирования вычислительных навыков». 
 
                    Содержание: 
 
Введение…………………..………………………………………………….…..  3 
 
Глава 1. Теоретические основы формирования вычислительных навыков у младших школьников………………………………………………………......…6 
 
1.1. Понятие «вычислительный навык» и этапы его формирования……...…...6 
 
1.2. Задания, направленные на развитие регулятивных УУД в процессе формирования вычислительных навыков в начальной школе…………..…...16 
 
Глава 2. Методические особенности формирования вычислительных навыков у учащихся 2 класса на уроках математики...….….………………...22 
 
2.1. Изучение уровня сформированности вычислительных навыков у учащихся 2 класса……………...………………………………………………..22 
 
2.2. Реализация заданий, направленных на формирование вычислительных навыков у младших школьников…………………………….…………………31 
 
Заключение………………….…………………………………………………...35 
 
Список литературы…………………..………………………………………….37 
       

 

 

 

 

 

 

 

 

  Введение. 
 
Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. 
 
В век компьютерной грамотности значимость вычислительных навыков, несомненно, уменьшилась. Использование компьютера, калькулятора во многом облегчает процесс вычислений. Но пользоваться техникой без осознания вычислительных навыков невозможно, да и микрокалькулятор не всегда может оказаться под рукой.  Следовательно, владение вычислительными навыками необходимо. Научиться быстро и правильно выполнять вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости для дальнейшего обучения. Поэтому вооружение учащихся прочными вычислительными навыками продолжает оставаться серьезной педагогической проблемой.  
 
Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С. Дубинчук, А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой,  М.И. Моро, Н.Б. Истоминой,  С.Е. Царевой и др. 
 
Глубоко и всесторонне вопросы совершенствования устных и письменных вычислений учащихся исследовались лишь в 60-70 гг. ХХ века. Исследования последующих лет посвящены преимущественно разработке качеств вычислительных навыков (М.А. Бантова), рационализации вычислительных приемов (М.И. Моро, С.В. Степанова и др.),  применению средств ТСО (В.И. Кузнецов), дифференциации и индивидуализации процесса формирования вычислительных умений и навыков (Т.И. Фаддейчева). 
 
Каждое из этих исследований внесло определенный вклад в разработку и совершенствование той методической системы, которая использовалась в практике обучения, и нашло отражение в учебниках   математики. 
 
Действующие на сегодняшний день программы по математике  обеспечивают достаточный уровень формирования вычислительных навыков школьников. Изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема,  конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения. В начальном курсе математики предусмотрен такой порядок введения вычислительных приемов, при котором постепенно вводятся приемы, включающие большее число операций, а приемы, усвоенные ранее, включаются в новые в качестве основных операций. 
 
Переориентация методической системы на приоритет развивающей функции по отношению к образовательной, характеризующейся изменением характера деятельности учащихся, личностно-ориентированным подходом к обучению, несколько ослабила внимание к развитию и закреплению вычислительных навыков у учащихся. 
 
Учебники математики ориентированы на общие вычислительные навыки, и учитель может легко обучить алгоритму вычислений. Но в учебниках, к сожалению, нет «отработки частных способов вычислений», равно как нет и общих способов. [1] 
 
Отмечается ухудшение качества вычислений учащихся, обучающихся и по обычным, и по развивающим учебникам. Особенно пострадала культура устного счета. «Стремление учителей изменить ситуацию приводит к тому, что одни учителя используют в работе два учебника: один выполняет развивающие функции, другой (традиционный) — нацелен на формирование вычислительных умений и навыков. Другие учителя увеличивают объем домашних заданий. Это приводит к перегрузкам школьников, провоцирует стрессовые ситуации, снижает интерес к математике».  [12, с.5]  
 
Объектом исследования является математическое образование младших школьников. 
 
Предмет исследования – задания, способствующие формированию у младших школьников вычислительных навыков. 
 
Цель исследования – разработать совокупность заданий, способствующих эффективному и осознанному формированию вычислительных навыков. 
 
В соответствии с целью исследования были определены следующие задачи: 
 
1.   Изучить и охарактеризовать понятие «вычислительный навык», описать этапы его формирования. 
 
2.   Выбрать типы заданий, направленных на формирование вычислительных навыков в начальной школе. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Министерство  образования Российской Федерации

Дагестанский  государственный педагогический университет

Кафедра ТО и ТНМО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая  работа

 

«Развитие регулятивных УУД в процессе формирования вычислительных навыков».

 

 

 

 

 
Выполнила студ. ДО 4к. 3гр.

Маломагомедова Ж.М.

Научный руководитель:

к.п.н., доцент Шугаипова З.М.

 

 

 

 

Махачкала 2013

 

Введение

Главной целью образования считается  развитие умственных, интеллектуальных задатков ребёнка, формирование УУД.

В связи с этим перед школой возникает  важная задача, значимость которой  заключается в правильной организации  учебной деятельности.

Сущность  обучения основана на создании условий, при которых в процессе обучения ребёнок становиться её субъектом, т.е. обучения ради самоизменения. Организация такой деятельности формирует у учащихся умение самостоятельно ставить перед собой учебные задачи; планировать учебную деятельность, выбирать соответствующие учебные действия для её реализации, осуществить планирование и контроль по ходу выполняемой работы и умение оценить полученные результаты.

В широком значении термин «универсальные учебные действия»  означает умение учиться, то есть способность  субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию  путем сознательного и активного  присвоения нового социального опыта.

В более узком  значении этот термин можно определить как совокупность способов действия учащегося (а также связанных  с ними навыков учебной работы), обеспечивающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование умений, включая организацию этого процесса.

Важное место  в формировании умения учиться занимают регулятивные универсальные учебные  действия, обеспечивающие организацию, регуляцию и коррекцию учебной  деятельности.

Регулятивные действия обеспечивают учащимся организацию их учебной деятельности.

По ФГОС 2 поколения «в сфере регулятивных универсальных учебных действий выпускники овладеют всеми типами учебных действий, включая способность принимать и сохранять учебную цель задачу, планировать ее реализацию (в том числе во внутреннем плане), контролировать и оценивать свои действия, вносить соответствующие коррективы в их выполнение».

Перед учителем встаёт проблема отбора методических приёмов  формирования регулятивных универсальных  учебных действий.

Работа по планированию своих действий способствует развитию осознанности выполняемой деятельности, контроля за достижением цели, оценивания, выявления причин ошибок и их коррекции.

Не менее важные компоненты учебной деятельности –  контроль и оценка. Согласно мнению Д.Б. Эльконина, под контролем следует понимать, прежде всего, контроль за правильностью и полнотой выполнения операций, входящих в состав действий.

В традиции из целостной структуры  учебной работы выпадают именно регулятивные УУД со стороны ребёнка, они изымаются  и присваиваются учителем, а ученик самоосвобождается от необходимости планировать, контролировать и оценивать. В связи с этим учебная работа ребёнка постепенно лишается внутренней мотивирующей и направляющей основы.

Учитывая  научные знания и исследования по данной проблеме, основываясь на современных  требованиях к учебному процессу, мы считаем, что овладение учащимися  младших классов регулятивными  УУД в процессе обучения – является актуальной проблемой, стоящей перед современной школой. Наши наблюдения за деятельностью детей младших классов при формировании вычислительных навыков показали, что они не всегда умеют объяснить, правильно ли найдено значение  выражения, не могут обосновать выбор арифметического действия, не могут выполнить проверку. Это говорит о том, что ученики слабо владеют или совсем не владеют регулятивными УУД   в процессе решения .

В существующих пособиях по методике математики для учителей начальных классов  авторы определённо указывают на необходимость формирования регулятивных УУД у учащихся в процессе формирования вычислительных навыков. Однако в этих пособиях не достаточно раскрывается сущность понятия «регулятивные  универсальные учебные действия»  и пути  их формирования.

Цель исследования состоит в выявлении эффективных условий формирования действия регулятивных УУД в процессе работы над вычислительными приёмами и навыками. В соответствии с целями были намечены следующие задачи:

1. Проанализировать психолого-педагогическую литературу по исследуемой проблеме;
2. Изучить сущность действия регулятивные УУД в процессе формирования вычислительных навыков;
3. Провести диагностику сформированности  регулятивных УУД у учащихся 3 класса в процессе формирования вычислительных навыков;

Объект исследования: особенности формирования действия регулятивные УУД в процессе работы над вычислительными навыками.

Гипотеза исследования развитие регулятивных УУД в процессе формирования вычислительных навыков будет более эффективным, если:

1. учитель выделит структурные особенности действия регулятивных УУД для отдельных вычислительных приёмов;
2. в процессе обучения будет использоваться система заданий, направленная на усвоение алгоритмов контрольных действий учащимися;

Методологической основой исследования явились идеи о теории учебной  деятельности (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, В.В. Репкин) и поэтапного формирования умственных действий (Н.Ф. Талызина, Л.Я. Гальперин). А также работы  М.А. Бантовой, Н.Б. Истоминой, И.А. Аргинской по методике формирования вычислительного навыка.

Экспериментальная работа проводилась  на базе лицея №1 в 3 «Д» классе.

 

 

 
Глава 1. Теоретические основы формирования вычислительных навыков у младших  школьников. 
 
1.1.                      Понятие «вычислительный навык» и этапы его формирования. 
 
Формирование вычислительных навыков - одна из главных задач, которая должна быть решена в ходе обучения детей в начальной школе.   Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, так как на их базе строится весь начальный курс обучения математике, который предусматривает формирование вычислительных навыков на основе сознательного использования приемов вычислений. Последнее становится возможным благодаря тому, что в программу включено знакомство с некоторыми важнейшими свойствами арифметических действий и вытекающими из них следствиями. 
 
М.А. Бантова определила вычислительный навык как высокую степень овладения вычислительными приемами. «Приобрести вычислительные навыки — значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро». [5, с.39] 
 
Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций. Полноценный вычислительный навык обучающихся характеризуется следующими показателями: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. [5] 
 
Правильность – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т.е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием. 
 
Осознанность – ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операции. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. В процессе овладения навыком объяснение должно постепенно свертываться. 
 
Рациональность – ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т. е. выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка. 
 
Обобщенность –ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого - одни и те же теоретические положения. 
 
Автоматизм (свернутость) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операции. Осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операции осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операции происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование выбора системы операции. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям (5+3, 8-5,9+6, 15-9, 7-6, 42:6). Здесь должен быть достигнут уровень, характеризующийся тем, что ученик сразу же соотносит с двумя данными числами третье число, которое является результатом арифметического действия, не выполняя отдельных операций. По отношению к другим случаям арифметических действий происходит частичная автоматизация вычислительных навыков: ученик предельно быстро выделяет и выполняет систему операций, не объясняя, почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них. 
 
Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.  
 
Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением курса математики и использованием соответствующих методических приемов. [5] 
 
Вместе с тем, ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом - системой операций. О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению. Умение осознано контролировать выполняемые операции позволяет формировать вычислительные навыки более высокого уровня, чем без наличия этого умения. 
 
В целях формирования осознанных, обобщенных и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение вычислительного приема происходит после того, как учащиеся усвоят материал, являющийся теоретической основой этого вычислительного приема. Например, сначала ученики усваивают свойство умножения суммы на число, а затем это свойство становится теоретической основой приема внетабличного умножения. Так, при умножении 15 на 6 выполняется следующая система операций, составляющая вычислительный прием:  
 
1) число 15 заменяем суммой разрядных слагаемых 10 и 5;  
 
2) умножаем на 6 слагаемое 10, получится 60;  
 
3) умножаем на 6 слагаемое 5, получится 30;  
 
4) складываем полученные произведения 60 и 30, получится 90. 
 
 Как видим, здесь применение свойства умножения суммы на число (термин «распределительный закон» в начальном курсе не вводится) определило выбор всех операций, поэтому и говорят, что прием внетабличного умножения основан на свойстве умножения суммы на число или что свойство умножения суммы на число — теоретическая основа приема внетабличного умножения. 
Легко заметить, что кроме свойства умножения суммы на число здесь использованы и другие знания, а также ранее сформированные вычислительные навыки: знание десятичного состава чисел (замена числа суммой разрядных слагаемых), навыки табличного умножения и умножения числа 10 на однозначные числа, навыки сложения двузначных чисел. Однако выбор именно этих знаний и навыков диктуется применением свойства умножения суммы на число. Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приемов в соответствии с их общей теоретической основой, предусмотренной действующей программой по математике для начальных классов, что даст возможность использовать общие подходы в методике формирования соответствующих навыков.  
 
Назовем эти группы приемов:         
1.       Приемы, теоретическая основа которых — конкретный смысл арифметических действий. К ним относятся: приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида а + 2, а + 3, а + 4, а + 0; приемы табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения табличных результатов деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, прием умножения единицы и нуля. Это первые приемы вычислений, которые вводятся сразу после ознакомления учащихся с конкретным смыслом арифметических действий. Они, собственно, и дают возможность усвоить конкретный смысл арифметических действий, поскольку требуют применения конкретного смысла. Вместе с тем эти первые приемы готовят учащихся к усвоению свойств арифметических действий. 
Таким образом, хотя в основе некоторых из названных приемов и лежат свойства арифметических действий (так, прибавление двух по единице выполняется на основе использования свойства прибавления суммы к числу), эти свойства учащимся явно не раскрываются. Названные приемы вводятся на основе выполнения операций над множествами.  
 
2.       Приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 53 ± 20, 47  ±  3, 30 – 6, 9 + 3, 12 – 3, 35 ± 7, 40 ± 23, 57 ± 32, 64 ± 18; аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14 × 5, 5 × 14, 81 : 3, 18 × 40, 180 : 20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел больших 100 и приемы письменного умножения и деления. 
Общая схема введения этих приемов одинакова: сначала изучаются соответствующие свойства, а затем на их основе вводятся приемы вычислений. 
 
 3.       Приемы, теоретическая основа которых — связи  между  компонентами  и  результатами  арифметических действий. К ним относятся приемы для случаев вида 9 × 7, 21 : 3, 60 : 20, 54 : 18, 9 : 1, 0 : 6. При введении этих приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе вводится вычислительный прием.  
 
4.       Приемы, теоретическая основа которых  —  изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46 + 19, 512 – 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50. Введение этих приемов также требует предварительного изучения соответствующих зависимостей. 
          5.       Приемы, теоретическая основа которых — вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида а ± 1, 10 + 6, 16 – 10, 16 – 6, 57 ×10, 1200 : 100; аналогичные приемы для больших чисел. Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиционного принципа записи чисел). 
 
6.       Приемы, теоретическая основа которых — правила. К ним относятся приемы для двух случаев: а × 1, а × 0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сообщаются учащимся и в соответствии с ними выполняются вычисления.  
 
Целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной группе приемов, но и к другой. Например, случаи вида 46 + 19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема. Как видим, все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это — реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. 
Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы — есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложения 46 + 19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков.  
 
В ходе формирования вычислительных навыков М.А. Бантова выделяет следующие этапы: 
 
1. Подготовка к введению нового приёма. 
 
На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приёма, а именно, учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём. 
Например, можно считать, что ученики подготовлены к восприятию вычислительного приёма ±2, если они ознакомлены с конкретным смыслом действий сложения и вычитания, знают состав числа 2 и овладели вычислительными навыками сложения и вычитания вида ±1; готовностью к введению приёма внетабличного умножения (13 × 6) будет знание учащимся правила умножения суммы на число, знание десятичного состава чисел в пределах 100 и овладение навыками табличного умножения, навыками умноженная числа 10 на однозначные числа, навыками сложения двузначных чисел. 
Центральное звено при подготовке к введению нового приёма - овладение учеником основными операциями. 
 
2. Ознакомление с вычислительным приёмом. 
 
На этом этапе ученики усваивают суть приёма:  какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия. 
При введении большинства вычислительных приёмов важно использовать наглядность. В некоторых случаях это оперирование множествами. Например, прибавляя к 6 число 3, придвигаем к 6 квадратам 3 квадрата по одному. 
В других случаях в качестве наглядности используется развернутая запись. Например, при введении приёма внетабличного умножения выполняется запись: 
 
13 × 6=(10 + 3) × 6=10 × 6 + 3 × 6 = 60 + 18 = 78 
 
Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух. 
Сначала эти пояснения выполняется под руководством учителя, а потом самостоятельно учащимися. 
 
3. Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного навыка. 
 
На этом этапе ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком.  
В процессе работы здесь важно предусмотреть этапы в становлении у учащихся вычислительных навыков: 
 
1.      На первом этапе закрепляется знание приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись 34 ×  5 = (30 + 4) × 5 = 30 × 5 + 4 × 5 = 3 × 10 × 5 + 20 = 3 × 5 × 10 + 20 = 15 × 10 + 20 = 150 + 20 = (100 + 50) + 20 = 100 + (50 + 20) = 100 + 70 = 170 
 
2.      На втором этапе происходит частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор, порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, т.е. промежуточных вычислений. Надо учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приёме. Развёрнутая запись не выполняется. Сначала проговаривание ведётся под руководством учителя, а затем самостоятельно. Проговаривание вслух помогает выделить основные операции, а выполнение про себя вспомогательных операций способствует их свёртыванию.  
 
34 × 5 = (30 + 4) × 5 = 30 × 5 + 4 × 5 = 150 + 20 = 170 
 
3.      На третьем этапе происходит полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, т.е. здесь происходит свёртывание и основных операций. Учитель предлагает детям выполнять про себя и промежуточные вычисления, а называть или записывать только окончательный результат.  34 × 5 = 170 
 
 
4.      На четвёртом этапе наступает предельное свёртывание выполнения операций. Учащиеся выполняют все операции в свёрнутом плане, предельно быстро, т.е. они овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений. 
 
На всех этапах формирования вычислительного навыка решающую роль играют задания на применение вычислительных приёмов, причём содержание заданий должно подчиняться целям, которые ставятся на соответствующем этапе. Важно, чтобы было достаточное число заданий, чтобы они были разнообразными как по форме, так и по числовым данным. Надо иметь в виду, что свёртывание выполнение операций не у всех учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развёрнутой записи приёма. Продолжительность каждого этапа определяется сложностью приёма, подготовленностью учащихся и целями, которые ставятся на каждом этапе. Правильное выделение этапов позволит учителю управлять процессом усвоения учащимися вычислительного приёма, постепенного свёртывания выполнения операций, образования вычислительных навыков. 
 
В системе Л. В. Занкова формирование навыков проходит три принципиально различных этапа, при этом учитель может использовать два пути: прямой и косвенный. 
 
Прямой путь в чистом виде предполагает сообщение учащимся образца, алгоритма выполнения операции, на основании которого школьники многократно ее выполняют. В результате такой репродуктивной деятельности достигается запоминание предложенного алгоритма и вырабатывается запланированный навык. 
Косвенный путь предполагает, прежде всего, включение учеников в продуктивную творческую деятельность, в самостоятельной поиск алгоритма выполнения операции. 
В системе общего развития Л.В. Занкова главным является именно косвенный путь формирования вычислительных навыков, прямой же использует учитель тогда и в той мере, как это необходимо, так как в чистом виде ни один из путей использовать нельзя. [15]

Первый этап – осознание основных положений, лежащих в фундаменте выполнения операции, создание алгоритма ее выполнения. На этом обязательно прослеживается, оценивается и создается каждый шаг в рассуждениях детей, устные рассуждения переводятся в запись математическими знаками. Отсюда вытекает характерный признак этого этапа - подробная запись выполнения операции, с которой в данный момент работают ученики. На этом этапе практически не используется прямой путь. Он возникает только при выполнении промежуточных, знакомых детям операций. Результатом этого этапа является выработка алгоритма выполнения операции и его осознание.  
 
284 × 25 = 284 × (20 + 5) = 284 × 20 + 284 × 5 = 284 × (2 × 10) + 1420 = (284 × 2) ×10 + 1420 = 568 × 10 + 1420 = 5680 + 1420 = 7100. 
 
На этом этапе почти не используем прямой путь, если только при выполнении знакомых детям операций, т.е. промежуточных (умножение на однозначное число, на единицу с нулями и выполнение сложения). 
В результате деятельности на этом этапе появляется алгоритм выполнения операции. 
 
Главным направлением второго этапа является формирование правильного выполнения операции. Для достижения этой цели  необходимо не только использование выработанного на первом этапе алгоритма выполнения операции, но, может быть, в еще большей степени, свободная ориентация в ее нюансах, умение предвидеть. К чему приведет то или иное изменение компонентов операции. В силу этого на втором этапе используются оба пути формирования навыков, однако косвенный путь продолжает быть ведущим, прямой же используется в качестве подчиненного. Ученикам даются такие задания, которые ставят детей в позицию активного творческого поиска, где они используют свои знания в нестандартном преобразованном виде. 
Например, даем задание: изменить в произведении 284 × 25 одну цифру так, чтобы значение произведения стало пятизначным числом. 
В результате найденных преобразований каждый ученик получает от 6 – до 12 произведений, изменяя цифру во втором или в первом множителе: 
284 × 35, 284 × 45, 284 × 55,  284 × 65, 284 × 75 (85, 95, 55) 
384 × 25, 484 × 25 (584, 684, 784, 884,984) × 25. 
 
От учащихся не требуется нахождения и составления всех возможных решений. Мы объединяем все случаи, которые нашли разные ученики, анализируем, находим с ними определенную закономерность, отыскиваем пропущенные варианты. 
Важная особенность таких заданий – возможность индивидуализации их выполнения каждым учеником, так как нет жестких установок на количество требуемых решений, а только рекомендации: «Постарайся найти не одно решение». 
Третий этап формирования навыка нацелен на достижение высокого темпа выполнения операции. Именно на этом этапе на первый план выходит прямой путь формирования навыка. Главная задача учителя – построить работу так, чтобы дети хотели выполнять необходимые вычисления и получали от этого удовольствие.  
 
Формирование вычислительных умений и навыков - это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности. 
 
На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка. 
 
При выборе способов организации вычислительной деятельности необходимо ориентироваться на развивающий характер работы, отдавать предпочтение обучающим заданиям. Используемые вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических), что позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно водить ребенка в мир математических понятий, терминов и символов. 
1.2.           Задания, направленные на формирование вычислительных навыков в начальной школе. 
 
На уроке математики формирование вычислительных навыков занимает большое место. Одной из форм работы по формированию вычислительных навыков являются задания. Овладение вычислительными навыками имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение: 
 
- образовательное значение 
: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий, а также лучше понять письменные приемы; 
 
- воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, математической зоркости, наблюдательности и сообразительности; 
 
- практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным (например, при технических расчетах у станка, в поле, при покупке и продаже). [17] 
 
В своей работе учителя придерживаются определенных принципов. Один из них (наиболее важный) можно сформулировать следующим образом: работа в классе на каждом уроке должна выполняться всем классом, а не учителем и группой успевающих учеников. То есть необходимо создать такую ситуацию - ситуацию «успеха», при которой каждый ученик смог бы почувствовать себя полноценным участником учебного процесса. Ведь одна из задач учителя заключается не в доказательстве незнания или слабого знания ученика, а во вселении веры в ребенка, что он может учиться лучше, что у него получается. Нужно помочь ребенку поверить в собственные силы, мотивировать его на учебу. 
 
Рассмотрим основные типы заданий: 
 
1.              
Задания с использованием сравнений: 
 
Для активизации познавательной деятельности учащихся при формировании вычислительных можно использовать метод наблюдений. В процессе наблюдения учащиеся сравнивают, анализируют, делают выводы. Полученные таким образом знания являются более осознанными и тем самым лучше усваиваются. 
 
В качестве примера рассмотрим изучение такого вопроса, как изменение суммы в зависимости от изменения одного из слагаемых. В основе познания учениками данной зависимости лежит прием сравнения. 
 
Задание 1. Решите примеры и сравните их: 
 
2 + 1,   2 + 2. 
 
Необходимо обращать внимание учеников на то, что в одном  и в другом примере стоит знак «+», а первые слагаемые одинаковы. Эти примеры схожи. Затем выявляются различия: в первом примере второе слагаемое равно 1, во втором 2, сумма в первом примере равна 3, а во втором – 4. 
 
Ребята  отмечают, что во втором примере прибавляем большее (2 > 1), поэтому и получаем большую сумму. 
 
Переходя к сравнению выражений подбираем такие выражения, в которых ученики смогут усмотреть различные признаки различия и сходства. 
 
Задание 2. На доске записаны примеры: 
 
5 + 3,   4 + 3,   8 – 3,   6 + 3,   7 – 3,   9 – 3 
 
Угадайте сходство или различие записанных выражений. Ученики обычно указывают такие признаки сходства, как знак действия, затем обращают внимание на то, что в первой группе прибавляется число 3, а во второй – вычитается число 3. Затем целесообразно поставить вопрос: «Что произойдет с ответами примеров в первой группе и во второй? Почему ответы в первой группе больше, чем ответы во второй?» 
 
Очень полезно задание и такое: 
 
Задание 3. Что вы замечаете в данных примерах? 
 
1 + 1,   2 + 1,   3 + 1,   4 + 1,   6 + 1,   7 + 1 
 
Ученики должны обратить внимание не только на тот факт, что во всех примерах знак «+» и второе слагаемое везде равно 1, но и на то, что последовательность 1, 2, 3, 4 …  нарушена, т.к. пропущен пример 5 + 1. 
 
Подобные задания способствуют развитию математической наблюдательности  учеников, их умению видеть сходства и различия, выявлять определенные закономерности. В процессе выполнения таких заданий уясняется смысл понятия «сравнить». 
 
Так же могут предлагаться задания с ошибками, которые требуют исправления: 
 
Задание 4. Найди ошибку: 
 
 
 
Могут предлагаться задания, у которых уже дан знак отношения  и  одно  из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить:  
 
8 · (10 + 2)=8 · 10 + … 
 
Выражения таких заданий могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трехзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями. 
 
        Главная роль таких заданий – способствовать усвоению  теоретических знаний об арифметических  действиях,  их  свойствах,  о  равенствах, о неравенствах и др. Также они помогают выработке вычислительных навыков. 
 
2.              
Задания на классификацию и систематизацию знаний. 
 
Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие - основа заданий на классификацию. Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия: 
 
 1) ни одно из подмножеств не пусто;  
 
2) подмножества попарно не пересекаются; 
 
3) объединение всех подмножеств составляет данное множество.  
 
Предлагая детям задания на классификацию, эти условия необходимо учитывать.  
 
Задание 1. Найди значения разностей 
 
742 - 531                           898 - 769 
 
374 - 223                           586 - 218 
 
457 -132                            465  -427 
 
По какому признаку распределены разности по этим столбикам? 
 
3.              
Задания на выявление общего и различного. 
 
Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений - основная характеристика таких заданий. Благодаря им учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются.  
 
Задание 1. Рассмотрите рисунок и попробуйте быстро подсчитать, сколько окон в доме. 
 
 
 
Дети могут предложить следующие способы: 3+3+3+3, 4+4+4 или 3*4=12; 4*3=12. 
 
Учитель предлагает сравнить полученные равенства, т. е. выявить их сходство и различие. Отмечается, что оба произведения одинаковые, а множители переставлены. 
 
Вывод: «Если множители переставить, то произведение не изменится» или «От перестановки множителей значение произведения не изменится». 
 
4.              
Задания с многовариантными решениями. 
 
  Многовариантные задания - это система упражнений, выполнение которых поможет глубоко и осознано усвоить правило и выработать необходимый вычислительный навык на его основе.  
 
Задание 1. Запиши число 30 тремя одинаковыми цифрами и знаками действий. 
 
Постарайся найти несколько разных решений. 
 
Задание 2. Какое число надо прибавить к 25, чтобы получить круглое? 
 
5.              
Задания с элементами занимательности. 
 
Такие задания, в основном, направлены на отработку вычислительных навыков. Элемент занимательности увлекает детей, они стремятся выполнить все действия правильно и посмотреть к чему это приведет. 
 
"Магические или занимательные квадраты" - это занимательная форма тренировки в сложении вычитания и размещения чисел. Решение магических квадратов увлекает школьников всех возрастов. 
 
6.              
Задания на нахождение значений математических выражений. 
 
Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется  найти его  значение.  Эти  задания  имеют  много  вариантов.  Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной),  при этом  буквам  придают  числовые  значения  и  находят   числовое   значение полученного выражения, например: 
 
- найдите разность чисел 100 и 9. 
 
- найдите значение выражения С – К, если С = 100, К = 9. 
 
Выражения могут предлагаться в разной словесной форме: 
 
- из 100 – 9; 100 минус 9 
 
- уменьшаемое 100, вычитаемое 9, найдите разность 
 
- найти разность чисел 100 и 9 
 
- уменьшить 100 на 9 и т.д. 
 
Эти формулировки использует не только учитель, но и ученики. 
 
Выражения могут быть даны с ошибками, которые детям предстоит найти:  
 
Задание 1. Найди ошибки в выражениях: 
 
 
 
Выражения  могут  включать  одно  и  более  действий.  Выражения  с несколькими действиями могут включать  действия  одной  ступени  или разных ступеней, например: 
 
47 + 24 – 56 
 
72 : 12 · 9 
 
400 – 7 · 4 и др. 
 
Могут быть со скобками или без скобок: (90 – 42) : 3, 90 – 42 : 3. Как  и  выражения в одно действие, выражения  в  несколько  действий  имеют разную  словесную формулировку, например: 
 
- из 90 вычесть частное чисел 42 и 3 
 
- уменьшаемое 90, а вычитаемое выражено частным чисел 42 и 3. 
 
Выражения могут быть заданы в разной области чисел:  с  однозначными числами  
 
(7 – 4), с двузначными (70 – 40, 72 – 48), с трехзначными  (700 – 400,  720 – 480) и т.д., с натуральными числами и величинами (200 – 15, 2м – 15см).  Однако, как правило, приёмы устных  вычислений  должны  сводиться  к  действиям  над числами в пределах 100. Так, случай  вычитания четырехзначных  чисел  7200 – 4800 сводится к вычитанию двузначных чисел (72сотни – 48сотен) и значит  его можно предлагать для устных вычислений.  
 
Выражения можно давать и в форме таблицы: 
 
Задание 2. Заполни таблицы: