Особенности изучения геометрического материала в младшем школьном возрасте

 

         Формирование у первоклассников о прямой линии происходит в процессе выполнения ими разнообразных упражнений. При этом прямую линию сопоставляют с кривой. Например, натягивают нить (шнур), затем ослабляют нить так, чтоб она провисла; рассматривают рисунки, на которых изображена, положим, прямая дорога и извилистая тропинка; разрезают лист бумаги по линии, полученной перегибанием листа и т.д. каждый раз выясняют, какая получилась линия – прямая или кривая. 
Дети должны научиться узнавать прямую линию, начерченную в любом положении на плоскости, отличать ее от кривой, уметь проводить прямые, используя линейку. С целью выработки этих умений учащиеся чертят в тетрадях прямые и кривые линии, находят и показывают их на окружающих предметах, а также среди линий начерченных на доске.

         Кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Ученик легко усваивает эти понятия, если они ассоциируются у него с различными жизненными и игровыми ситуациями.

         В  процессе выполнения упражнений  дети знакомятся с некоторыми свойствами прямой. Например, упражняясь в проведении линий через точки, дети обобщают свои наблюдения: через одну точку можно провести сколько угодно прямых или кривых линий; через две точки можно провести только одну прямую, а кривых сколько угодно.

        Полезно, чтобы в процессе выполнения различных упражнений дети научились различать такие понятия, как: «точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две точки», «точка принадлежитлинии». 
            Для этой цели можно использовать задания: 
- проведи прямые линии через точку К и через точку В так, чтобы они пересекались в точке О.

 
К .    .  О 
 
В . 

- проведи прямую через точку  К так, чтобы точка О лежала  на прямой, а точка В – вне  прямой.

 
В.  
 
К .       . О 

- проведи разные кривые линии через данные точки.

- проведи прямую линию так, чтобы она пересекала кривую: а) в одной точке, б) в двух точках, в) в трех точках.

- проведи кривую так, чтобы она  пересекала данную прямую: а) в  одной точке, б) в двух точках  и т.д.

           С отрезком прямой дети также знакомятся практически: отмечают на прямой две точки, и учитель поясняет, что эту часть прямой от одной точки до другой называют отрезком прямой, а точки – концами отрезка. Учащиеся показывают и сами чертят прямые и отрезки и постепенно осознают, что отрезок ограничен, а прямая не ограничена, мы изображаем на бумаге только часть прямой. Закреплению понятия об отрезке способствует такие упражнения: показать отрезки прямой на окружающих предметах; соединить отрезком две точки; провести отрезок через три точки, лежащие на одной прямой; показать все получившиеся при этом отрезки.  
До измерения отрезков вводится понятие о равных и неравных отрезках, разъясняется способ установления этих отношений (наложением). В дальнейшем после знакомства с сантиметром, дециметром, метром и т.д. учащиеся выполняют большое количество упражнений в измерении и черчении отрезков, решают задачи с отрезками. Постепенно учащиеся убеждаются, что равные отрезки содержат одинаковое число выбранных единиц длины, а неравные – неодинаковое число: в том отрезке содержится больше единиц, который больше. Таким образом, становится возможным судить о равенстве и неравенстве отрезков на основе сравнения чисел, выражающих длину этих отрезков.

Выделяя элементы многоугольников, учащиеся устанавливают, что стороны многоугольников – отрезки. Постепенно учащиеся осознают, что отрезок может быть общей стороной нескольких многоугольников, и, опираясь на это, во 2 и 3 классах выполняют упражнения на построение отрезков внутри многоугольников, так чтобы при этом образовывались новые фигуры. 

6.2. Многоугольник, угол, круг

Понятия об этих фигурах формируются у детей постепенно в течение всего начального обучения и в последующих классах. 
Первоначально при изучении первого десятка, геометрические фигуры используются как дидактический материал. Опираясь на него, дети учатся считать, решать задачи, вычислять, сравнивать и др. Попутно уточняют представления отдельных фигур, запоминаю их названия. 
Далее приступают к изучению отдельных видов многоугольников. На этом этапе вычленяют элементы многоугольников: стороны, углы, вершины. Так, при изучении числа три рассматривают различные треугольники. На моделях треугольников учащиеся показывают три стороны, три угла и три вершины в каждой фигуре. Затем дети сами моделируют треугольники из различных материалов, чертят и раскрашивают треугольники в тетрадях, отыскивают треугольники среди других геометрических фигур. При этом учитель должен позаботиться, чтобы учащиеся рассматривали различные виды треугольников (равносторонние и разносторонние, прямоугольные, тупоугольные и остроугольные). Это поможет формированию правильного представления о треугольнике.

В процессе указанных упражнений дети учатся правильно показывать элементы треугольника: вершины (показывают точки), стороны (показывают отрезки, проводя указкой от одного конца отрезка до другого), углы (показывают угол вместе с его внутренней областью веерообразным движением указки от одной стороны угла до другого). 
Далее в таком же плане рассматривают четырехугольники, пятиугольники и т.д., приурочивая эту работу к изучению соответствующих чисел в пределах первого десятка. Выделяя элементы многоугольников, учащиеся осознают, что у многоугольники одинаковое число углов, вершин и сторон, и подмечают связь между числом элементов и названием фигуры (три стороны, три вершины, три угла – треугольник; четыре стороны, четыре вершины, четыре угла – четырехугольник и т.д.).

          Понятие многоугольник можно  ввести как обобщение рассмотренных  видов многоугольников.

         В  процессе работы над многоугольниками  учащиеся получают первые сведения  об углах ( угол образуют две  стороны многоугольника, выходящие  из одной его вершины), учатся  показывать углы многоугольника..

Для формирования у детей представления об угле можно воспользоваться моделями угла или соответствующими рисунками (рис. 6). 
 
 
 
 
рис. №6

 
         Модель прямого угла дети получают, выполняя практическую работу. Каждому из них даются листы бумаги разных размеров с неровными краями. В середине листа ставится точка. Дети должны сложить лист так, чтобы линия сгиба прошла через эту точку. Затем они еще раз складывают лист так, чтобы части линии сгиба совместились. Организуя деятельность учащихся, учитель сам может демонстрировать им способ действия. В результате получится модель прямого угла. Все модели, изготовленные учащимися, накладываются друг на друга и делается вывод, что все прямые углы равны между собой.

        Сознательное выполнение этого действия требует правильных представлений о величине угла. Так как в начальных классах дети не знакомятся с единицей измерения углов, то для этой цели можно воспользоваться только приемом наложения и преставлениями детей о луче. 
         Например, если школьникам предложить два угла и спросить, какой угол больше – левый или правый, то большинство из них ответят неверно. В этом случае следует обратить их внимание на то, что стороны угла – это лучи, а значит, их можно продолжить. Поэтому, если стороны углов при наложении совпадают, значит, эти углы одинаковые (имеется в виду понятие плоского угла).

          При знакомстве с острыми и  тупыми углами используются модели  трех видов. А именно: если на  модель прямого угла накладывается  модель острого угла так, чтобы  одна сторона этих моделей  совместилась, то другая сторона острого угла пройдет внутри прямого; а в случае наложения тупого угла, его другая сторона пройдет вне данного прямого угла (рис. 7).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.№ 7

 

Прямые, острые и тупые углы ученики выделяют на различных фигурах, пользуясь для этого заранее заготовленными моделями. При этом рассуждения можно построить по отношению к прямому углу. Например: если наложить модель прямого угла на углы данного четырехугольника, то в этом случае : одна сторона прямого угла совпадает со стороной четырехугольника, другая пройдет внутри. Это значит, что данный угол четырехугольника тупой. В случае если одна сторона прямого угла совпадает со стороной четырехугольника, другая пройдет вне, это значит, что угол четырехугольника острый. В случаях если стороны углов четырехугольника и модели прямого угла совпадут, следовательно, эти углы прямые.

           Чтобы у детей сформировалось представление угла вместе с его внутренней областью, на первых порах работают с бумажными моделями углов. Но в дальнейшем наряду с бумажными моделями используют модель «раздвижного угла» (малку). Рекомендуется изготовить каждому ученику такую модель угла из двух палочек, скрепленных кусочком пластилина или гвоздиком. С помощью такой модели дети наглядно убеждаются, что величина угла зависит не от длины его сторон, а от взаимного положения сторон относительно друг друга: чем ближе стороны сдвинуты, тем угол меньше, чем дальше раздвинуты – тем угол больше. 
          Понятие угла закрепляется у учащихся в дальнейшем в процессе изучения многоугольников, например при рассмотрении прямоугольника. Среди нескольких четырехугольников первоклассники с помощью модели прямого угла находят четырехугольники, у которых все углы прямые. Учитель сообщает, что в последнем случае четырехугольники называются прямоугольниками. Учащиеся находят в окружающей их обстановке предметы прямоугольной формы, показывают прямоугольники среди других геометрических фигур, вырезают их из бумаги, чертят по точкам в тетради. 
           На следующем этапе работы учащиеся знакомятся с одним из свойств прямоугольника: противоположные стороны прямоугольника равны между собой. Уточнив сначала, понимают ли дети, какие стороны прямоугольника можно назвать противоположными, учитель предлагает учащимся на бумажных моделях прямоугольника непосредственным наложением сравнить противоположные стороны. Знание этого свойства закрепляется в дальнейшем, когда учащиеся чертят прямоугольники по двум заданным его сторонам (длине и ширине). 

  Далее учащиеся из множества прямоугольников вычленяют прямоугольники с равными сторонами – квадраты. Работа на уроке так и организуется, чтобы учащиеся увидели, что квадрат – это частный случай прямоугольника. Детям предлагается, например, измерить стороны у нескольких прямоугольников, начерченных на доске. Среди них обнаруживаются такие прямоугольники, у каждого из которых стороны равны между собой. Чтобы подчеркнуть, что квадраты – это прямоугольники с равными сторонами, включают такие упражнения: «Покажите прямоугольники, которые нельзя назвать квадратами; найдите среди данных четырехугольников четыре прямоугольника; найдите два квадрата и т.п.». В подобных упражнениях дети должны обосновывать свои суждения, проверяя с помощью чертежного треугольника, являются ли все углы четырехугольника прямыми, а также устанавливая с помощью линейки, каково в нем соотношение сторон.

        Большое значение для закрепления представлений о многоугольниках, а также для развития пространственных представлений в целом имеют задачи с геометрическим содержанием. Это задачи на деление заданных фигур так, чтобы получившиеся части имели указанную форму; задачи на составление новых фигур из данных многоугольников, а также задачи на распознавание (вычленение) всевозможных геометрических фигур на заданном чертеже. Все эти задачи взаимосвязаны друг с другом. Решение задач каждого вида помогает при решении задач других видов. Поэтому они включаются перемежаясь в определенной системе, так что число частей фигуры (из которых она составляется или на которые расчленяется) увеличивается постепенно. 
         Во 2 классе учащиеся знакомятся с окружностью, учатся чертить окружности с помощью циркуля, знакомятся с элементами окружности и круга – центром, радиусом. Все эти сведения усваиваются детьми в процессе практических упражнений.

         Сопоставив круг с многоугольником, учащиеся устанавливают, что границей многоугольника является замкнутая ломаная линия, а границей круга – замкнутая кривая линия – окружность.

         Чтобы учащиеся не смешивали круг и окружность, дают специальные упражнения, например: проведите окружность и раскрасьте круг, отметьте цент круга или окружности, а также точки лежащие внутри круга, вне круга, на окружности.

        Затем в процессе упражнений у детей формируются умения чертить окружности указанного радиуса, а также делить с помощью циркуля окружность на 3, 6, 12 равных частей, делить перегибанием круг на 2, 4, 8 равных частей.

 

6.3. Ломаная линия, длина ломаной линии, периметр многоугольника

          Опираясь на понятие отрезка, учащихся II класса знакомят с ломаной линией. Для этого по образцу, данному учителем, предлагают учащимся построить линию из палочек или бумажных полосок. Учитель дает название новой линии. Можно изготовить также модель ломаной линии, «сломав» на глазах у детей на части тонкую лучинку или кусок проволоки. Так же с опорой на практические работы вводят понятия незамкнутой и замкнутой ломаной линии (рис. 8). Учащиеся строят из палочек ломаную линию, находят ее начало (начало первого отрезка) и конец (конец последнего отрезка). Учитель дает название такой ломаной – незамкнутая, а затем предлагает по образцу соединить начало и конец незамкнутой ломаной линии. Учащиеся сами догадываются, что такая ломаная линии называется замкнутой. При этом звенья соединяют так, чтобы они, кроме вершин, не имели общих точек.

 

 

 

 

 

 

 

Рис.№ 8

      В процессе упражнений устанавливается связь между замкнутой ломаной линией и многоугольником, для которого ломаная линия является границей: замкнутая ломаная линия из трех звеньев ограничивает треугольник, из четырех звеньев – четырехугольник и т.д.

Затем учащихся знакомят с измерением ломаных линий таким способом: измерить звенья ломаной и сложить полученные числа. Чтобы дети усвоили понятие длины ломаной линии, необходимо включить достаточное количество упражнений в нахождении длины незамкнутых и замкнутых ломаных линий, которые содержат различное число звеньев. 
Понятие о периметре многоугольника дается в процессе решения конкретной задачи на нахождение длины замкнутой ломаной линии. Учитель поясняет, что сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром. Можно на этом же уроке дать обозначение периметра буквой (Р = 24 см). сначала лучше включать задачи на нахождение периметра многоугольника с неравными сторонами, в процессе решения которых закрепляется понятие о длине ломаной линии. Затем специально рассматривается нахождение периметра равносторонних многоугольников, а также нахождение периметра прямоугольника. Периметр этих фигур дети сначала находят путем измерения их сторон и сложения полученных чисел. Но тут же обращается внимание на свойства этих фигур – равенство всех сторон или равенство противоположных сторон. Учащиеся делают вывод о возможности сократить измерения: при нахождении периметра равностороннего треугольника, квадрата и других многоугольников с равными сторонами достаточно измерить одну сторону, а затем умножить ее длину на число сторон многоугольника. При нахождении периметра прямоугольника достаточно узнать его длину и ширину (т.е. основание и высоту), затем умножить каждое из этих чисел на 2 и полученные произведения сложить. Опираясь на чертеж, они подмечают, что можно поступить по-другому: найти сумму длин смежных сторон, а затем умножить эту сумму на 2. Сравнивая полученные записи, например: Р = 4 . 2 + 6 . 2 и Р = (4 + 6) . 2, дети устанавливают, что во втором случае умножали сумму на число, а в первом – каждое слагаемое умножали на это число и результаты складывали. Так как использованное свойство умножения суммы на число известно детям, то они убеждаются в правильности своих рассуждений при нахождении периметра прямоугольника.