Закон больших чисел. Критерий однородности Смирнова

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ, МОЛОДЁЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: "Закон больших чисел. Критерий однородности Смирнова "

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Руководитель:                                                                                                                                  Защитил:

Сидоров М.В.                                                                                                                                    ст. гр. ПМ-09-1

                                                                                                                                                             Мозговой Н.В.

 

                                                                                                                                                            

 

 

                                                                                                                 Дата:   ____________

Харьков 2011

                                                                                                           

 

                                                                                                                Оценка:____________ 

         Харьковский  национальный университет радиоэлектроники

 

 

Факультет__________________Кафедра______________________________

 

Дисциплина______________________________________________________

 

Специальность___________________________________________________

 

Курс__________Группа___________________Семестр__________________

 

 

                            ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Студенту________________________________________________________

 

1. Тема работы

 

 

 

 

 

                                                   Содержание

 

 

Введение

 

1 Теоретическая часть

  1.1 Предельные  теоремы теории вероятностей

      1.1.1 Сходимость последовательностей  случайных величин и 

               вероятностных распределений 

      1.1.2 Метод характеристических  функций

      1.1.3 Закон больших  чисел

  1.2 Проверка статистических  гипотез 

      1.2.1 Основные задачи математической  статистики и их краткая 

               характеристика 

      1.2.2 Проверка статистических гипотез:  основные понятия

      1.2.3 Критерий однородности Смирнова

 

2 Практическая часть

  2.1 Решение  задач о типах сходимости

  2.2 Решение  задач на закон больших чисел

  2.3 Проверка  гипотезы с помощью критерия  однородности Смирнова

 

Заключение

 

Приложения

 

Перечень  ссылок

 

 

Введение

 

Математическая  статистика – это прикладная математическая дисциплина, родственная теории вероятностей. Она базируется на понятиях и методах  последней, но решает свои специфические  задачи своими методами. Любая математическая теория развивается в рамках некоторой  модели, описывающей определенный круг реальных явлений, изучением которых  и занимается данная теория. За последние годы отделилась в самостоятельные дисциплины теория надежности, теория массового обслуживания и теория информации.

Статистический  анализ является необходимым этапом анализа и исследования любой  производственно-хозяйственной, финансовой или коммерческой деятельности как  отдельной фирмы, организации или  предприятия, так и совокупности предприятий и организаций, отрасли  или страны, в целом.

Курс  «Теория вероятностей и математическая статистика» занимает особое место  в системе математических дисциплин, которые изучаются студентами специальностей ПМ, СА, ИНФ, как базовый курс.

Целью данной курсовой работы является углубление теоретических знаний с  курса «Теория вероятностей и  математическая статистика», а именно, по теме: «Закон больших чисел» и  «Критерий однородности Смирнова»; развить навыки самостоятельной работы; приобрести навыки самостоятельной работы с необходимыми литературными источниками; научится применять теоретические знания для решения практических заданий.

 

 

                          1   ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

1.     Предельные теоремы теории вероятностей

 

1.1.1 Сходимость  последовательностей случайных  величин и вероятностных распределений

 

В теории вероятностей приходится иметь дело с разными видами сходимости случайных  величин. Рассмотрим следующие основные виды сходимости: по вероятности, с  вероятностью единица,  среднем порядка  р, по распределению.

Пусть , , … - случайные величины, заданные на некотором вероятностном пространстве ( , Ф , P).

Определение 1. Последовательность случайных величин , … называется сходящейся  по вероятности к случайной величине (обозначение: ), если для любого > 0

P {

> } 0, n .

Определение 2. Последовательность случайных величин  , , … называется сходящейся с вероятностью единица (почти наверное, почти всюду)  к случайной величине , если

P {

: } = 0,

т.е. если множество  исходов  , для которых ( ) не сходятся к ( ), имеет нулевую вероятность.

Этот  вид сходимости обозначают следующим  образом: , или , или .

Определение 3. Последовательность случайных величин  , , … называется сходящейся в среднем порядка р, 0 < p < , если

                                M 0, n .

Определение 4. Последовательность случайных величин  , ,… называется сходящейся  по распределению к случайной величине (обозначение: ), если для любой ограниченной непрерывной функции

M

M , n .

Сходимость  по распределению случайных величин  определяется только в терминах сходимости их функций распределения. Поэтому  об этом виде сходимости имеет смысл  говорить и тогда, когда случайные  величины заданы на разных вероятностных  пространствах.

Теорема 1.

а) Для  того чтобы  (Р-п.н.), необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0

P {

} 0, n .

b) Последовательность { } фундаментальна с вероятностью единица тогда и только тогда, когда для любого > 0.

P {

} 0, n .

Доказательство.

       а)  Пусть А = { : | - | }, А = А .

 Тогда 

{

: }= =

Но

P (

) = P ( ),

поэтому утверждение а) является результатом следующей цепочки импликаций:

Р{ :   }= 0 P( ) = 0    = 0  Р(А ) = 0, m 1 

 P(A ) = 0, > 0 P( ) 0, n 0, > 0 P{ } 0,

n 0, > 0.

b) Обозначим  = { :  }, = ,

тогда { : { ( )} не фундаментальна } = и так же, как в а) показывается, что { : { ( )} не фундаментальна } = 0

P{ } 0,  n .

Теорема доказана.

 

Теорема 2 ( критерий Коши сходимости почти наверно).

Для того чтобы последовательность случайных  величин { } была сходящейся с вероятностью единица (к некоторой случайной величине ), необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна с вероятностью единица.

Доказательство.

Если  , то +

откуда вытекает необходимость условия теоремы.

Пусть теперь последовательность { } фундаментальна с вероятностью единица. Обозначим L = { : { ( )} не фундаментальная}.  Тогда для всех числовая последовательность { } является фундаментальной и, согласно критерию Коши для числовых последовательностей, существует ( ). Положим

( ) =

Так определенная функция является случайной величиной  и 

.

Теорема доказана.

    1.1.2 Метод характеристических функций

 

Метод характеристических функций является одним из основных средств аналитического аппарата теории вероятностей. Наряду со случайными  величинами (принимающими действительные значения) теория характеристических функций требует привлечения  комплекснозначных случайных величин.

Многие  из определений и свойств, относящихся  к случайным величинам, легко  переносятся и на комплексный  случай. Так, математическое ожидание М_ξ комплекснозначной случайной величины ζ=ξ+ίη считается определенным, если определены математические ожидания М_ξ  и М_η. В этом случае по определению полагаем М_ζ = М_ξ + ίМ_η. Из определения независимости случайных элементов следует, что комплекснозначные величины ζ₁ =ξ₁+ίη₁ , ζ₂=ξ₂+ίη₂ независимы тогда и только тогда, когда независимы пары случайных величин (ξ_{1 ,} η₁) и (ξ_{2 ,} η₂), или, что то же самое, независимы  σ-алгебры F_{ξ1, η1} и   F_{ξ2, η2}.

Наряду  с пространством L₂ действительных случайных величин с конечным вторым моментом можно ввести в рассмотрение гильбертово пространство комплекснозначных случайных величин ζ=ξ+ίη с М |ζ|²<∞, где |ζ|²= ξ²+η², и скалярным произведением (ξ_{1 ,} ξ₂)= Мζ₁ζ₂¯, где ζ₂¯-  комплексно-сопряженная  случайная величина.

При алгебраических операциях векторы  Rⁿ рассматриваются как алгебраические столбцы,

,

 – как вектор-строки, a^* - (а₁,а₂,…,а_n). Если Rⁿ , то под их скалярным произведением (a,b) будет пониматься величина  . Ясно, что _.

Если  а Rⁿ  и R=||r_ij|| - матрица порядка n^хn, то

                                                        = .           (1)                                

Определение 1. Пусть F = F(х₁,….,х_n) – n-мерная  функция распределения в ( , ( )). Ее  характеристической функцией называется функция

.         (2)

Определение 2. Если ξ = (ξ₁,…,ξn) – случайный вектор, определенный на вероятностном пространстве со значениями в , то его характеристической функцией называется функция

_,                            (3)

где F_ξ = F_ξ(х₁,….,х_n) – функция распределения вектора ξ=(ξ₁, … , ξ_n).

Если  функция распределения F(х) имеет  плотность f = f(х), то тогда 

.

В этом случае характеристическая функция  есть не что иное, как преобразование Фурье функции f(x).

Из (3) вытекает, что характеристическую функцию  φ_ξ(t) случайного вектора можно определить также равенством

.     (4)

Основные  свойства характеристических функций (в случае n=1).

Пусть ξ = ξ(ω) – случайная  величина, F_ξ = F_ξ (х) – её функция распределения и – характеристическая функция.

Следует отметить, что если , то .

 

Поэтому

. (5)

Далее, если ξ₁, ξ₂, … , ξ_n – независимые с. в. и S_n= ξ1+ξ2 +… + ξ_n, то

_.                                                 (6)

В самом деле, ,

где воспользовались  тем, что математическое ожидание произведения независимых (ограниченных) случайных  величин равно произведению их математических ожиданий.