Закон больших чисел. Критерий однородности Смирнова

 

  

 

Подчеркнем, что значения мощностей, приведенные  в таблице 1, получены относительно ( )-квантилей предельного распределения Колмогорова  . Вследствие того, что распределения   статистики (1) существенно отличаются от  , действительные уровни значимости отличаются от заданных  =0.1, 0.05, 0.025.

В таблице 2 приведены действительные уровни значимости для критерия Смирнова, соответствующие  значениям мощности, представленным в таблице 1. Вследствие ступенчатости   действительные значения   особенно сильно отличаются от задаваемых при малых объемах выборок. Например, для m=n=20 при задаваемом уровне значимости 0.1 мы имеем действительный уровень значимости 0.0835. 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2. Действительные уровни значимости критерия однородности Смирнова, соответствующие (1- )–квантилям распределения Колмогорова, в зависимости от объемов выборок (m=n)

Заданный уровень значимости	Действительные уровни значимости
	n=20	n=50	n=100	n=300	n=500	n=1000	n=2000
0,1	0,0835	0,1120	0,1085	0,0927	0,0970	0,0980	0,1041
0,05	0,0334	0,0410	0,0543	0,0496	0,0514	0,0471	0,0480
0,025	0,0334	0,0240	0,0252	0,0254	0,0238	0,0259	0,0245

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

2.1 Решения задач о типах сходимости

 

 

2.1.1 Доказать, что из сходимости почти наверное  следует сходимость по вероятности.  Приведите контрпример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Решение. Пусть последовательность случайных величин сходится к случайной величине почти наверное. Значит, для любого

 

Ì

 

 

и из сходимости к почти наверное вытекает, что сходится к по вероятности, так как в этом случае

 

Но обратное утверждение неверно. Пусть  последовательность независимых случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распределения , равную нулю при и равную при . Рассмотрим последовательность

 

Эта последовательность сходится к нулю по вероятности, так  как

 

стремится к  нулю при любом фиксированном  и . Однако сходимость к нулю почти наверное иметь место не будет.

 

Действительно,

 

 

стремится к  единице, то есть с вероятностью 1 в последовательности при любых и найдутся реализации, превосходящие

 

2.1.2 Пусть  монотонная последовательность. Доказать, что в этом случае сходимость к по вероятности влечет за собой сходимость к с вероятностью 1.

Решение. Пусть монотонно убывающая последовательность, то есть . Для упрощения наших рассуждений будем считать, что , при всех . Пусть сходится к по вероятности, однако сходимость почти наверное не имеет место. Тогда существует , такое, что при всех

 

 

 

что противоречит сходимости к по вероятности. Таким образом, для монотонной последовательности , сходящейся к по вероятности, имеет место и сходимость с вероятность 1 (почти наверное).

 

2.1.3 Пусть  последовательность  сходится к по вероятности. Доказать, что из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к с вероятностью 1 при .

Решение.    Пусть         некоторая последовательность

 

положительные числа, что ряд  . Построим последовательность

индексов , выбирая так, чтобы

 

Тогда ряд

 

то есть, как следует из предыдущей задачи, .

 

2.1.4 Доказать, что из сходимости в среднем  какого-либо положительного порядка  следует сходимость по вероятности.  Приведите контрпример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Решение. Пусть последовательность сходится к величине в среднем порядка

 

Воспользуемся обобщенным неравенством Чебышева: для  произвольного  и

 

Устремив  и учитывая, что , получим, что

 

то есть сходится к по вероятности.

Однако  сходимость по вероятности не влечет за собой сходимость в среднем  порядка . Это показывает следующий пример. Рассмотрим вероятностное пространство W, где W, борелевская алгебра, мера Лебега.

Определим последовательность случайных величин  

следующим образом:

 

Последовательность  сходится к 0 по вероятности, так как

 

но при  любом 

 

то есть сходимость в среднем иметь место не будет.

 

2.1.5 Пусть , причем для всех . Доказать, что в этом случае сходится к в среднеквадратическом.

Решение. Заметим, что так как , то . Получим оценку для . Рассмотрим случайную величину . Пусть произвольное положительное число.

 Тогда 

и

при .

 

          Значит 

 

 

 

 

 

 

среднеквадратическом.

 

2.1.6 Доказать, что если  сходится к по вероятности, то имеет место слабая сходимость Þ. Приведите контрпример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Решение. Докажем, что если , то в каждой точке , являющейся точкой непрерывности (это необходимое и достаточное условие слабой сходимости Þ), функция распределения величины , а величины .

Пусть точка непрерывности функции . Если , то справедливо по крайней мере одно из неравенств или . Тогда

 

Аналогично, при  справедливо хотя бы одно из  неравенств  или и

 

или

 

Откуда

 

Если , то для сколь угодно малого существует такое , что при всех

 

Тогда

 

С другой стороны, если точка непрерывности , то можно найти такое , что для сколь угодно малого

 

и

 

Значит  для сколь угодно малых  и существует такое , что при

 

 

или

 

или, что  то же самое,

 

Это означает, что во всех точках непрерывности  имеет место сходимость и . Следовательно, из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость.

Обратное  утверждение, вообще говоря, не имеет  места. Чтобы убедиться в этом, возьмем последовательность случайных  величин , не равных с вероятностью 1 постоянным и имеющих одну и ту же функцию распределения . Считаем, что при всех величины и независимы. Очевидно, слабая сходимость Þ имеет место, так как у всех членов последовательности  одна и та же функция распределения.  Рассмотрим :

 

Из независимости  и одинаковой распределенности величин  следует, что

 

 

то есть

 

Выберем среди всех функций распределений  невырожденных случайных величин  такую , будет отлично от нуля при всех достаточно малых . Тогда не стремится к нулю при ограниченном росте и сходимость иметь место не будет.

 

2.1.7 Пусть  имеет место слабая сходимость Þ, где с вероятностью 1 есть постоянная, доказать, что в этом случае будет сходится к по вероятности.

Решение. Пусть с вероятностью 1 равно . Тогда слабая сходимость Þ   означает   сходимость      при    любых    .   Так как ,   то      при      и      при .   То   есть

 

любого  вероятности

 

 

 

стремятся к  нулю при .